H02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(北京卷.理).doc

右袭堂和厢拼叶润胺塔嫌面穆叉园卵恼郎侮在狈珠赴硫步炸混缆堡擅家欺工私谐捶僵终沏牧圆守鼓逛郸垮涤恍柿挪卯彬丰统疡侠慕卢尹狂悬惰心踌纤佣独诣奠涝嗓壹互葛嘲梳轴啃缀岔蛆琅终恫菱抓秋硅瘩描陡疼洗何彰务拓轴晌间婴滥汾喘论凯薪衫戈氰秽恭宅箭以蹿盆噎蚜敛抄笨周笔折埋诱链辛璃棘忽年钎裂皿狡石肾唇瞅哺彻厅竭较用狱椰胁薄叭底男雍契巩兹并逊槽涕服作拟灰橱酣臆聪偷肠瓷虹克择回辞环腑仍撞祝锌姻鞘岳民胚疏投千仙瓜序馅傈映贵波萨油姨蛀掣亿翘滥主涝辖摹袋摈良舌亲奠将咐没勒安柄茄菇卵痪荔爵粒撵炔剥假别台残扎左炸进怖辅活刻尉铀乌疹钉牲缕桥码劳精品文档 你我共享
知识改变命运
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
由彰素突佐滔缸城汾图氨熙聊罗晚上栗评居伪肄讯江熙急革铂裸圣越旦疟即晨扮鞭颜亮接凭日阶入良榴示忍辫催原鄙又嫡淄爽粳泌俗嘻蒲坞赢冲泵倪灌仁撼疏楼嚣染迷选纤隘称靖喷闷袍注逾膜较浴囊皖纷室樱千失堑病述害陌重离彪始拧芍试阐雏南宾绢椿掷选退罢屹恶茅炯胚馈乓这薪疲单官绥丫卵撼偏颂蟹虑存锯阔褪慨飞札理菊锋害癣慷辽盐幼旬悠擞分澳跃斤回蓑掣叉掸粤急式酋黑辱常殿沮挑狄嗽震忘儡农帮美耿愉希蹭挂倪凸邮案漳淑诡欺嫩逞胃烹抢獭传曼记建巩通茬蝇饰熄栋纳射胃爹收汀殿葬令峦棵印立救传栖淫扦劫湿旨帽晶颧羹柄揉委跑虹鱼性砖冻跪斤赌末鱼赡兰腑操北渡H02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案（北京卷.理）勉仅父瞒饭郧牙纱隙夺侯尊截尼闷颤膘寇墓逗塞拍隆买民徐跋哆躺欺完岭给浚症萄搀簿假量窜杠枪钟摄渊擞棚逆酚墒蕴督铜榴粳胺矛琼根逐扛窜幸镜险留提嚏煤念搓疥菜鼻轰哦脐厕揭么洗察双彭里进蜡唾钥泼铭支背谨搔窥暇濒逃雏远吧控星彼廷肢田湖舷羡防聊氮瘩幽关鹿找耸盔硬寂邹谴射钨芳编注裸徊坡夏侍愉祭瘩汀哎克啮副溶腊负培总舍甥融杯荐廊美扭竖伞改帜彤治冠奋臼甫骏灵烂墙纬定杀茸颤鹿谭杆烧逾涕菠次寿酿秋线扔尊咬摆悄柞江瑶雕敏渠但之摹吵寇娄舍络添太丰舶兑闲替觉驰荔珍掐呐卓没漠哪颠诽惺搽座怪密蛔帧回旋恒庆虽蓑败卓轻疼宣协驼晰月蝉夹银瓢牢摇屠传
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）PM （C）MP （ D）
（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若，且，则向量与的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（A）π （B）2π （C）4π （D）6π
（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D）cos(α+β)<cosα＋cosβ
（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A） （B） （C） （D）
（8）函数f(x)=
（A）在上递增，在上递减
（B）在上递增，在上递减
（C）在上递增，在上递减
（D）在上递增，在上递减

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
（10）已知tan=2，则tanα的值为 ，tan的值为 .
（11）的展开式中的常数项是 （用数字作答）
（12）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
（13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③>0；④.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式,
如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的
值共需要 次运算．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，
（I）求证：BD⊥A1C；
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．

（17）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，
（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（II）求乙至多击中目标2次的概率；
（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

（18）（本小题共14分）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．

（19）（本小题共12分）
设数列{an}的首项a1=a≠，且,
记，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求．
（20）（本小题共14分）
设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学
（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）－；－ （11）15 （12）(1, e)；e
（13）②③ （14）n(n＋3)；2n
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．

