一类Hadamard型分数阶微分方程边值问题的Lyapunov不等式及其解的存在性.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 4 2 8第一作者:葛月英(1 9 9 9),女,硕士研究生,研究方向为常微分方程理论及其应用.通信作者:葛琦(1 9 7 5),女,硕士,教授,研究方向为常微分方程理论及其应用.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 1 8 9-0 7一类H a d a m a r d型分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式及其解的存在性葛月英,葛琦(延边大学 理学院,吉林 延吉 1 3 3 0 0 2)摘要:研究了一类H a d a m a r d型分数阶微分方程的边值问题.首先,将微分方程边值问题转化为等价的积分方程问题;其次,根据边值条件求出微分方程相应的格林函数,并利用格林函数的性质得出微分方程所对应的L y a p u n o v不等式;最后,分别利用B a n a c h压缩映像原理和L e r a y-S c h a u d e r不动点定理证明了该类非线性边值问题解的存在性,并通过算例验证了所得结果的正确性.关键词:H a d a m a r d型分数阶微分方程;L y a p u n o v不等式;边值问题;格林函数;不动点定理中图分类号:O 1 7 5.8 文献标志码:AE x i s t e n c e o f L y a p u n o v i n e q u a l i t y a n d i t s s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f H a r d m a r d t y p eG E Y u e y i n g,G E Q i(C o l l e g e o f S c i e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:A H a d a m a r d t y p e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w a s s t u d i e d.F i r s t l y,t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w a s e q u i v a l e n t t o t h e i n t e g r a l e q u a t i o n p r o b l e m.S e c o n d l y,t h e c o r r e s p o n d i n g G r e e n f u n c t i o n w a s o b t a i n e d a c c o r d i n g t o t h e b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n s,a n d t h e L y a p u n o v i n e q u a l i t y c o r r e s p o n d i n g t o t h e e q u a t i o n w a s o b t a i n e d b y u s i n g t h e p r o p e r t i e s o f G r e e n f u n c t i o n.F i n a l l y,t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f n o n l i n e a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w a s p r o v e d b y B a n a c h c o m p r e s s i o n m a p p i n g p r i n c i p l e a n d L e r a y-S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m r e s p e c t i v e l y.T h e c o r r e c t n e s s o f t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h i s p a p e r w a s v e r i f i e d b y a n e x a m p l e.K e y w o r d s:f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f H a r d m a r d t y p e;L y a p u n o v i n e q u a t i o n;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m;G r e e n f u n c t i o n;f i x e d p o i n t t h e o r e m0 引言因分数阶微分方程模型可应用于自然科学、工程技术等多个领域,因此近年来许多学者对其进行了研究,并给出了不同的分数阶导数,如R i e m a n n-L i o u v i l l e导数、C a p u t o导数、G r u n w a l d-L e t n i k o v导数、M a r c h a u d导数、H a r d a m a r d导数等.2 0 1 7年,M a等1研究了如下一类含H a d a m a r d分数阶导数的分数阶微分方程的边值问题:延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 HaDu(t)-q(t)u(t)=0,1te;u(a)=u(e)=0.