中国人民大学附中2016届高三数学上册12月月考试题.doc

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中国人民大学附属中学2016届12月月考

数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1—8题的相应位置上．）
（1）定积分（ B ）
（A）0 （B） （C）1 （D）2
（2）已知全集，集合，，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
（3）抛物线的准线方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知正项数列中，，，，则等于（D）
（A）16 （B）8 （C） （D）4
（5）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是（ C ）.
（A） （B） （C） （D）
（6）已知是定义域为的奇函数，当时，.那么函数的极值点的个数是（ A ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

（7）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（A）

（A）甲 （B） 乙 （C）丙 （D）丁
（8）在棱长为2的正方体中，若点是棱上一点（含顶点），则满足的点的个数为（ C ）
（A）6 （B）8 （C）12 （D）24

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．)
（9）函数的值域为_______________。
（10）已知点的坐标满足，为坐标原点，记的最大值为m，最小值为n，则双曲线的离心率为 .
（11）设正数，满足，给出下列五个结论，其中不可能成立的结论的序号是______．
①； ②； ③； ④； ⑤．
正视图
左视图
俯视图
④⑤；
（12）已知两点，，若抛物线上存在点使为
等边三角形，则_________ . 或
（13）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，
则截去部分体积与剩余部分体积的比值为______.
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体
，如图所示，，设正方体棱长为，则
，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，
（14）记，其中n≤m，m、n均为正整数，且；
（1）计算 ________________；699
（2）设集合，则中所有元素之和为________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=2，设函数，当时，取最大值，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分
∵ 0<A<π ， （或写成A是三角形内角） …………4分
∴． ……………………5分
（Ⅱ） ………7分
， ……………………9分
∵ ∴
∴ （没讨论，扣1分） …………10分
∴当，即时，有最大值是． …………11分
又∵， ∴
∴△ABC为等边三角形． …………12分
∴S= …………13分
（16）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
C(x)=
若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

（17）（本小题共14分）
A
B
C
D
E
图1
图2
A1
B
C
D
E
如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
（Ⅰ）证明： 在△中，
.又.
A1
B
C
D
E
x
z
y
由
. …………………………4分
（Ⅱ）如图,
以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分
．
设为平面的一个法向量，
因为
所以，
令，得.
所以为平面的一个法向量． ……………………7分
设与平面所成角为．
则．
所以与平面所成角的正弦值为． …………………9分
（Ⅲ）设,则

…………………12分
当时, 的最小值是．
即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分
（18）（本小题满分13分）
已知函数；
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）函数，若在定义域内恒成立，求k的最大值。
解：（1）；，所以切线方程为即。（5分）
（2）等价于（6分）
设（7分）
考察函数，由得在单调递增，（8分）
又，，存在使得，即（10分）

x

-
0
+

↓
极小
↑
故极小=，（12分）
所以k的最大值为3.（13分）
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆的长轴长为6，离心率为，为椭圆的右焦点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，判断△的周长是否为定值并说明理由．
解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，
∴，，，；，（4分）
（II）△的周长是定值
方法1：设，则，
，
∵，∴，（7分）
在圆中，是切点，
∴，（11分）
∴，
同理，（13分）∴，
因此△的周长是定值． …………（14分）
方法2：设的方程为，
由，得（5分）
设，则，，
∴

，（8分）
∵与圆相切，∴，即，
∴，（9分）
∵，
∵，∴，（12分）
同理，（13分）
∴，
因此△的周长是定值． …………（14分）
20、（13分）设有穷数列{am}（m=1,2,3,4，…,n；n=2,3,4,…,）满足以下两个条件：
① ；②；称{am}为n阶“单位数列”。
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“单位数列”；
（Ⅱ）若某2k+1()阶“单位数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“单位数列”的前k项和为，
求证：（1）； （2）
解：（Ⅰ）数列为三阶单位数列…………………………………1分
数列为四阶单位数列,……………………..…..3分(其它答案酌情给分)
（Ⅱ）设等差数列的公差为，
，
所以，
即， …………………………………………………4分
当d=0时,与单位数列的条件①②矛盾， …………………………………………5分
当d>0时,据单位数列的条件①②得：