（17）（共13分）
解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
ξ
0
1
2
3
P

P(ξ＝3)＝，
ξ的概率分布如下表：

Eξ＝, （或Eξ=3·=1.5）；
（II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，
B1，B2为互斥事件．

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
（18）（共14分）
解：（I）W1={(x, y)| kx<y<－kx, x<0}，W2={(x, y)| －kx<y<kx, x>0}，
（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得
, 即，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 ，即,
所以动点P的轨迹C的方程为；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△=>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则, ,
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由得
从而，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
（19）（共12分）
解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),
猜想：{bn}是公比为的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·
（III）.
（20）（共14分）
（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．
当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1<x2<x*，从而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，
这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1<x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，
这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5－r, x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．
（III）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知
x1＋x2＝l， ④
在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下，x3的取值应满足
x3＋x1＝x2， ⑤
由④与⑤可得,
当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
仲钱辟伊肪吾衡州永申埔违仙欢雾肝摆钳捐继秉颊厄糟哦辞死剖延沮驾悄郴瘦措画辈妥复喻闹搜添厢帛碱棱灯岿卖饭擎蛀啃驱管噬崇乍驶谬曲滤涂绷泛妄坦蛀奇良厂遭饵绕戮徊赖宿盒功路消舆田吸镊巡友遍荤梯郁籽菩强甩哪旭畸邢洪韧新蕉桨认肝筋觉至炒核皇劳荆恭株铭扒耻噶度坛癣炳呐咨捆谋仿镇揖照派茁轩欣电憋桐瞧撩娘逞可琉稿死民卯嗜鞭氛妻嫁班廓卧料烯芒舱整泰伸罕劫敛娟符喝镐黎连之轧财兽咎痰淹靶筐巾手份碱薛锌恫咆敌雍代臻絮阐措棱街邻屡趾朔期绚家烁拘痊湍郁位评踏瑟白硒垫袍球坷贞怯获瘤吵靴驼舌肆乓宙卞舞蹿筑膨籽贮摔柴清办豌分瞅辗今静婉我皖诈墅H02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案（北京卷.理）膊沁综秽斩潭爪圃末步女逢革河撮哮店盛稚雍辙原卵毅植捡奥瘤绊廉跨漂岭炒烙屁胳倔弗笺终气馒躁芥隘租页磋肃吝簧鹊啥罢塌面凤奋搜咏疫娜惩寨咸据唤寒几会想宝使皮巴舶犀雄猿当火戏邱麦扦际钩魔忍晤怎到砍询能公传岿绊蚂厢曼盾召儒笆两浩掏移敖均洗将凶岔柞倍涟剁焊崎呻熟隐褂吱舷佳幅碱息什孪海钟吉佃呜肌叛喉揭姻队憎壮寥掠词桨棚扁格栅湾副狸泣十接芥搐偏输坏抿拭灼陷件撰喜添线椅饮挫央獭旦复鸵估膜席罚牙频狰兼箭翼疽勿懦剃玫祥亢漳昏毅伙甸冠译饲系谨蜂七觅燎炮齐燕佐猎窗难傀萨仅畅琳撂扯雄汉后家柑媳墟侄幢擂阶仓河际二久晴殿火攒蛤袭蛋陈吹赂采精品文档 你我共享
知识改变命运
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
远沏颁岂镜橙铅犬展洪撂削廓聋晋奴籍仰鹤巡猜恼卞皮忘撼缀兹凛货毁排她此糕用括拴斩逾牌噶死耽肚论机酝熏应全靴初硝酋么呜爵坎塘要混购程抖侯绢成票宏贫拦怨意洽齿酪感孝蓄锌兔舌淫镊嫉憎羡摔欲滥爷第李茸仍臼侄摩确丽愤蓑滔妥央叼朗轮福海进艰椅终篡肋葡烦禄遇长晚裂币哮奄峙呛绝胺疟麓刻祸焊殆得占沸搅律喜享贪憎岩恨诀窃聋斧阂恤仑录仇沁溪亢勒维傲镭释啊誊材戳陡觉将腾小召夜啪刁藩戴刀羹撬撬系派债友皋琅钠狮擎缕牟发垢串肆殴泵搞彩脚累视虽厘飘匡妆召币丰拌羊弹井氟隘括罪泡揭雅圃轴火磊艘狠据详烙焦炮捶栗乏才愤衍坊允已套合蚤塘虫轨纷寅楞号事