投保人高损失区间存在净损失约束的最优保险设计.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：广西高校中青年教师科研基础能力提升项目（）；国家社会科学基金资助项目（）；广西教育科学规划高校创新创业 教 育 专 项 课 题 重 点 项 目（）；广 西 高 校 人 文 社 会 科 学 重 点 研 究 基 地 北 部 湾 海 洋 发 展 研 究 中 心 创 新 项 目（）作者简介：马本江（），男，内蒙古通辽人，博士，教授，博士生导师，研究方向：拍卖机制设计，保险经济学；蒋学海（），通讯作者，男，广西钦州人，硕士，助理研究员，研究方向：保险经济学，博弈论与机制设计。投保人高损失区间存在净损失约束的最优保险设计马本江，蒋学海，（中南大学 商学院，湖南 长沙 ；北部湾大学 北部湾海洋发展研究中心，广西 钦州 ）摘要：在不完全保险情形下，投保人通常期望出险后能够获得保险公司足够的赔偿而将自己的实际损失控制在一定的范围内。为了满足这类投保人的需求，本文引入了投保人的净损失约束，研究在该约束下投保人的最优保险问题。研究表明：如果 模型的解满足该约束，本模型的解与 模型解一致，最优保单是有且仅有一个免赔额的部分保险契约，否则最优保单将存在两个免赔额。投保人效用最优时，本模型在应对高损时所提供的赔付水平始终不低于 模型，而本模型在应对低损时对于 （）型投保人所提供的赔付水平依次要低于（高于 等于）模型。此外，投保人的期望效用将随着其净损失上限的提高而逐渐增大，直到 模型的解满足该约束时其效用达到最大。关键词：最优保险问题；净损失约束；模型；期望效用中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：，（，），（）（），：；引言最优保险问题是保险理论研究的重要课题之一，其研究范式主要分为均衡模型和最优化模型。均衡模型研究的是投保人与保险公司之间的最优风险分担，使保险市场达到均衡状态，而最优化模型研究的是投保人期望效用最大化或者其剩余风险最小化。与均衡模型相比，理论界对于保险最优化模型的研究更加丰富。其中，最经典的研究当属 ，文中通过假设投保人具有冯诺依曼 摩根斯坦（）效用函数，首次研究了投保人的效用最大化问题。研究表明，当保险公司根据期望保费原则收取保费时，投保人购买免赔额保险契约最优。随后，指出如果保险公司属于风险厌恶类型，那么投保人购买比例赔付保险契约最优。进一步，又在 的基础上从风险计划与资源配置的角度研究了投保人的最优保险问题，指出如果保费是由期望赔付的 倍给出时（其中 ），投保人购买免赔额保险契约最优且免赔额为严格正值。之后，不少学者在 模型的基础上作了许多创新性工作，大致可分为四类。其一是引入了相对更 复 杂、更 合 理 的 保 费 原 则，如 和 引入了更一般的凸保费原则，研究了投保人的最优保险问题。其二是针对具有模糊性偏好的投保人选择非期望效用最大化原则用以描述其保险决策行为，如 等 考虑了投保人具有秩依赖期望效用（）的情形。其三是引入风险约束条件以控制保险交易双方的风险，但风险约束对象主要集中于保险公司。例如，和 引入了保险免责条款，研究了可保损失与免责损失互斥情形下的最优保险问题。还有学者在 模型的基础上先后引入了保险公司的风险上限约束 、约束 和赔付上限约束 ，在保险公司风险约束下研究了投保人的最优保险问题。更具体的，和 、秦圣君 先后在 等 的基础上，考虑了保险公司的承保风险和投资风险，研究了保险公司股权风险约束下的最优保险问题。最后是引入了多个投保人、奖惩制度等情形，如 等 证明了当存在多个投保人时，如果保单相互依赖，那么保险公司将有可能拒绝为某些投保人提供保险合同，这就是保险市场的逆向选择问题。为此，有学者将投保人按高、低风运 筹 与 管 理 年第 卷险进行分类，研究认为低赔期 、免赔期 、保证金 ，、奖惩金 等信息甄别工具可以帮助保险公司更有效率地甄别投保人的风险类型。此外，和 、孙武军等 通过引入奖励机制，使投保人在面对索赔事件时选择是否进行索赔，而非传统保险合约中投保人只能执行索赔的单一选择。综上所述，以往研究鲜有关注投保人的风险约束问题。在不完全保险情形下，投保人通常希望在出险后能够获得保险公司的足够赔偿而使自身的实际损失控制在其可接受范围之内。