高一数学下册课时堂堂清复习题1.doc

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函数的单调性

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是 (　　)
A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选A.
答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在
[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)<f⇔|2x－1|<⇔<x<.故选A.
答案：A
3．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时y>0，则此函数的单调递减区间是 (　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
解析：当x＝2时，y＝loga5>0，
∴a>1，
由x2＋2x－3>0⇒x<－3或x>1，
易见函数t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上递减，[来源：高考%资源网 KS%5U]
故函数y＝loga(x2＋2x－3)(其中a>1)也在(－∞，－3)上递减．
答案：A
4．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞)
解析：由题知，或，解得1<a<3.故选B.
答案：B
5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，，则函数f(x)在(1,2)上
(　　)
A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0
C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0
解析：

答案：D
6．(2010·河南六市一模)奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x＋1)>0的解集为 (　　)
A．(－2，－1)∪(1,2) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－3，－1) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间
(0，＋∞)上单调递减，由f(2)＝0得f(－2)＝0，则不等式
(x－1)f(x＋1)>0，即
或
其解集为(－3，－1)，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝ln的单调递增区间是__________．
解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．
答案：(－1,1)
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是__________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝

图1
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.
答案：
9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．
解析：当x∈(0，)时，0<2x2＋x<1，又f(x)>0，则0<a<1.
由2x2＋x>0，解得：x<－或x>0，则f(x)的递增区间为(－∞，－)．
答案：(－∞，－)
10．(2008·湖南高考)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)∵a>0且a≠1，要使f(x)有意义，只需3－ax≥0，即x≤.
∴x∈；
(2)若a＝0，f(x)＝－不合题意；
若a<0，y＝是(0,1]上的增函数，且a－1<0，
∴f(x)是(0,1]上的减函数；
若a>0，∵y＝是(0,1]上的减函数，故需a－1>0，∴a>1，另一方面，f(x)的定义域为，
∴≥1，∴a≤3，∴a∈(1,3]．[来源：高考%资源网 KS%5U]
综上知a∈(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．
解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x1<x2，分析f(x1)－f(x2)的符号，由此找出单调增区间与单调减区间．
∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈(0,1)时，x1x2－1<0；
x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1≥0，
∴当x1，x2∈(0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)≥0，函数f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，在
(－∞，－1]上是减函数．
又x∈[0,1)，u∈(－1,0]上恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．
解法2：f′(x)＝()′＝，
f′(x)>0⇒x∈(－1,1)，即在(－1,1)上函数单调递增．
f′(x)≤0⇒x∈[1，＋∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，＋∞)上函数单调递减．
综上知，函数f(x)的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
12．(15分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x>0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)＋f(n)．
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(2)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2，且f(x)在
(0，＋∞)上是单调增函数，求x的取值范围．
解：(1)令m＝n＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2⇔f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)．
因为f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)⇔
⇔3<x≤，故x的取值范围为(3，]．
13．(20分)已知函数f(x)＝lnx－.
(Ⅰ)判定函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a>1，证明：<.
解：(Ⅰ)∵f′(x)＝－
＝－＝－
＝＝－.
又∵函数f(x)的定义域为x>0，
∴≤0，
而在(0，＋∞)上，只有当x＝1时，f′(x)＝0，
∴f(x)是定义域上的减函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数，
∴当a>1时，f(a)<f(1)，
即lna－<0，即lna<，
又∵a－1>0，∴<成立．

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