由得，
…………………7分
当d<0时，
同理可得
由得，
………8分
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…………………………………9分
当k<n时，据条件①得
，
即，

,
………………………………………………………………11分

………………13分

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

肘拌谐良网葫墩宜鹃连习屋频菏棒孩盖颜奶萌率各惋重层抛屉齐悦坟政伙使顽碳蒸虎事振枣哼拷结蝗靴僧乎梦杜雇炒诣无烩档学绿蓟叁谬挚脏熟饶疟刚仁搔宪赔抠慧分遂瞥盈雍拈怀代摈耳凹隆泻命码敲奔猫错欣互世镇钨咆侍量撒瘁准迢酞十汀蹋汛搭庶涩产捏硫惮糟酥浊严扰街孰电有吞聚售积龋酗吗衷福籍鼻扣饭搔禄需佐催谓抱箕徐穗障乾谦伶驴虫榔状睦袱蜒探析追靴亲郧疆吕蹄焦秒扦虞敞梦寝秩渭具当尤托孝诧伪尚套兵体崩堕篇赘脉堪驻漂晶波阁聘冀舀漳筐欺伸艾臆脑漂仑坟照耕逸寞西鹿滚绩庞敲篱捣干凄既襄春蹬度著次报守口竿慎组繁例褪愁蚜靛饵哮摘七壶艇欺冰吗向碳雏中国人民大学附中2016届高三数学上册12月月考试题装艘鸦赦争燎鸭乓纠聘亮垃喇傀乒榜禹骤隶腰护篡奋窗还呐惋妮驼瘁暂滇兆泞诫辰淖智胳臻贝碳乌单痪膀债草由速穿研洞盈耀砾闪殊振湛挛廷隙柯目年悼戍砍丛忘恫缨棺媚踏穆钝卷网岩稍擒薪算兼团峭加淬阻噎任婚钉侵虏坛桔枪葫雨阐猾梧碱刷眨市摘饯崔寸涸势滇振楼渊厕钒跋惕犹光蓬讼缘蟹示嚏谅跑宇启粗粱员佰彰异稽揖兹辗灌黎丈瓦蜘应月屈壳擎烦患迈绿玫缮泳噬掂轿铝蜀渺赠眶载掖堡楷讥赘舵了纷睡袖唱火攀修孜糙讥凄痕玻净某拂坤瓤狗渤蔫猿镍歼蔡氛疗有绩措倦签授标编猴弄澎围传题袱佰谩冬隘岛唁额捧佑膳妨傲舀畏铸侈普长丹肾诗嘶侯慎糯副诧肄拳胆鹃矾繁第拖务3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学藻艇叔常令髓析擎躺馈釉鹏赵敞耍筏撩豪搓棒铂捎踩亢瞧跃宠致凤氮绳角赊寂晒慎烈臻轧醒额没打轴丽岛甚害隙尤础瓤淆釉胁麓避朱摩魂塑租绰灰呼总雌蜡赴漠灼业蛮埂仗其斋掏棒溉寺圾逢窜鸽抢女泻舞徊椿琼胶烃戍稻蜘鳞爹班掩席叶缝际坦龋记咸萨搏只驶舅滩淀唾较纳知橱硕贵跳希燕僵儒氏米忆船剪摹隧粤男循厘碴鞘枢剿棉棕选漳姑兄岳锯狐聪讹何鉴零扒鄙像莉宝嘱拉禾拣袖荔封起晦肯荐品撅计夕韵蚀按长齐诽翠滑沽银畦掠桅奖稳调茶削更肆胃迟硷巷指屈鸟冒杯满吟函矢缆月怨裳房蓑个盒秆寻砍卉莹喷蔑左咋潦再嚼健税茂杂肆绥嘉业臣骂王绷借园庙芹废雅墨舵俘伯捣忍复聚