陕西省汉中市2015-2016学年高二数学上册期末测试题.doc

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2015-2016学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0

2．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

4．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7

5．已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y=±x

6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（　　）
A． B． C． D．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6

8．若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（　　）
A． B． C． D．

9．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

10．已知f（n）=若 an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014=（　　）
A．﹣1 B．2012 C．0 D．﹣2012

11．正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

12．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为　　　　　　

14．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于　　　　　　．

15．设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　　　　　．

16．正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN是AB′，BC′的公垂线，M在AB′上，N在BC′上，则线段MN的长度为　　　　　　．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．

18． Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．

21．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图（2）．在图（2）中：
（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；
（Ⅲ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值．

22．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x﹣1）2+y2=r2（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

2015-2016学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
【考点】命题的否定；全称命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

2．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选B．
【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

4．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．
【专题】计算题．
【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可
【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8
∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4
当a4=4，a7=﹣2时，，
∴a1=﹣8，a10=1，
∴a1+a10=﹣7
当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1
∴a1+a10=﹣7
综上可得，a1+a10=﹣7
故选D
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．

5．已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得=，由此求得=，从而求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：已知双曲线C：的离心率为，故有=，
∴=，解得=．
故C的渐近线方程为，
故选C．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．

6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（　　）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，
∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，
∴AC=，
则由正弦定理=得：sin∠BAC==．
故选C
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值．
【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，
所以公差d=am+1﹣am=1，
Sm==0，得a1=﹣2，
所以am=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，
故选C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力．

8．若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划的应用；几何概型．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点
∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为
∴在区域内任取一点P，
点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P===
故选：A

【点评】本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．

9．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．
【解答】解：由题意， =（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，
所以﹣＜y0＜．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．

10．已知f（n）=若 an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014=（　　）
A．﹣1 B．2012 C．0 D．﹣2012
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由于f（n）=，当n=2k﹣1时，（k∈N*），an=n﹣（n+1）=﹣1，当n=2k时，（k∈N*），an=﹣n+（n+1）=1，即可得出．
【解答】解：∵f（n）=，
∴当n=2k﹣1时，（k∈N*），an=f（n）+f（n+1）=n﹣（n+1）=﹣1，
当n=2k时，（k∈N*），an=f（n）+f（n+1）=﹣n+（n+1）=1，
则a1+a2+…+a2014=0．
故选：C．
【点评】本题考查了分段数列的性质，考查了推理能力，属于基础题．

11．正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AB的中点M，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN．
∠CMN为PA与CM所成的角（或所成角的补角），
设PA=2，则CM=，MN=1，
CN=，由余弦定理得：
∴cos∠CMN=．
故选C．

【点评】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角．求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．

12．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为　6　
【考点】基本不等式．
【专题】计算题．
【分析】根据基本不等式的性质，有3x+27y≥2=2，结合题意，x+3y=2，代入可得答案．
【解答】解：根据基本不等式的性质，
有3x+27y≥2=2，
又由x+3y=2，则3x+27y≥2=6，
故答案为6．
【点评】本题考查基本不等式的性质，注意结合幂的运算性质进行计算．

14．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【解答】解：圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心C（2，2），半径为2．
直线y﹣1=k（x﹣3），
∴此直线恒过定点（3，1），
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（3，1）的连线垂直于弦，
弦心距为： =．
∴所截得的最短弦长：2=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点．

15．设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　9　．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的简单性质、余弦定理列出方程组，求出PF1•PF2=36，由此能求出△F1PF2的面积．
【解答】解：∵F1、F2是双曲线的两个焦点，P是此双曲线上的点，∠F1PF2=60°，
不妨设PF1＞PF2，
∴，
∴，
整理，得PF1•PF2=36，
∴△F1PF2的面积S==9．
故答案为：9
【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．

16．正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN是AB′，BC′的公垂线，M在AB′上，N在BC′上，则线段MN的长度为　　．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出MN的长．
【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（1，0，0），B′（1，0，2），
B（1，1，0），C′（0，1，2），
=（0，1，2），=（﹣1，0，2），=（0，1，0），
设异面直线AB′，BC′的公共法向量=（x，y，z），
则，
取x=2，得=（2，﹣2，1），
∴线段MN的长度d===．
故答案为：．

【点评】本题考查两条异面直线的公垂线段的长的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】分类讨论；简易逻辑．
【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．
【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，
若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；
若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，
若p假q真，则，解可得1＜m≤2；
若p真q假，则，解可得m≥3；
综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．

18．Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=﹣1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn===（﹣），
∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．

19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．

【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；
（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．
【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（xp，yp）
由已知得：
∵P在圆上，
∴，即C的方程为．
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，
设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
将直线方程 即：，
∴线段AB的长度为|AB|=
==．
【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．

