Kadomtsov-Petviashvili-Benjamin-Bona-Mahony方程的行波解.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 0 8基金项目:贵州省教育厅自然科学研究项目(2 0 2 20 1 5号,Q J J 2 0 2 3 0 1 2,Q J J 2 0 2 3 0 6 1,Q J J 2 0 2 3 0 6 2)第一作者:朱引(1 9 9 8),女,硕士研究生,研究方向为微分方程的定性分析.通信作者:刘小华(1 9 7 5),女,博士,教授,研究方向为微分方程的定性分析.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 2 5 0-0 7K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y方程的行波解朱引,刘小华(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 5 5 0 0 2 5)摘要:利用修正的辅助方程法研究了K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y(K P-B BM)方程的行波解,得到了该方程的双曲余切函数解和雅克比椭圆函数解,并利用M a t l a b软件给出了所得解的性态行为.关键词:K P-B BM方程;修正辅助方程法;行波解;双曲函数解;雅克比椭圆函数解中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标志码:AT r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s o f t h e K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y e q u a t i o nZ HU Y i n,L I U X i a o h u a(S c h o o l o f D a t a S c i e n c e a n d I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g,G u i z h o u M i n z u U n i v e r s i t y,G u i y a n g 5 5 0 0 2 5,C h i n a)A b s t r a c t:T h e t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n o f t h e K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y(K P-B BM)e q u a t i o n w a s s t u d i e d b y t h e m o d i f i e d a u x i l i a r y e q u a t i o n m e t h o d.T h e H y p e r b o l i c c o t a n g e n t s o l u t i o n a n d t h e J a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o n s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n w e r e o b t a i n e d,a n d t h e s e x u a l b e h a v i o r o f t h e o b t a i n e d s o l u t i o n w a s g i v e n b y u s i n g M a t l a b s o f t w a r e.K e y w o r d s:K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y e q u a t i o n;m o d i f i e d a u x i l i a r y e q u a t i o n m e t h o d;t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s;h y p e r b o l i c f u n c t i o n s o l u t i o n s;J a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o n s o l u t i o n s0 引言非线性偏微分方程广泛存在于多个领域中,如流体动力学、量子力学、浅水波理论、生物技术、信号处理等1.为此,学者们建立了许多有效的方法来获得非线性偏微分方程的精确解,如(G/G)展开法2-9、H o m t p y微扰技术1 0、L i e对称分析方法1 1-1 2、各种块状孤子1 3-1 4等.K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y(K P-B BM)方程为:ux t+ux x+(u2)x x+ux x x t+uy y=0,(1)其中、分别是非线性项、色散项和耗散项的系数.由于该方程可描述某些非线性色散系统中的双向小振幅和弱色散长波,因此许多学者对其进行了研究.例如:S o n g等1 5利用动力学系统的分岔方法研究了方程(1)的分岔相图,并给出了方程(1)在不同参数条件下的孤立波数量,同时通过一些特殊的同 第3期朱引,等:K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y方程的行波解宿轨道得到了方程(1)的8个精确的孤立波解;T a r i q等1 6借助辅助方程法得到了K P-B BM方程的三角函数解;S a h a等1 7利用截断的P a i n l e v 展开法生成了一个自动B c k l u n d变换,并由此确定了K P-B BM方程的一些新的亮孤子解;M a n a f i a n等1 8构造了方程(1)的周期波解,并通过数值模拟解的图形得到了方程(1)的多波、呼吸波、周期性、交叉扭折波解.基于上述研究,本文利用修正的辅助方程法研究K P-B B M方程的行波解,并利用M a t l a b软件给出了该方程的行波解在不同参数条件下的3 D图和2 D图.1 修正辅助方程法本文考虑如下非线性偏微分方程:P(u,ux,uy,ut,ux x,ux y,ux t,)=0,(2)其中P是多项式函数.