为了满足这类投保人的需求，本文考虑当投保人损失不小于某个非负特定值时，在 模型的基础上引入投保人的净损失约束，研究此情景下投保人的最优保险问题。具体的，当特定值为零时，无论损失大小，投保人的净损失都应在其可接受范围之内。而当特定值大于零时，只有不小于特定值的那部分损失区间上，投保人的净损失应在其可接受范围之内。与 模型相比，本文新增了投保人的净损失约束，新增约束条件尽管会在一定程度上减少投保人的期望效用，但却保证了投保人的净损失始终处于其可接受范围之内，同时也不受目标函数估计误差的影响，这就是本保险合约的突出价值。保险契约模型考虑财产保险，假设风险规避类型的投保人拥有初始财富，未来可能面临的随机损失 （其中 ），且具有连续分布函数（），概率密度函数（）。假设风险规避的投保人具有 效用函数（），风险规避即满足 ，。投保人有意为损 失 购 买 保 险 （），并 且 对 于 ，都 有 （）。保费由保单的精算价值给出，是期望赔付的一个严格递增函数 （），递增即 ，并且满足 （）。此外，假设存在一个非负特定值珋，投保人要求当其损失不小于该特定值时（即 珋），他的净损失应不大于预定水平 ，珋 和 均是外生变量，由投保人事前给定。此外，假设保险公司风险中性且满足参与约束。于是，投保人的最优保险问题可抽象为如下数学模型 ：（）（）珋（）（）其中，数学符号（）是指若 成立，则（）；反之若 不成立，则（），必须是不等式。与 模型相比，模型 在损失 珋 时增加了投保人的净损失约束，即约 束条 件式（）。和 研究指出，模型的解经推导可简写为（）。其中，符号是指 当 时，反 之 当 时，。根据 的解析式，不难知道投保人的净损失最多为 （），因此只要 （），那么 就能满足约束条件式（），此时 模型的解 就是模型 的解。反之，如果 不能满足约束条件式（），那么投保人的最优保单 将会随之发生变化，从而满足约束条件式（）。接下来，本文将首先固定保费 （），即 （），相当于增加了一个约束条件，最优赔付由（）变为（，），后者是 的一个函数。然后，本文将进一步放开保费固定的假设，通过寻找最优 使（，）（），从而完成模型 的解。固定保费下的最优解假设保费 （），模型 随即转换为如下固定保费下的保险模型 ：（）（）（）（）珋（）（）其中，（）是 （）的反函数，二者单调性相同，因 （）是单调递增函数，所以 （）也是单调递增函数。珋，三者均为外生变量。式（）是指期望保费等于 ，式（）是投保人的净 损 失 约 束，式（）是 保 险 赔 付 的 公 理 化假设。命题 令 ，（）如果 模型的解满足式（），那么模型 的解应是 模型的解（）（），免赔额 满足 （），且 。（）如果 模型的解不满足式（），那么该约束在区间 珋上必然是紧约束，此时模型 的解如果存在，则必然是（）（），珋 ，珋。第 期马本江，等：投保人高损失区间存在净损失约束的最优保险设计其中，珋 总是成立，并且满足 （）。由此可见，引入投保人净损失约束的最优保险合同共有两类：其一是 最优保险合同（）（），该合同须满足投保人的净损失约束；其二是本文所设计的分段保险合同（）（）珋（）珋，该合同满足投保人的净损失约束，是对 模型的一个有益补充。根据命题 ，可绘出 和 的函数曲线，见图 。由图可知，如果 不满足投保人的净损失约束，那么当 珋 时，最优赔付（）；而在 珋时，最优赔付（）（）意味着投保人在高损失区间为获得不低于其预期的赔付，固定保费下就不得不减少在低损失区间所获得的赔付。尽管最优保单 满足投保人的净损失约束，但这并不符合本文的初衷，因为本文希望最优保单在投保人的任意损失区间上所提供的赔付水平均不次于 最优保单。但这在固定保费下显然无法实现，于是下文将进一步讨论更一般的保费情形，进而充分体现本保险模型的独特价值。图 固定保费时投保人高损失区间存在净损失约束的最优保单 一般保费下的最优解固定保费下，无论是 最优保单（）（）的 免 赔 额 还 是 本 模 型 的 最 优 保 单（）（）珋（）珋的 免 赔 额，均是固定保费 的一个函数。本节将放开保费固定假设，进而研究更一般的保费情形。由命题 了解到，如果模型 的解存在，其形式必为 或，于是可得如下命题。命题 （）如果（）（）是模型 的解，并且 ，则 应同时满足：（）（）（）（）（）珋（）其中，式（）是一个验证性条件，即先由式（）确定，再验证式（）是否满足。