2017届高考理科数学知识点题组训练题5.doc

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题组层级快练(十六)
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　　)
A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值
答案　C
解析　y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x－3)(x＋1)，
∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.
∵－2<x<2，∴x＝－1时，y＝5.
x＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值．
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C．－ln2 D．ln2
答案　B
解析　由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.∵2x＞0，∴x＝－.
3．函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在[0，3]上的最小值为(　　)
A．－8 B．－4
C．0 D.
答案　B
解析　f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．
令f′(x)＝0⇒x1＝，x2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.
故f(x)在[0，3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是(　　)
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案　A
解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
∴x＝0为极大值点，也为最大值点．
∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.
∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值是－37，选A.
5．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围(　　)
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案　B
解析　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　)

答案　C
解析　由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0；
当－2<x<0时，f′(x)>0，则xf′(x)<0；
当x>0时，xf′(x)>0.
7．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜
答案　A
解析　f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.
∴b＞0.f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的取值范围为0＜b＜1.
8．(2016·苏锡常镇一调)f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．1＋ B．1
C．e＋1 D．e－1
答案　D
解析　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.
9．已知f(x)＝x3＋px2＋qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p，q值分别为(　　)
A．6，9 B．9，6
C．4，2 D．8，6
答案　A
解析　设图像与x轴的切点为(t，0)(t≠0)，
设注意t≠0，
可得出p＝－2t，q＝t2.∴p2＝4q，只有A满足这个等式(亦可直接计算出t＝－3)．
10．(2016·昌平一模)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
答案　3
解析　f′(x)＝，由f(x)在x＝1处取得极值知f′(1)＝0，∴a＝3.
11．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是________．
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；
②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)既没有最小值，也没有最大值．
答案　①②③
解析　若f(x)＝(2x－x2)ex>0，则0<x<2，①正确；
∵f′(x)＝－ex(x＋)(x－)，∴f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递减，在(－，)上单调递增．
∴f(－)是极小值，f()是极大值，②正确；易知③也正确．
12．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
答案　6
解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∵f(x)在x＝2处有极大值，
∴解得c＝6.
13．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是________．
答案　m<－
解析　因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－.
14．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　令y′＝3x2－2a＝0，得x＝± (a>0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则 <1，∴0<a<.
15．函数f(x)＝xlnx(x>0)的最小值是________．
答案　－
解析　对函数f(x)＝xlnx求导，得f′(x)＝lnx＋1.当0<x<时，f′(x)<0，即f(x)＝xlnx在(0，)上单调递减；当x>时，f′(x)>0，即f(x)＝xlnx在(，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝xlnx在x＝处取得最小值，即f()＝ln＝－.
16．已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数m的取值范围．
答案　(1)<a<1　(2)m≤2
解析　(1)因为函数f(x)＝，且定义域为{x|x>0}，所以f′(x)＝－.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x＝1处取得极大值1.
∵函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，∴解得<a<1.
(2)当x≥1时，不等式f(x)≥，即为≥m.
记g(x)＝，∴g′(x)＝＝.令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－，∵x≥1，∴h′(x)≥0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，∴m≤2.
17．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
答案　(1)单调递增区间为(0，)，(2，＋∞)　(2)a＝－10
解析　(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0，得x＝或x＝2.由f′(x)>0，得x∈或x∈(2，＋∞)．
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0，得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减；
当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)．当a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有a＝－10.

1．函数f(x)＝，x∈[0，4]的最大值是(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　B
2．(2016·上海徐汇区诊断)已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为(　　)
A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2)<f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1) D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
答案　A
解析　由题意可得f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.
当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．
3．若函数f(x)＝e－x·，则(　　)
A．仅有极小值 B．仅有极大值
C．有极小值0，极大值 D．以上皆不正确
答案　B
解析　f′(x)＝－e－x·＋·e－x＝e－x(－＋)＝e－x·.
令f′(x)＝0，得x＝.
当x>时，f′(x)<0；当x<时，f′(x)>0.
∴x＝时取极大值，f()＝·＝.
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，令f′(－3)＝0，得a＝5.
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则(　　)
A．a<－ B．a>－
C．a<－3 D．a>－3
答案　C
解析　∵y′＝aeax＋3，由y′＝0，得x＝ln(－)．
∴－>0，∴a<0.
又∵y＝eax＋3x＝0有正根，
∴必有得a<－3.故选C.
6．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________．
答案　－　－
解析　y′＝＋2bx＋1.
由已知解得
7．已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________．
答案　1
解析　由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.
8．(2016·保定调研卷)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．
答案　(1)a＝－1，b＝3　(2)最大值为0，无最小值
解析　(1)f′(x)＝1＋2ax＋(x>0)，
又f(x)过点P(1，0)，且在点P处的切线斜率为2，
∴即解得a＝－1，b＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定义域为(0，＋∞)，
∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x>0.
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．
9．设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围．
答案　(1)极小值点为x1＝，极大值点为x2＝　(2)(0，1]
解析　对f(x)求导得f′(x)＝ex·.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
又当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)

(，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

∴x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合(1)与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，得0<a≤1.
即实数a的取值范围是(0，1]．
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.
(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案　(1)a≤3　(2)a>2
解析　(1)f′(x)＝－2x＋a－，
∵f(x)在(0，)上为减函数，
∴x∈(0，)时，－2x＋a－≤0恒成立，即a≤2x＋恒成立．
设g(x)＝2x＋，则g′(x)＝2－.
∵x∈(0，)时，>4，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，)上单调递减，g(x)>g()＝3，∴a≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a应满足⇒⇒a>2.
∴当a>2时，f′(x)＝0有两个不等的实数根．
不妨设x1<x2，
由f′(x)＝－(2x2－ax＋1)＝－(x－x1)(x－x2)知，0<x<x1时f′(x)<0，x1<x<x2时f′(x)>0，x>x2时f′(x)<0，
∴当a>2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．　

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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