修正辅助方程法的步骤为:第1步令行波变换 u(x,y,t)=U(),=x+y-C t,(3)其中C为波速.将式(3)代入到式(2)中可得到以下常微分方程:P(U,U,U,)=0,(4)其中U=dUd.第2步假设方程(4)有如下形式的解:U()=ni=-nii(),(5)其中n是正整数,i是待确定的任意常数,()满足:2()=a+b2()+c4(),(6)其中a、b、c是常数且不全为零.方程(6)具有以下形式的解1 9:当a=1、b=-(1+m2)、c=m2时,()=s n(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.当a=1-m2、b=2m2-1、c=-m2时,()=c n(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.当a=m2-1、b=2-m2、c=-1时,()=d n(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.当a=m2、b=-(1+m2)、c=1时,()=n s(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.当a=1-m2、b=2-m2、c=1时,()=c s(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.当a=1、b=2m2-1、c=m2(m2-1)时,()=s d(,m),其中m表示椭圆模量,并且0m1.第3步首先,根据齐次平衡原则计算式(5)中n的值;然后,将式(5)和式(6)代入到式(4)中求出关于j()的多项式,并令j()的系数为零,以此可得到关于C、a、b、c、i(i=-2,-1,0,1,2)的代数方程组;最后,求解所得的代数方程组即可得到方程(1)的解.2 K P-B BM方程的行波解将式(3)代入方程(1)中可得:(1+-C)U+2 U 2+2 U U-CU =0.(7)对方程(7)进行积分(令积分常数为零)可得以下方程:(1+-C)U+2 U U-CU=0.(8)由平衡方程(8)中的最高阶非线性项U U 和最高阶导数项U 可得n=2.由此可知式(5)可写为:U()=0+11()+-1-1()+22()+-2-2().(9)将式(9)和式(6)代入式(8)中可得到一个关于j()的多项式.令每个关于j()的多项式的系数为零,则可得到如下关于C、a、b、c、i(i=-2,-1,0,1,2)的代数方程组:152延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 4 22-2 4Cc 2=0,6 12-6Cc 1=0,-4 2-2+2 4Ca-2=0,-6-1-2+6Ca-1=0,1+1-C 1+2 01+2-12-Cb 1=0,-1-1+C-1-2 0-1-2 1-2+Cb-1=0,-2-2-2-2+2C-2-4 0-2-2 2-1+8Cb-2=0,22+2 2-2C 2+4 02+2 21-8Cb 2=0.(1 0)解代数方程组(1 0)可得以下几组解:第1组的解为:-2=6Cc,-1=0,0=4Cb-1-+C2,1=0,2=0.将上述解代入式(9)中可得方程(1)的解为:U()=4C b-1-+C2+6C c-2().(1 1)1)当a=1、b=-(1+m2)、c=m2时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u1(x,y,t)=-4C(1+m2)-1-+C2+6Cm21s n2(,m),(1 2)其中=x+y-C t.当m1时,式(1 2)可以转化为:u2(x,y,t)=-8C-1-+C2+6Cc o t h2(x+y-C t).2)当a=1-m2、b=2m2-1、c=-m2时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u3(x,y,t)=4C(2m2-1)-1-+C2+-6Cm21c n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.3)当a=m2-1、b=2-m2、c=-1时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u4(x,y,t)=4C(2-m2)-1-+C2+-6C1d n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.4)当a=m2、b=-(1+m2)、c=1时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u5(x,y,t)=-4C(1+m2)-1-+C2+6C1n s2(,m),其中=x+y-C t,0m1.5)当a=1-m2、b=2-m2、c=1时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u6(x,y,t)=4C(2-m2)-1-+C2+6C1c s2(,m),其中=x+y-C t,0m1.6)当a=1、b=2m2-1、c=m2(m2-1)时,由式(3)可知式(1 1)可以转化为:u7(x,y,t)=4C(2m2-1)-1-+C2+6m2(m2-1)C1s d2(,m),其中=x+y-C t,0m1.第2组的解为:-2=6Ca,-1=0,0=1+-C-4Cb-2,1=0,2=6Cc.将上述解代入式(9)中可得方程(1)的解为:252 第3期朱引,等:K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y方程的行波解 U()=1+-C-4Cb-2+6Cc2()+6Ca-2().