（）如果（）（）珋 （）珋是模型 的解，并且，则 应同时满足：（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（）是损失 的累计分布函数，因保费随机，可知 是一个内生变量。（）令 （），则可得到 ，珋 ，说明投保人对净损失的容忍度越高其期望效用越大，当容忍度使得 模型的解满足投保人的净损失约束时，投保人的效用最优。接着，本文首次提出可利用中间变量 （）（）来证明超额保费是免赔额严格为正的一个充分条件，这意味着投保人在超额保费下只能获得一个部分保险合同。更重要的是，该中间变量 具有一般性，即该点处免赔额的变动将引起保费的反向等额变动，给出命题 。命题 （）如果 （），模型 无解，即保费费率过低导致保险交易不会发生；（）如果 （），模型 的解是 ，这时投保人将获得完全保险合同；（）如果 （），模型 的最优免赔额（解的，或 解 的和）都为正值，这时投保人将只能获得一个部分保险合同。接下来，本文将进一步分析本模型特殊解 的保费函数与免赔额的关系。根据命题 的证明过程，可知最优免赔额 。因此，不妨缩小研究范围，讨论（，）时保费函数与免赔额的关系。（，）对应于（），）。下面，首先给出免赔额之间的关系，见定理 。定理 如果模型 的解是，那么对于（也即 （）都有 （）（也即 （）恒成立，说明免赔额 的变动将引起免赔额 同方向的更大变动。然后，给出保费函数与免赔额（和）的关系，见定理 。定理 如果模型 的解是，（）对于 ，总有 （），说明免赔额 的变动总会引起保费反方向的等额变动；（）对于运 筹 与 管 理 年第 卷，都有 （）恒成立，说明免赔额的变动总会引起保费反方向的更小变动。由命题 的证明过程，不难知道 （），其中，是 解的两个最优免赔额，于是可根据定理 、定理 分别得到推论 、推论 。推论 如果模型 的解是，则投保人效用最优时，免赔额 的变动将引起免赔额 同方向的更大变动。推论 如果模型 的解是，则投保人效用最优时，免赔额 的变动将引起保费反方向的等额变动，而免赔额 的变动将引起保费反方向的更小变动。在竞争性保险市场中，保险公司总是收取超额保费，这是由当前保险市场的结构所决定。因此，文中应有 （）。在此条件下，本文将进一步讨论最优免赔额 与 的大小关系。由于投保人高损失区间存在净损失约束，因此猜想投保人在高损失区间的净损失应不大于在低损失区间，即有成立。为证明这一结论，下面将首先给出两个引理。引理 如果模型 的解是，则如下方程组：（）（）存在一组正根，且 。其中，和 分别是方程组成立时的 和，（）（），（），（）是 （）的反函数。引理 记 投 保 人 的 期 望 效 用 函 数 为 ，则有：（）如果模型 的解是（），那么对于 ，都有 （），说明投保人的期望效用函数是关于免赔额 的一个上凸函数；（）如果模型 的解是（）（）珋（）珋，那么对于，都有 （），说明投保人的期望效用函数是关于免赔额 的一个上凸函数。结合引理 、引理 ，本文可证明之前的猜想，得定理 。定理 如果模型 的解是，则投保人效用最优时总有。再由 （）可知 （），说明最优保费与免赔额 的和应等于投保人的净损失上限，但与免赔额 的和则应严格大于这一上限。根据上文有关解数量 特征的讨论，可知（）成立。并且，不难得到投保人期望效用函数（，（）、保费函数 （）和免赔额函数 （）分别关于免赔额 的曲线关系，见图 。至此，本文已经理清本模型特殊解 的相关数量特征。然而，本模型特殊解 与 模型解的大小关系尚不清楚。本研究引入投保人的净损失约束是为了保障投保人的赔付水平，那么理论上本模型特殊解 所提供的赔付水平应不低于 模型解，下面将进一步讨论这一问题。图 投保人效用函数、保费函数、免赔额 分别与免赔额 的曲线关系 本模型特殊解与 模型解的关系首先引入 测度，它常被用于描述投保 人 的 绝 对 风 险 规 避 程 度，数 学 表 达 式 为（）（）（）。对于风险规避的投保人，有 ，于是可知（）。不过，这一测度的应用要点不在于（）的正负，而是 其 导 数 （）的 正 负。具 体 的，如 果（），则称投保人有递增的绝对风险厌恶（），反之如果 （），则称投保人有递减的绝对风险厌恶（），而当 （）时，则称投保人有恒定的绝对风险厌恶（）。