高考数学知识点专题复习检测18.doc

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第二讲　转化与化归思想
一、选择题
1．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于(　　)
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
解析：由pp＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝a4＋a4＝－24，所
以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.
答案：C
2．方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是 (　　)
A．－1≤k≤ B．－≤k≤0
C．0≤k≤ D．－≤k≤1
解析：k＝cos2x－cos x－1
＝2－
当cos x＝时，kmin＝－
当cos x＝－1时，kmax＝1，
∴－≤k≤1，故选D.
答案：D
3．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a
的取值的集合为 (　　)
A．{a|1<a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3} D．{2,3}
解析：∵logax＋logay＝3，∴xy＝a3.∴y＝.
由于当x在[a,2a]内变化时，都有y∈[a，a2]满足方程，因此[a，a2]应包含函数y＝
在[a,2a]上的值域，也就是函数y＝在[a,2a]的值域是[a，a2]的子集．
∵≤≤，∴≤≤a2.
∴≥a，∴a≥2.
答案：B
4．(2009·全国Ⅰ)设a、b、c是单位向量，有a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B.－2
C．－1 D．1－
解析：解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cos θ，sin θ)，则
(a－c)·(b－c)＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－
sin
因此当sin＝1时，(a－c)·(b－c) 取到最小值1－.
解法二：(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－(a＋b)· c≥1－|a＋b||c|＝1－
＝1－.
答案：D
5．，，(其中e为自然常数)的大小关系是 (　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
解析：由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝
，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)
在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<，故选A.
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝＋的值域为________．
解析：∵f(x)的定义域为x∈[0,1]，
∴设x＝sin2α.
则f(x)＝y＝sin α＋cos α＝sin∈[1，]．
答案：[1，]
7．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的
大小关系是________．
解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题．
由f(2＋t)＝f(2－t)知f(x)的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[2，＋∞)上为单调增函数．
f(1)＝f (2×2－1)＝f(3)
∵f(2) <f(3)<f(4)
∴f(2)<f(1)<f(4)．
答案：f(2)<f(1)<f(4)
三、解答题
8．已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若A∩R－≠∅，求实数m的取值
范围(R－表示负实数集，R＋表示正实数集)．
解：设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}
＝.
方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是可得m≥.
∴A∩R－＝∅时，
实数m的取值范围为.
∴A∩R－≠∅时，
实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
9．对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2＋px＋1>2x＋p恒成立的x的取值范围．
解：构造函数f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，|p|≤2.
当，即时，
亦即当(*)时，f(p)>0(|p|≤2)恒成立，由(*)式得
.
∴x>3或x<－1.
∴当x>3或x<－1时，f(p)>0(|p|≤2)恒成立．
即：x2＋px＋1>2x＋p恒成立．
10．设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，试求m
的取值范围．
解：∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，
∴f′(x)＝1－2mcos x＋2cos 2x
＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]
＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]>0
在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1<t<1，
即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]>0在(－1,1)上恒成立，
①若m>，则t<在(－1,1)上恒成立，
则只需≥1，即<m≤；
②当m＝时，则0·t＋－1<0，
在(－1,1)上显然成立；
③若m<，则t>在(－1,1)上恒成立，
则只需≤－1，即0≤m<.
综上所述，所求实数m的取值范围是.

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