(1 3)1)当a=1、b=-(1+m2)、c=m2时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u8(x,y,t)=1+-C+4C(1+m2)-2+6Cm2s n2(,m)+6C1s n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.2)当a=1-m2、b=2m2-1、c=-m2时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u9(x,y,t)=1+-C-4C(2m2-1)-2+-6Cm2c n2(,m)+6C(1-m2)1c n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.3)当a=m2-1、b=2-m2、c=-1时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u1 0(x,y,t)=1+-C-4C(2-m2)-2+-6Cd n2(,m)+6C(m2-1)1d n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.4)当a=m2、b=-(1+m2)、c=1时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u1 1(x,y,t)=1+-C+4C(1+m2)-2+6Cn s2(,m)+6Cm21n s2(,m),其中=x+y-C t,0m1.5)当a=1-m2、b=2-m2、c=1时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u1 2(x,y,t)=1+-C-4C(2-m2)-2+6Cc s2(,m)+6C(1-m2)1c s2(,m),其中=x+y-C t,并且0m1.6)当a=1、b=2m2-1、c=m2(m2-1)时,由式(3)可知式(1 3)可以转化为:u1 3(x,y,t)=1+-C-4C(2m2-1)-2+6m2(m2-1)Cs d2(,m)+6C1s d2(,m),其中=x+y-C t,0m1.第3组的解为:-2=0,-1=0,0=4Cb-1-+C2,1=0,2=6Cc.将上述解代入到式(9)中可得方程(1)的解为:U()=4Cb-1-+C2+6Cc2().(1 4)1)当a=1、b=-(1+m2)、c=m2时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 4(x,y,t)=-4C(1+m2)-1-+C2+6Cm2s n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.2)当a=1-m2、b=2m2-1、c=-m2时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 5(x,y,t)=4C(2m2-1)-1-+C2+-6Cm2c n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.3)当a=m2-1、b=2-m2、c=-1时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 6(x,y,t)=4C(2-m2)-1-+C2+-6Cd n2(,m),其中=x+y-C t,0m1.352延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 4)当a=m2、b=-(1+m2)、c=1时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 7(x,y,t)=-4C(1+m2)-1-+C2+6Cn s2(,m),其中=x+y-C t,0m1.5)当a=1-m2、b=2-m2、c=1时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 8(x,y,t)=4C(2-m2)-1-+C2+6Cc s2(,m),其中=x+y-C t,0m1.6)当a=1、b=2m2-1、c=m2(m2-1)时,由式(3)可知式(1 4)可以转化为:u1 9(x,y,t)=4C(2m2-1)-1-+C2+6m2(m2-1)Cs d2(,m),其中=x+y-C t,0m1.3 解的性态分析图1是方程(1)的解u2(x,y,t)在-5x,y5区间内的3 D图(a)和2 D图(b).其中:3 D图的参数为=2,=1,=4,C=1,t=1;2 D图中y=2.由图1可以看出,解u2(x,y,t)有一个尖峰,并且图中的曲线无限接近x轴,所以图1是方程(1)的一个双曲余切函数解.图2 图6是方程(1)的解u3(x,y,t)、u4(x,y,t)、u6(x,y,t)、u8(x,y,t)、u1 4(x,y,t)在-5x,y5区间内的3 D图(a)和2 D图(b).其中:3 D图的参数分别为=2,=1,=4,C=1,t=1,m=0.4;2 D图中y=2.由图2(a)图6(a)可以看出,解u3(x,y,t)、u4(x,y,t)、u6(x,y,t)、u8(x,y,t)、u1 4(x,y,t)有多个峰波,并且高度不同;由图2(b)图6(b)可以看出,解u3(x,y,t)、u4(x,y,t)、u6(x,y,t)、u8(x,y,t)、u1 4(x,y,t)是一组连续波组:所以,图2 图6是方程(1)的周期波解.图1 解u2(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)图2 解u3(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)452 第3期朱引,等:K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y方程的行波解图3 解u4(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)图4 解u6(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)图5 解u8(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)图6 解u1 4(x,y,t)的3 D图(a)和2 D图(b)参考文献:1 MANA F I AN J,I LHAN O A,A L I Z A D EH A.P e r i o d i c w a v e s o l u t i o n s a n d s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r t h e K P-B BM e q u a t i o n w i t h a b u n d a n t n o v e l i n t e r a c t i o n s o l u t i o n sJ.P h y s i c a S