基于傅里叶变换的跳跃–扩散模型及欧式期权定价.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),278-284 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131030 文章引用文章引用:周琦力.基于傅里叶变换的跳跃-扩散模型及欧式期权定价J.应用数学进展,2024,13(1):278-284.DOI:10.12677/aam.2024.131030 基于傅里叶变换的跳跃基于傅里叶变换的跳跃扩散模型及欧式期权扩散模型及欧式期权 定价定价 周琦力周琦力 重庆理工大学理学院，重庆 收稿日期：2023年12月19日；录用日期：2024年1月13日；发布日期：2024年1月23日 摘摘 要要 在假设风险资产服从跳跃扩散过程且不产生分红的条件下，基于傅里叶变换和在假设风险资产服从跳跃扩散过程且不产生分红的条件下，基于傅里叶变换和跳跃扩散模型跳跃扩散模型给出了给出了普通普通欧式看涨期权定价公式，并欧式看涨期权定价公式，并借助借助数值分析数值分析手段手段对影响期权价格的因素进行了探讨。对影响期权价格的因素进行了探讨。结果表明，行权价、结果表明，行权价、到期期限等因素均对期权价格有影响。该方法对于更复杂的期权定价问题同样适用。到期期限等因素均对期权价格有影响。该方法对于更复杂的期权定价问题同样适用。关键词关键词 跳跃扩散，傅里叶变换，特征函数，期权定价跳跃扩散，傅里叶变换，特征函数，期权定价 Fourier Transform-Based Jump-Diffusion Model and European Option Pricing Qili Zhou College of Science,Chongqing University of Technology,Chongqing Received:Dec.19th,2023;accepted:Jan.13th,2024;published:Jan.23rd,2024 Abstract Under the assumption that the risky asset obeys the jump-diffusion process and does not generate dividends,an ordinary European call option pricing formula is given based on the Fourier transform and the jump-diffusion model,and the factors affecting the option price are explored with the help of numerical analysis.The results show that the exercise price,maturity and other factors have an im-pact on the option price.This method is also applicable to more complicated option pricing problems.Keywords Jump-Diffusion,Fourier Transform,Characteristic Function,Option Pricing 周琦力 DOI:10.12677/aam.2024.131030 279 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 1973 年，Black 和 Scholes 1在标的资产收益率服从正态分布与波动率为常数等假设下，给出了普通欧式期权解析定价公式。然而，BS 定价公式的假设条件与真实市场存在较大偏差，为了得到更加符合市场实际的定价模型，诸多学者们进行了广泛的研究。Schmelzele 2基于傅里叶变换分析了不同方法中的期权定价。Pellegrino 3对单标期权的随机波动率模型予以改进，研究多尺度随机波动率模型。韦铸娥和何家文4建立随机波动率和跳跃的双因素模型，研究模型参数对复合幂期权定价的影响，分析该模型在期权风险管理上的灵活性。刘朝辉和李翠香5对跳扩散模型下方法进行改进。曹桂兰和佟昕叶6在跳扩散模型下的不同种期权做出了模型研究。孙彩灵和刘丽霞7在随机利率模型中加入跳跃因素，建立随机利率跳扩散期权定价模型，并将该模型用于远期生效的期权定价。Gmez 和 Martnez 8考虑了双因子利率模型，提出利率遵循跳跃扩散模型。基于傅里叶变换的期权定价，最早由 Heston 提出，后被广泛应用。由于其满足风险中性条件，所以与经典 BS 期权定价公式相比，基于傅里叶变换的期权定价适用于更多期权定价模型，该方法对于不同期权定价模型，给出了一般性公式，由于每个模型的特征函数不同，由傅里叶变换推导出的模型定价公式也不同。Merton 9基于标的资产服从跳跃扩散过程的假设提出了跳跃扩散模型，该模型在标的资产价格的变化过程中引入了 Poisson 的跳跃扩散因子，这种因子能够很好地描述实际市场中资产价格受到某些突发事件的冲击所产生的跳跃情况，从而更加反映资产价格的实际波动情况，因此，本文针对标的资产价格存在跳跃的情况，在基于傅里叶变换的跳跃扩散模型基础上，分析影响期权价格的因素。2.