高三数学萃取精华复习测试题13.doc

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哈九中一模
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围
20．（1） 由已知，所以，所以
所以 1分
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
所以 3分
所以 4分
（2）设
设与椭圆联立得

整理得

得 6分

由点在椭圆上得
8分
又由,即
所以 所以

整理得：

所以 10分
所以 由得

所以，所以或 12分

21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（3）当时，设函数，若对任意地，恒成立，求实数的取值范围
21．解： ………1
（1）当时，
令时，解得，所以在递增；
令时，解得，所以在递减 …………………4
（2）因为，函数的图像在点处的切线的倾斜角为，
所以，
所以，，………5
，
……6
因为对于任意的，
函数在区间上 总存在极值，
所以只需， ………7
解得 ………8
（3）设
…………9
时，递增，
所以不成立，（舍）
时，同，不成立，（舍）
时，递增，
所以，解得
所以，此时 时，递增，成立；
时，均不成立
综上， ……12 利用分离变量法求解同样给分

22．选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：（1）；
（2）；
（3）,,,四点共圆
22．（1）∽，，
………3
（2）∽，，
…………6
（3）AB是⊙O的直径，，
同理，，
所以，,,,到点的距离相等，
,,,四点共圆 ……10

23．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为；
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；
（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值
23．（1）；………4
（2）设，
则=……6
当时，的最大值为 …………10
24．选修4—5：不等式证明选讲
已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若，解不等式
24．（1）当时，…………2 当时，，………4
所以，的值域为；………5
（2）当时，原不等式，
此时解集为；……6
当时，原不等式，
此时解集为；……7
当时，原不等式，
此时解集为；………8
综上，不等式的解集为 ………………10

2. 冀州中学月考

20、已知数列满足，，且，
（n=1,2,3,）.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）令，记数列的前n项的和为，求证：<3.
20、解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得 ………2分
当n为奇数时，不妨设n=2m1，，则， 为等差数列，
=1+2(m1)=2m1, 即。 ………4分
当n为偶数时，设n=2m，，则， 为等比数列，
，故，
综上所述， ………6分
（2）
………8分

两式相减：
………10分
，故 ………12分
注：若求出猜想出通项（1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。

21、已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．
21、解：（1）设，，．
∵是线段的中点，∴ ………2分
∵分别是直线和上的点，∴和．
∴ …………4分
又，∴． …………5分
∴，∴动点的轨迹的方程为． …………6分
（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．
设、、，
则两点坐标满足方程组
消去并整理，得， …………8分
∴， ① ． ②
∵，∴
即∴．∵与轴不垂直，∴，
∴，同理． ………10分
∴．
将①②代入上式可得． …………12分

22、已知函数。
（1）求函数的定义域，并判断的单调性；
（2）若
（3）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
22、解：（Ⅰ）由题意知
当

当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.
所以 …………6分
（Ⅲ）
令
① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值
② 当时，有两个实根
当x变化时，、的变化情况如下表所示：

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
的极大值为，的极小值为
③ 当时，在定义域内有一个实根，
同上可得的极大值为 ……
……10分
综上所述，时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为
当时，的极大值为…………12分

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