c r i p t a,2 0 2 0,9 5(6):0 6 5 2 0 3.552延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 2 WANG M,L I X,Z HANG J.T h e(G/G)-e x p a n s i o n m e t h o d a n d t r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r e v o l u t i o n e q u a t i o n s i n m a t h e m a t i c a l p h y s i c sJ.P h y s i c s L e t t e r s A,2 0 0 8,3 7 2(4):4 1 7-4 2 3.3 AK B A R M A,A L I N H M,Z AY E D E M E.A b u n d a n t e x a c t t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s o f g e n e r a l i z e d b r e t h e r t o n e q u a t i o n v i a i m p r o v e d(G/G)-e x p a n s i o n m e t h o dJ.C o mm u n i c a t i o n s i n T h e o r e t i c a l P h y s i c s,2 0 1 2,5 7(2):1 7 3.4 AK B A R M A,H J N,A L I M,e t a l.S o m e n e w e x a c t t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s t o t h e(3+1)-d i m e n s i o n a l K a d o m t s e v-P e t v i a s h v i l i e q u a t i o nJ.W o r l d A p p l S c i J,2 0 1 2,1 6(1 1):1 5 5 1-1 5 5 8.5 S AHOO S,R AY S S.N e w t r a v e l l i n g w a v e a n d a n t i-k i n k w a v e s o l u t i o n s o f s p a c e-t i m e f r a c t i o n a l(3+1)-d i m e n s i o n a l J i m b o-M i w a e q u a t i o nJ.C h i n e s e J o u r n a l o f P h y s i c s,2 0 2 0,6 7:7 9-8 5.6 Z AY E D E M E,G E P R E E L K A.T h e(G/G)-e x p a n s i o n m e t h o d f o r f i n d i n g t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n m a t h e m a t i c a l p h y s i c sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l P h y s i c s,2 0 0 9,5 0(1):0 1 3 5 0 2.7 AK B A R M A,A L I N H M.T h e a l t e r n a t i v e(G/G)-e x p a n s i o n m e t h o d a n d i t s a p p l i c a t i o n s t o n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.I n t J P h y s S c i,2 0 1 1,6(3 5):7 9 1 0-7 9 2 0.8 MOHYU D-D I N S T.T h e a l t e r n a t i v e(G/G)-e x p a n s i o n m e t h o d w i t h g e n e r a l i z e d R i c c a t i e q u a t i o n:a p p l i c a t i o n t o f i f t h o r d e r(1+1)-d i m e n s i o n a l C a u d r e y-D o d d-G i b b o n e q u a t i o nJ.I n t J P h y s S c i,2 0 1 2,7 5:7 4 3.9 A L AM M N,L I X.E x a c t t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s t o h i g h e r o r d e r n o n l i n e a r e q u a t i o n sJ.J o u r n a l o f O c e a n E n g i n e e r i n g a n d S c i e n c e,2 0 1 9,4(3):2 7 6-2 8 8.1 0 D EHGHAN M,MANA F I AN J.T h e s o l u t i o n o f t h e v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s f o u r t h-o r d e r p a r a b o l i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b y t h e h o m o t o p y p e r t u r b a t i o n m e t h o dJ.Z e i t s c h r i f t f r N a t u r f o r s c h u n g A,2 0 0 9,6 4(7/8):4 2 0-4 3 0.1 1 KUMA R S,KUMA R D,WA ZWA Z A M.G r o u p i n v a r i a n t s o l u t i o n s o f(3+1)-d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e