其中:1()1-(1-)1-e.其中:=2-1-(2-2)2+12.2 0 1 9年,L a a d j a l等2对文献1 中的边值条件进行了推广,即研究了如下边值问题:HaDu(t)-q(t)u(t)=0,1atb;u(a)=u(b)=0.其中:12,q(t)是实连续函数.若上述方程有非零解,则有以下L y a p u n o v不等式成立:baq(s)ds()l nal nb/l nba 1-.其中:=e x p122(-1)+l nb a-4(-1)2+l n2ba .受文献1-2 的启发,本文研究如下一类含H a d a m a r d分数阶导数的分数阶微分方程的边值问题的L y a p u n o v不等式:H1Du(t)+q(t)u(t)=0,1te;u(1)=u(1)=u(1)=0,H1D(e)=0.(1)其中:34,12,q(t)是实连续函数.同时本文还研究以下微分方程解的存在性:H1Du(t)+f(t,u(t)=0,1te;u(1)=u(1)=u(1)=0,H1D(e)=0.(2)其中:34,12,q(t)是实连续函数.1 预备知识定义13定义函数u(t)的阶H a d a m a r d分数阶积分为:HaIu(t)=1()tal nts -1u(s)dss,atb.其中:aR+,且n-1n,nN.定义23定义函数u(t)的阶H a d a m a r d分数阶导数为:HaDu(t)=1(n-)tndndtn tal nts n-1u(s)dss,atb.其中:aR+,且n-1n,nN.由定义1和定义2可得到如下关系式:HaIHaDu(t)=u(t)+ni=1cil nta -i,(3)H1DH1Iu(t)=u(t).(4)其中:n-10,ta1,则有HD1+l nta -1=()(-)l nta -1.引理2u(t)是边值问题(1)的解,当且仅当u(t)满足u(t)=e1G(t,s)q(s)u(s)ds,其中:091 第3期 葛月英,等:一类H a d a m a r d型分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式及其解的存在性 G(t,s)=(l nt)-1()s(1-l ns)-1-(l nt-l ns)-1()s,1ste;(l nt)-1()s(1-l ns)-1,1tse.(5)证明 假设u(t)是边值问题(1)的解,则对边值问题(1)的两侧做积分可得:u(t)=c1(l nt)-1+c2(l nt)-2+c3(l nt)-3+c4(l nt)-4-1()t1l nts -1q(s)u(s)dss.(6)由此再由u(1)=u(1)=u(1)=0,34可得c2=c3=c4=0.对u(t)求阶导数可得:H1Du(t)=c1()(-)(l nt)-1-1(-)t1l nts -1q(s)u(s)dss.(7)根据条件H1Du(e)=0可得c1=1()e1l nes -1q(s)u(s)dss.将该式代入式(6)可得:u(t)=1()e1(l nt)-1l nes -1q(s)u(s)dss-1()t1l nts -1q(s)u(s)dss,证毕.引理3G(t,s)有如下性质:1)G(t,s)0,t,s1,e1,e;2)s1,e,m a xt1,eG(t,s)=G(e,s)=(1-l ns)-11-(1-l ns)()s;3)m a xt,s1,eG(t,s)=(),其中:=e1+-2+(-2+1)2-4(-1)22-1-(-2+1)2-4-1 2 -1 1-2-1-(-2+1)2-4(-1)2 -1.(8)证明1)当t 1,s 时,由式(5)显然可得G(t,s)0;当ts,e 时,由式(5)可得:G(t,s)t=(-1)(1-l ns)-1(l nt)-2-(l nt-l ns)-2 ()s t.因此再由-1(1-l ns)-2,故 G(t,s)t(-1)(1-l ns)-2(l nt)-2-(l nt-l ns)-2 ()s t.由1ste知,0l ns1,0l nt1,因此有l ntl nsl ns,故l nt-l ntl nsl nt-l ns.又由于3 (l nt-l ns)-2(l nt)-1(-+l ns)+(l nt-l ns)-2(-1+l nt-l ns)()s2 (l nt-l ns)-2(l nt)-1(-+l ns)+(-1+l nt-l ns)()s2 (l nt-l ns)-2(l nt)-1(-+l ns)+(l nt)-1(-1+l nt-l ns)()s2 (l nt-l ns)-2(l nt)-1(+l nt-1)()s2.由上式可知G(t,s)s0,因此G(t,s)关于s是单调递增的,故有:m a xs1,tG(t,s)=G(t,t)=(l nt)-1(1-l nt)-1()t.