高一数学下册专题限时练习题24.doc

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专题限时集训(十九)

[第19讲　几何证明选讲]

(时间：30分钟)

1．如图X19－1所示，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，且BC是圆O的直径，直线MN与圆O相切于点A.
(1)若∠MAB＝30°，且圆O的面积为π，求AB的长；
(2)在(1)的条件下，求梯形ABCD的周长．

图X19－1

2．如图X19－2所示，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD.
(1)求证：直线CE是圆O的切线；
(2)求证：AC2＝AB·AD.

图X19－2

3．如图X19－3所示，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E.
(1)求证：∠ADE＝∠AED；
(2)若AC＝AP，求的值．

图X19－3

4．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F，使得DE＝BE，FE＝CE，点O是△ADF的外心．
(1)求证：D，E，F，O四点共圆；
(2)求证：O在∠DEF的平分线上．

图X19－4

专题限时集训(十九)
1．解：(1)由圆O的面积为π可得其半径为1，联结AC，因为BC是圆O的直径，所以∠BAC＝90°，再由弦切角定理可得∠ACB＝∠MAB＝30°.
在Rt△ABC中，易得AB＝BC＝1.

(2)因为∠ACB＝∠MAB＝30°，
又因为AD∥BC，所以∠CAD＝∠ACB＝30°.
根据相同的圆周角所对弦相等可得CD＝AB＝1.
过A作AE⊥BC于点E，则AE＝AB·sin 60°＝，BE＝，
则AD＝BC－2BE＝2－1＝1，故梯形ABCD的周长为AD＋DC＋CB＋BA＝5.
2．证明：(1)联结OC，因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC.
又因为AD⊥CE，所以∠ACD＋∠CAD＝90°，
又因为AC平分∠BAD，所以∠OAC＝∠CAD，
所以∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线．
(2)联结BC，因为AB是圆O的直径，所以∠BCA＝∠ADC＝90°，因为∠OAC＝∠CAD，所以△ABC∽△ACD，所以＝，即AC2＝AB·AD.
3．解：(1)证明：因为PA是切线，AB是弦，所以∠BAP＝∠C.
又因为∠APD＝∠CPE，
所以∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.
因为∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE，
所以∠ADE＝∠AED.
(2)由(1)知∠BAP＝∠C，又因为∠APC＝∠BPA，
所以△APC∽△BPA.
所以＝.
因为AC＝AP，所以∠APC＝∠C.
所以∠APC＝∠C＝∠BAP.
由三角形内角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°.
因为BC是圆O的直径，所以∠BAC＝90°.所以∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°.
所以∠C＝∠APC＝∠BAP＝×90°＝30°.
在Rt△ABC中，＝，即＝，
所以＝.所以＝＝.
4．证明：(1)由DE＝BE，FE＝CE得∠EDB＝∠B，∠EFC＝∠C，则∠DEF＝180°－(180°－2∠B)－(180°－2∠C)＝180°－2∠A.
因此∠A是锐角，从而△ADF的外心与顶点A在DF的同侧，联结OD，OF，
从而∠DOF＝2∠A＝180°－∠DEF.
因此D，E，F，O四点共圆．
(2)由O是△ADF的外心知，OD＝OF.又由(1)知D，E，F，O四点共圆，则∠DEO＝∠DFO＝∠FDO＝∠FEO，
即O在∠DEF的平分线上．

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