d B-t y p e K a d o m s t s e v P e t v i a s h v i l i e q u a t i o n u s i n g o p t i m a l s y s t e m o f L i e s u b a l g e b r aJ.P h y s i c a S c r i p t a,2 0 1 9,9 4(6):0 6 5 2 0 4.1 2 KUMA R S,KUMA R D,KHA R B AN D A H.L i e s y mm e t r y a n a l y s i s,a b u n d a n t e x a c t s o l u t i o n s a n d d y n a m i c s o f m u l t i s o l i t o n s t o t h e(2+1)-d i m e n s i o n a l K P-B BM e q u a t i o nJ.P r a m a n a,2 0 2 1,9 5(1):3 3.1 3 MOHYUD-D I N S T,I R S HA D A,AHME D N,e t a l.E x a c t s o l u t i o n s o f(3+1)-d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e d K P e q u a t i o n a r i s i n g i n p h y s i c sJ.R e s u l t s i n P h y s i c s,2 0 1 7,7:3 9 0 1-3 9 0 9.1 4 MANA F I AN J,MOHAMMA D I I B,A B A P OUR M.B r e a t h e r w a v e,p e r i o d i c,a n d c r o s s-k i n k s o l u t i o n s t o t h e g e n e r a l i z e d B o g o y a v l e n s k y-K o n o p e l c h e n k o e q u a t i o nJ.M a t h e m a t i c a l M e t h o d s i n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,2 0 2 0,4 3(4):1 7 5 3-1 7 7 4.1 5 S ON G M,YANG C,Z HAN G B.E x a c t s o l i t a r y w a v e s o l u t i o n s o f t h e K a d o m t s o v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y e q u a t i o nJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a t i o n,2 0 1 0,2 1 7(4):1 3 3 4-1 3 3 9.1 6 TA R I Q K U H,S E A D AWY A R.S o l i t o n s o l u t i o n s o f(3+1)-d i m e n s i o n a l K o r t e w e g d e V r i e s B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y,K a d o m t s e v-P e t v i a s h v i l i B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y a n d m o d i f i e d K o r t e w e g d e V r i e s-Z a k h a r o v-K u z n e t s o v e q u a t i o n s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s i n w a t e r w a v e sJ.J o u r n a l o f K i n g S a u d U n i v e r s i t y-S c i e n c e,2 0 1 9,3 1(1):8-1 3.1 7 S AHA R S,S I N GH S.N e w b r i g h t s o l i t o n s o l u t i o n s f o r K a d o m t s e v-P e t v i a s h v i l i-B e n j a m i n-B o n a-M a h o n y e q u a t i o n s a n d b i d i r e c t i o n a l p r o p a g a t i o n o f w a t e r w a v e s u r f a c eJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M o d e r n P h y s i c s C,2 0 2 2,3 3(5):2 2 5 0 0 6 9.1 8 MANA F I AN J,I LHAN O A,A L I Z A D EH A.P e r i o d i c w a v e s o l u t i o n s a n d s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r t h e K P-B BM e q u a t i o n w i t h a b u n d a n t n o v e l i n t e r a c t i o n s o l u t i o n sJ.P h y s i c a S c r i p t a,2 0 2 0,9 5(6):0 6 5 2 0 3.1 9 A L I A.T r a v e l l i n g w a v e s s o l u t i o n s o f t h e K P e q u a t i o n i n w e a k l y d i s p e r s i v e m e d i aJ.O p e n P h y s i c s,2 0 2 2,2 0(1):7 1 5-7 2 3.652