(9)当st,e时,由式(5)可知,G(t,s)关于s是单调递减的,故有:m a xst,eG(t,s)=G(t,t)=(l nt)-1(1-l nt)-1()t.(1 0)综合式(9)和式(1 0)可得,对于t1,e有m a xs1,eG(t,s)=G(t,t)=(l nt)-1(1-l nt)-1()t.记H(t)=(l nt)-1(1-l nt)-1()t,则对H(t)进行求导可得:H(t)=(l nt)-2(1-l nt)-2(-1)(1-l nt)-l nt(-1)-l nt(1-l nt)()t2.再令H(t)=0,由此可得l nt=2-1(-2+1)2-4(-1)2.由于l nt(0,1),故H(t)=0有唯一解:t0=e2-1-(-2+1)2-4(-1)2,且H(t)0,1tt0;0,t0te.综上可知,m a xt,s1,eG(t,s)=H(t0)=(),其中满足式(8).引理4(L e r a y-S c h a u d e r不动点定理)5设V是B a n a c h空间Y的一个有界闭凸子集,E是V中的相对开球,且0E.若算子F:EV是全连续的,则下列结论之一成立:F在E中至少存在一个不动点;存在uE和(0,1),使得u=F(u).引理5(B a n a c h压缩映像原理)6假设D是B a n a c h空间E的非空闭子集,T:DD是压缩算子,即对任意的x,yD有T x-T ya x-y,a0,1).则存在唯一的x*D,使得T x*=x*,即T在D内存在唯一的不动点x*.2 主要结论及其证明定理1若边值问题(1)有非零解,则有:e1(1-l ns)-11-(1-l ns)sq(s)ds(),e1q(s)ds().证明 假设u(t)是边值问题(1)的非零解,则由引理2可知,u(t)=e1G(t,s)q(s)u(s)ds.令h=291 第3期 葛月英,等:一类H a d a m a r d型分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式及其解的存在性m a xt1,eu(t),则对t1,e 有u(t)e1G(t,s)q(s)u(s)ds e1m a xt1,eG(t,s)q(s)hds,即 1 e1m a xt1,eG(t,s)q(s)ds.(1 1)由引理3中的性质2)及式(1 1)可得 e1(1-l ns)-11-(1-l ns)sq(s)ds().再由引理3中的性质3)及式(1 1)可得 e1q(s)ds().证毕.以下本文利用定理1讨论如下特征值问题:H1Du(t)+u(t)=0,1te;u(1)=u(1)=u(1)=0,H1D(e)=0.(1 2)其中:34,10,使得f(t,y1)-f(t,y2)L y1-y2对于任意的t1,e和任意的y1,y2R都成立;(H3)存在非负连续函数l(t)C(1,e;R),使得f(t,y)l(t)y对任意的(t,y)1,eR都成立.定理2假设条件(H1)和(H2)成立,且若对于任意的t1,e有如下不等式成立:L()(e-1),(1 4)则边值问题(2)有唯一解.证明 首先证明算子P:EE为压缩算子.由条件(H2)可知,对任意的u1,u2C(1,e;R)有:P u1(t)-P u2(t)e1G(t,s)f(s,u1(s)-f(s,u2(s)ds L e1G(t,s)u1(s)-u2(s)dsL e1G(t,s)ds u1-u2 L(e-1)()u1-u2,因此由式(1 4)可知P是一个压缩算子.由此再由B a n a c h压缩映像原理可知,算子P存在唯一的不动点,即边值问题(2)存在唯一解.定理3假设条件(H1)和(H3)成立,且若对于任意的t1,e,有如下不等式成立:(e-1)()l0使得对任意的uTr有uM成立,再令L=m a xuMf(t,u(t)+1,则对任意的uTr有 P u=m a xt1,ee1G(t,s)f(s,u(s)ds(e-1)()L.于是根据算子一致有界的定义可知,P是一致有界的.下证P是等度连续的.由式(1 3)可知,对任意的1t1t2e以及任意的uTr,有:P u(t2)-P u(t1)=e1G(t2,s)f(s,u(s)ds-e1G(t1,s)f(s,u(s)ds 1()e1(1-l ns)-1(l nt2)-1f(s,u(s)dss-e1(1-l ns)-1(l nt1)-1f(s,u(s)dss+1()t21l nt2s -1f(s,u(s)dss-t11l nt1s -1f(s,u(s)dss=I1+I2.其中:I1lr(l nt2)-1-(l nt1)-1 ()e1(1-l ns)-1d(l ns)=lr(l nt2)-1-(l nt1)-1 ()(-),I2lr()t21l nt2s -1d(l ns)-t11l nt1s -1d(l ns)=lr(l nt2)-(l nt1)(+1).由上式可知,当t2-t10时,有I1,I20,即P u(t2)-P u(t1)0.由此可知P Tr是等度连续的,于是再由A r e z l a-A s c o l i定理可知P是紧算子.(i i i)算子P是有界的.利用反证法证明.由式(1 5)知存在足够大的N,使得(e-1)()l NN成立.定义集合E=uC(1,e;R):uN ,于是根据(i i)中的结论可知算子P:EC(1,e;R)是紧算子,且是连续的.