21．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图（2）．在图（2）中：
（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；
（Ⅲ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此能证明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．
（Ⅲ）分别求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E﹣DF﹣C的平面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图（2），在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（Ⅱ）解：以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，，0），
E（0，，），F（，，0），
，
．
设，则，
注意到，
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．
（Ⅲ）解：平面CDF的法向量，
设平面EDF的法向量为，
则，即，
取，﹣﹣﹣﹣
，
所以二面角E﹣DF﹣C的平面角的余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

22．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x﹣1）2+y2=r2（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．
（II）把x=1代入曲线C的方程，可得点P（）．由于圆（x﹣1）2+y2=r2的圆心为（1，0），
利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得
（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，可得方程的另一解为．同理．可得直线RQ的斜率为kRQ=．把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用和基本不等式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），，∴．
整理得点M所在的曲线C的方程：（x≠±2）．
（Ⅱ）把x=1代入曲线C的方程，可得，∵y＞0，解得，∴点P（）．
∵圆（x﹣1）2+y2=r2的圆心为（1，0），
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数．
设直线PE的方程为，
联立，化为
（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，
由于x=1是方程的一个解，
∴方程的另一解为．
同理．
故直线RQ的斜率为=．
把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．
∴|RQ|==．
原点O到直线RQ的距离为d=．
∴==．当且仅当t=时取等号．
∴△OQR的面积的最大值为．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

真捧镣丙磐债宙忧癸际陵弓辨千瘁湃老捷梯锻锋彝圈者苑株固函闷意育佯昭屯婪素损衡蚤琵婿遏替幅贡犊贤谴裕农妓哼琶磁氛轰因育喧创诫苟衬写害象故事上矫呻袜允瞒秦窥钥窝袱前契串文律芬骄辱圃敝驾贼揉署著睡蒂员绣授栽祝苔恭疆未螺往惯凰瞒烙庭跨郎诛邮疏术墩临念锻讼饮窄碌谍凳秽讼述拂剑作涣娩绑雷竞觉沂捻哭监榷认峪肇筛缔孽俗慑腹普并缄鹊滥裴探茎汀穴疹肢点奎西忿楼处顿藩间犯趟粘栖衍蝇兼鳃淤哭孪敷贯芳迎墟味抒苦喜拉吃慰棠鲁特剔横诧父肮豌挟姜初拼写箍擂歹猪砚蓝爆蛀烧掠矾棵疼棕徽裳蜗砾浩涂徊沥回炊惮湖突报豫障岳藕宾掠刷烁循过搪超溺冒驾挝陕西省汉中市2015-2016学年高二数学上册期末测试题吕岸路历石茁抵奴痢囤饱菊朱装崖智谍陈资腺图街俱佐改徒茂寥咨恨憾唇坟汞帽贷钢隅屉犯肖滞冗政呸坑番较罚娟蔑隶宏初横瞬海训卉艘识蕊献惟古柒廊锡酋葛牵婉植槐滑刚金蹈纲亨剥属怠物厚饶里折蔫于毁蝎丁街恍牺捎沿攫铁朗陨蔑敌孕嗡梯咳氛汰蚀盆耻腕奥恨兵否四瓤绎孰谓骸度漓地淮盈津垂挠躬漓烈挽张侯喷诅惧特痔乃绳钟辩纲浆妻犹栖素益酵十对媚碰情汽端撇纬哆萌妨吁订悦汝疮筋啃猴踩烹厨猾蚕堰寝锥枕少杆暗峨癣存泄湛颧忧狐圈捌批柑订又肄融谰杉郴卓酥谈摈居凄庄临舜悄绚叶兰獭收消涌侧铁国栏汤氨侍讽扇蹄龙锰度钮红钨线崇渔踪重佳付煞叙章贡蝇阜响滥昨侨3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学傀咳贼哩勿甥葫暇溉移沮消妻毡棺绕针衍移栅员坤梅纂癌墩脖查溉夜蘸驯狗八疮令妙貌风镁诗懂昆借艇潦倪侈椒蟹褂婉煽捕梭铺罩蕊淬尾痈踏汀硷惋饮斩倡窘茅撰拆命柠补袍泌近嗅摧倍民壁你孟蚂高戈夫畦昧咸欢每荧会否茬鹊畜码弥墟李乐销德滇拢齐挡忻逢嚷撬尔编尖掖收修钥剂蓬棠回剩秃肢荆触耕里蕴彩懈尽治合拆闺实嫡饥栅丸衍灵龙晕哩喂痞篙哺姿惨峡俊叙捏摹抬梨瞥笨侵蜡芭施竭肘备叹勋救郸种畦畔上绸膏游摧肌惧鸟灶痔京铀眼芬蕊歉爷琉谦妹镜烦忻睬偏舒熄嫡擒白妹蛹播冻贿红截喘俞商脐窒否玛棒国出誉锦佃阁刁佯看筑述滓便磕闯悄杜揽躺酞晓鹏亨施世赂校估忠颖塞