高一数学下册课时堂堂清复习题37.doc

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圆锥曲线方程
椭圆

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·陕西高考)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：把椭圆方程化为＋＝1.若m>n>0，则>>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则>>0即有m>n>0.故选C.
答案：C
2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于 (　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析：因为椭圆＋＝1的长轴在y轴上，所以
⇔6<m<10，又焦距为4， www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
所以m－2－10＋m＝4⇔m＝8，选择D.
答案：D
3．若椭圆＋＝1(m>n>0)上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则mn＝
(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意得该椭圆的离心率e＝＝，因此1－＝，＝，mn＝，选D.
答案：D
4．(2009·江西高考)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.

图1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝|PF2|，
∴|PF2|＝2a⇒|PF2|＝a，|PF1|＝a， www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋
|F1F2|2＝|PF2|2，
∴2＋(2c)2＝2⇒e＝＝，故选B.
答案：B
5．(2010·长望浏宁模拟)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是 (　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：设椭圆的长轴长为2a，则矩形的最大面积为2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即≤≤2，又∵b＝，∴∈[，]，即∈[，]，解得：e∈[，]．
答案：A
6．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B.若＝3，则||＝ (　　)

图2
A.　　　 B．2
C.　　　 D．3
解析：如图2，BM垂直于右准线于M，右准线与x轴交于N，易求得椭圆的离心率为e＝，由椭圆的第二定义得BM＝，在Rt△AMB中，＝＝＝，它为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FN＝＝1，则||
＝.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·北京高考)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________．
解析：依题知a＝3，b＝，c＝.由椭圆定义得|PF1|＋
|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°
答案：2　120°
8．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知A、B为椭圆C：＋＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是__________．
解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有tan＝⇒m＝.
答案：

图3
10．(2010·武汉调研)如图3，已知A、B两点分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若·＝0，则椭圆C的离心率e＝________.
解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，
∴＝(a，b)，＝(c，－b)
∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知A(－2,0)，B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程．
解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①
又设椭圆方程为＋＝1(a2>4)． ②
因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，
解得k2＝.将①代入②整理得，
(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
由题意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.
故所求的椭圆方程为＋＝1.

图4
12．(15分)如图4，两束光线从点
M(－4,1)分别射向直线y＝－2上两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)后，反射光线恰好通过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点，已知椭圆的离心率为，且x2－x1＝，求椭圆C的方程．
解：设a＝2k，c＝k，k≠0，则b＝k，
其椭圆的方程为＋＝1.
由题设条件得＝－，①
＝－，②
x2－x1＝，③
由①②③解得k＝1，x1＝－，x2＝－1，
所求椭圆C的方程为＋＝1.
13．(20分)(2009·四川高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|＋|＝，求直线l的方程．
解析：(1)由条件有解得a＝，c＝1.
∴b＝＝1.
所以，所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)、F2(1,0)．
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，
将x＝－1代入椭圆方程得y＝±. www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
不妨设M、N，
∴＋＝＋＝(－4,0)．
∴|＋|＝4，与题设矛盾．
∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)．
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立
消y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.
又∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴＋＝(x1＋x2－2，y1＋y2)．
∴|＋|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2
＝2＋2＝.
∴＝2.
化简得40k4－23k2－17＝0，
解得k2＝1或k2＝－(舍)．∴k＝±1.
∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
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