假设存在(0,1)和uE,使得u=P u成立,则对任意的t(1,e)有:u(t)=P u(t)e1G(t,s)f(s,u(s)ds(e-1)lu().由(e-1)()l NN可得uN,这与u=N相矛盾,故对于任意的(0,1)和uE,有u P u成立.由定理3及引理4可知,算子P至少存在一个不动点,因此边值问题(2)至少有一个解,证毕.3 算例考虑如下边值问题:H1D72u(t)+t1+ts i nu=0,1te;u(1)=u(1)=u(1)=0,H1D32(e)=0.(1 6)其中:=72,=32,f(t,u(t)=t1+ts i nu.由函数连续的定义可知,f是定义在 1,eR上的连续函数.由引理3中的计算公式可得=e4 1-949-4 14 524 1-540.0 6 2 1 1 8,由此根据式(1 4)进一步计算可得()(e-1)8.故由定理2可知,当L8时边值问题(1 6)有唯一解.(下转第2 1 7页)491 第3期崔熙林,等:磁控溅射C d S e薄膜的光学和电学性质p h o t o v o l t a i c p r o p e r t i e s o f R F-s p u t t e r e d C d S e t h i n f i l m sJ.C r y s t a l s,2 0 2 1,1 1(1):7 3.1 7 Z HAO G L,Z HAN G T B,Z HAN G T,e t a l.E l e c-t r i c a l a n d o p t i c a l p r o p e r t i e s o f t i t a n i u m n i t r i d e c o a t i n g s p r e p a r e d b y a t m o s p h e r i c p r e s s u r e c h e m i-c a l v a p o r d e p o s i t i o nJ.J o u r n a l o f N o n-C r y s t a l l i n e S o l i d s,2 0 0 8,3 5 4(1 2/1 3):1 2 7 2-1 2 7 5.1 8 C U L L I T Y B D,S T O C K S R.E l e m e n t s o f X-r a y D i f f r a c t i o nM.3 r d E d i t i o n.N e w J e r s e y:P r e n t i c e H a l l,2 0 0 1:3 8 8.1 9 MA THUR I S,R AMAMUR TH I K,B A B U R R.E f f e c t o f S b i n c o r p o r a t i o n o n t h e s t r u c t u r a l,o p t i-c a l,m o r p h o l o g i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f C d S e t h i n f i l m s d e p o s i t e d b y e l e c t r o n b e a m e v a p o-r a t i o n t e c h n i q u eJ.T h i n S o l i d F i l m s,2 0 1 8,6 6 0:2 3-3 0.2 0 L A L I THA S,S A THYAMOO R THY R,S E N T-H I L A R A S U S,e t a l.I n f l u e n c e o f C d C l2 t r e a t m e n t o n s t r u c t u r a l a n d o p t i c a l p r o p e r t i e s o f v a c u u m e v a p o r a t e d C d T e t h i n f i l m sJ.S o l a r E n e r g y M a t e r i a l s a n d S o l a r C e l l s,2 0 0 6,9 0(6):6 9 4-7 0 3.2 1 S I N DHUA H S,MA I D UR S R,P A T I L P S,e t a l.N o n l i n e a r o p t i c a l a n d o p t i c a l p o w e r l i m i t i n g s t u d i e s o f Z n1-x M nxO t h i n f i l m s p r e p a r e d b y s p r a y p y r o l y-s i sJ.O p t i k,2 0 1 9,1 8 2:6 7 1-6 8 1.2 2 P A T I L K R,P A R AN J A P E D V,S A THAY E S D,e t a l.A p r o c e s s f o r p r e p a r a t i o n o f Q-C d S e t h i n f i l m s b y l i q u i d-l i q u i d i n t e r f a c e r e a c t i o n t e c h n i q u eJ.M a t e r i a l s L e t t e r s,2 0 0 0,4 