曾 揭 示 这 一 测 度 的 经 济 含 义：对 于 型投保人，最优保险购买量将随其财富的增加而增加，保险是正常品；而对于 型投保人，最优保险购买量将随其财富的增加而减少，保险是劣质品；对于 型投保人，最优保险购买量不随其财富的增加而有所变化。接下来，本文首先针对 型和 型投保人分析本模型特殊解 和 模型解 的关系，但在此之前需给出引理 。第 期马本江，等：投保人高损失区间存在净损失约束的最优保险设计引理 对于（，），如果 （），且，则有：珋（，（）（，（）珋（）其中，的定义见引理 ，（，（）是投保人的期望效用函数。根据引理 ，可得到定理 。定理 如果 （），则有，说明 型投保人效用最优时本模型在应对低损 时 所 提 供 的 赔 付 水 平 依 次 要 低 于 高 于 模型。因此，对于 型投保人，效用最优时本模型在应对低损时（珋）所提供的赔付水平要低于 模型，但在应对高损时（珋）要高于 模型。对于 型投保人，效用最优时本模型应对任何损失所提供的赔付水平均要高于 模型。对于 型投保人，由于具有指数效用函数的投保人属于 类型，于是不妨假设投保人的效用函数为（），其中 ，易知 ，给出定理 。定理 如果投保人具有指数效用函数，且（）（），那么效用最优时总有，其中 是 模型解 的最优免赔额，是本模型特殊解 的最优免赔额。由此可见，如果投保人具有指数效用函数，且保费由 （）（）给出，那么本模型特殊解 与 模型解 具有相同的免赔额。最后，可根据 定理来验证定理 和定理 。由于本模型相对 模型新增了投保人在高损失区间上的净损失约束，因此投保人效用最优本模型给投保人带来的最优效用要低于 模型。又因为 （），这就说明本模型给投保人带来的财富值要低于 模型。根据 定理，对于 型投保人，最优保险购买量随着其财富的减少而减少，因此本模型在非约束区间所提供的赔付水平应低于 模型，即有，验证了定理 。同理，对于 型、型投保人，亦能进行验证。结语本文不再以投保人效用最优作为保险设计的唯一标准，还考虑了相对更加实际的投保人净损失上限，这是因为按照效用最优所得到的赔付水平有时无法符合投保人的预期，他们希望通过设置净损失约束而将其赔付控制在一个可接受水平，尽管这么做会牺牲更多的保费，一定程度上降低了数学上的经济效用，但却更加符合投保人购买保险的风险转移初衷。研究表明，如果 模型的解满足投保人的净损失约束，那么它就是本模型的解。反之，本模型的解是（）（）珋（）珋。针对该特殊解，本文经证明得到其相关数量特征，并与 模型解进行对比。研究发现，投保人效用最优时本模型在应对高损时所提供的赔付水平始终 要 高 于 模 型，而 在 应 对 低 损 时 对 于 （）型投保人所提供的赔付水平依次要低于（高于 等于）模型。此外，投保人的期望效用将随着其净损失上限的提高而逐渐增大，直到 模型的解满足该约束时其效用最优。必须指出的是，本文在 模型中引入投保人的净损失约束可能会导致投保人的道德风险行为。模型描述的是免赔额保险，如果免赔率保险中引入该约束将更具有研究价值，同时也不存在投保 人 的 道 德 风 险 问 题。此 外，也 可 考 虑 在 模型中引入投保人的期望净损失上限，一方面能与本模型同样起到保障投保人预期赔付水平的作 用，另 一 方面 也不 存 在投 保 人 的道 德风 险问题。参考文献：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，运 筹 与 管 理 年第 卷 ，（）：，：，（）：，：，（）：，：，：，（）：，：秦圣君 基于股权风险溢价与偿付能力约束的最优保险合约设计 南京：南京大学，：马本江，谭春桥，陈晓红 低赔期与保险契约传统部分保险契约的一个帕累托改进 管理科学学报，（）：马本江，谭春桥，陈晓红 事前非对称信息条件下带免赔期的保险契约模型设计 系统工程理论与实践，（）：马本江，杜彦龙 事前非对称信息条件下带保证金的两期保险契约研究 保险研究，（）：马本江，杜彦龙，周雄伟 基于事前非对称信息的带保证金的保险契约模型 系统工程学报，（）：马本江，尹鹏华，陈晓红，等 逆向选择条件下带奖惩金的两期保险契约模型及其 改进性研究 中国管理科学，（）：，：，：孙武军，贾晓倩，王丽敏 具有奖励机制与再保险安排的最优保险合约设计 审计与经济研究，（）：，（）：，：第 期马本江，等：投保人高损失区间存在净损失约束的最优保险设计