2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试6.doc

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．3.2　球的体积和表面积

1．球的体积．
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3．
一个球的半径是2，它的体积为．
2．球的表面积．
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
一个球的半径是2，它的表面积是16π．
一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的倍．
一个球的体积是36π，它的表面积是36π．
►思考应用
1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．

解析：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
2．正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位置？
答案：都在正方体的中心．

1．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是(A)
A．27π B．18π
C．9π D．54π
解析：设正方体的棱长为a，∴6a2＝54，∴a＝3，设球的半径为R，∴(2R)2＝3a2，4R2＝27，S＝4πR2＝27π.
2．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(C)
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
3．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是．
解析：设大球半径为R，则πR3＝π×13＋π×13，∴R3＝2，R＝.

►跟踪训练

1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是(C)
A. B. C. D．2πC2
解析：由2πR＝C，得R＝，∴S球＝4πR2＝.
2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(C)

A．32π B．16π C．12π D．8π
解析：该几何体是个半球，且半径r＝2，故其表面积为：S＝2πr2＋πr2＝2π×4＋π×4＝12π.
3．正方体的内切球和外接球的半径之比为(D)
A.∶1 B.∶2
C．2∶ D.∶3
解析：内切球与外接球的半径之比为正方体棱长与体对角线长之比，即为∶3.
4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(B)
A. B. C．8π D.
解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，
∴R＝，V＝πR3＝.
5．一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离为4 cm，则球的体积为(C)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：由球的性质知，球的半径R＝＝5，
∴V球＝×53＝(cm3)．
6．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．
解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4 cm，则钢球的体积为V＝π×32×4＝36π，即有πR3＝36π，∴R＝3.
答案：3 cm

7．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．
答案：14π
8．球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．
解析：PA，PB，PC两两互相垂直，将三棱锥补成一个以P为顶点的正方体，且PA＝PB＝PC＝a，
∴正方体的对角线长就是球的直径，
∴2R＝a，R＝a，
∴这个球的表面积为S球＝4πR2＝4π＝3πa2.
9．已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．

解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，

球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r＝R2－x2且πr＝π(R2－x2)＝8π，r＝R2－(x＋1)2且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，
∴2x＝2，即x＝1.
又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
10．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.

(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；
(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精确到0.1 kg)．
解析：(1)由题意，知S正四棱台＝4××(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝21.85R2，S球＝4πR2，
所以这个盖子的表面积为S表＝(21.85＋4π)R2，
(2)取R＝2，π＝3.14，得S表＝137.64(cm2)．
100个这样的盖子共需涂料约为(137.64×100)÷10 000×0.4≈0.6 kg.

1．球的体积比等于半径的立方比，球的表面积之比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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