6(2/3):8 1-8 5.2 3 KA L E R B,L OKHAN D E C D.S y s t e m a t i c s t u d y o n s t r u c t u r a l p h a s e b e h a v i o r o f C d S e t h i n f i l m sJ.T h e J o u r n a l o f P h y s i c a l C h e m i s t r y B,2 0 0 5,1 0 9(4 3):2 0 2 8 8-2 0 2 9 4.2 4 MAKOR I N E,AMA TA L O I A,KA R I M I P M,e t a l.O p t i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f C d O:S n t h i n f i l m s f o r s o l a r c e l l a p p l i c a t i o n sJ.I n t e r n a-t i o n a l J o u r n a l O p t o e l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g,2 0 1 4,4(1):1 1-1 5.(上接第1 9 4页)在条件(H3)中取l(t)=t.由于t1,e,因此有t1+tt,t1+ts i nuts i nu.由此可知条件(H3)成立,且f(t,u(t)满足条件(H1)和条件(H3).利用()(e-1)8对式(1 5)进行求解可得(e-1)()l1.由此再根据定理3可知,边值问题(1 6)至少存在一个解.参考文献:1 MA Q H,MA C,WAN G J U.A L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t y f o r a f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h H a d a m a r d d e r i v a t i v eJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I n e q u a l i t i e s,2 0 1 7,1 1(1):1 3 5-1 4 1.2 L AA D J A L Z,A D J E R OU D N,MA Q.L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t y f o r t h e H a d a m a r d f r a c t i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b-l e m o n a g e n e r a l i n t e r v a l a,b J.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I n e q u a l i t i e s,2 0 1 9,1 3(3):7 8 9-7 9 9.3 武杰慧,马德香.一类分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式及其正解的存在性J.汕头大学学报(自然科学版),2 0 2 2,3 7(2):2 6-3 3.4 张丽平.两类混合型分数阶微分方程的边值问题解的存在性研究D.昆明:云南师范大学,2 0 2 2.5 郑春华,宁艳艳.一类分数阶L a p l a c i a n方程边值问题解的存在性与唯一性J.云南民族大学学报(自然科学版),2 0 1 4,2 3(6):4 2 9-4 3 3.6 杨海鹏.B a n a c h压缩映射原理的应用J.湖南工程学院学报(自然科学版),2 0 1 8,2 8(1):5 3-5 6.7 甘亦苗,侯成敏.一类H a d a m a r d型分数阶微分方程解的存在唯一性J.延边大学学报(自然科学版),2 0 2 1,4 7(2):9 5-1 0 0.8 武杰慧.两类分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式研究D.北京:华北电力大学,2 0 2 2.9 F E R R E I R A R A C.A L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t y f o r a f r a c t i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e mJ.F r a c t i o n a l C a l c u l u s a n d A p p l i e d A n a l y s i s,2 0 1 3,1 6(4):9 7 8-9 8 4.1 0 O R E GAN D,S AME T B.L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t i e s f o r a c l a s s o f f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 5,2 4 7(1):1-1 0.712