模型与记号模型与记号 假设带流概率空间为()()0,tt TF Q F，TC的傅里叶变换如下所示：()()12emax e,0dizizxxTKzKxzCzi=+根据傅里叶逆变换可得：()()1ed2ivizxTTivCxCzz+=那么，根据无风险收益率对 T 时刻的期望收益进行折现可得0t=时刻的期权估值：()()()()()00eed2rTivrTQTTivCzECxCz q zz+=假设0etrTXtSS+=，且tX服从 Lvy 过程，同时假设etX为一个鞅且00X=，有()()eizyq zz=，其中是tX的特征函数，式中0lnySrT=+，于是有：()()()0eed2rTivizyTivCxCzzz+=令0lnSkrTK=+()()02ede2rTivizkivKzCxzzzi+=+上式具有两个奇异点zi=与0z=，根据0eekrTSK=、()1i=、1ii=，进行残数计算可得：()()0eRese22irTkiS iKi=根据残数定理可以得到看涨期权价格为对 v 的积分减去()2Resii，得到()002ede2rTivizkivKzCSzzzi+=+设 v=0.5，可得()()()()2002ede2222rTi z ikKzCSzizizii+=+()22eeeizikizkk+=，220eeerTkrTKS K=。令zui=+，有：()20002ede3223 4rTiukuiS KuCSuiu=+周琦力 DOI:10.12677/aam.2024.131030 281 应用数学进展 对于可积且实值的 f，通过傅里叶变换和特征函数在 z=0 附近的对称性，可得11：()()()011edReed2izxizxf xf zzf zz=从而可得12：()200020edRe e3 2,3 4rTiukS KuCSuiTu=+其中，Re x为实部，为 Merton 跳跃扩散模型中期权标的资产所对应的特征函数，w 为风险中性漂移项：()22222expe12JiuuuiuwT=+()222e12Jwr+=同理可得，欧式看跌期权的现值和特征函数之间的公式为：()200020edRe e3 2,3 4rTiukS KuCSuiTu=+4.数值分析数值分析 上式可以通过数值积分法进行求解。本文假设的初始参数如下：0100S=，0.05r=，100K=，1T=，0.75=，0.1=，0.2J=，0.4=。其中，S0为标的资产在 0 时刻的价格，K 为欧式期权的执行价格。1)期权价格与标的资产的比较 图 1 横坐标为标的资产价格，纵坐标为期权价格。Merton_Call_value 为 Merton 跳跃扩散看涨期权价格，Inner_value 为欧式期权到期时的价格。当标的资产价格低于期权行权价时，期权价格较低，当标的资产价格高于期权行权价时，期权价格较高，并且期权价格高于其到期时的价格。Figure 1.Comparison of option prices with the underlying asset 图图 1.期权价格与标的资产比较 周琦力 DOI:10.12677/aam.2024.131030 282 应用数学进展 2)期权价格与行权价的比较 图 2 横坐标为看涨期权行权价，纵坐标为期权价格。将标的资产价格设为 100。当风险资产价格大于行权价时，期权价格较高，当风险资产价格小于行权价时，期权价格较低。Figure 2.Comparison of option prices and strike prices 图图 2.期权价格与行权价比较 3)期权价格与到期期限的比较 图 3 横坐标为看涨期权到期期限，纵坐标为期权价格。当期权到期期限较小时，期权价格较低，期权到期期限较大时，期权价格较高。Figure 3.Comparison of option prices and maturity periods 图图 3.期权价格与到期期限比较 4)期权价格与跳跃波动率的比较 图 4 横坐标为跳跃波动率，纵坐标为期权价格。当跳跃波动率较小时，期权价格较低，跳跃波动率较大时，期权价格较高。周琦力 DOI:10.12677/aam.2024.131030 283 应用数学进展 Figure 4.Comparison of option price and jump volatility 图图 4.期权价格与跳跃波动率比较 5)期权价格与标的资产波动率的比较 图 5 横坐标为标的资产波动率，纵坐标为期权价格。当标的资产波动率较小时，期权价格较低，标的资产波动率较大时，期权价格较高。Figure 5.Comparison of option price and underlying asset volatility 图图 5.期权价格与标的资产波动率比较 5.结论结论 本文基于傅里叶变换的跳跃扩散模型推导出欧式期权定价公式，同时进行数值分析，研究了期权价格的影响因素。对欧式期权而言，标的资产价格越高期权价格越高、行权价越高期权价格越低、到期期限越小期权价格越低、跳跃波动率与标的资产波动率越高期权价格越高。本文提出的方法还可以应用到任选期权、障碍期权、亚式期权等复杂期权的定价问题。参考文献参考文献 1 Black,F.and Scholes,M.S.(1973)The Pricing of Options and Corporate Liabilities.Journal of Political Economy,81,周琦力 DOI:10.12677/aam.2024.131030 284 应用数学进展 637-654.https:/doi.org/10.1086/260062 2 Schmelzle,M.(2010)Option Pricing Formulae Using Fourier Transform:Theory and Application.Chemical Engi-neering Progress.3 Pellegrino,T.(2020)Capturing Implied Correlation Skew from Options Prices via Multiscale Stochastic Volatility Models.International Journal of Financial Engineering,7,2050042.https:/doi.org/10.1142/S2424786320500425 4 韦铸娥,何家文.随机波动率跳扩散模型的双币种任选期权定价J.数学的实践与认识,2020,50(12):94-101.5 刘朝晖,李翠香.跳扩散模型下交换期权定价的 Mellin 变换方法J.数学的实践与认识,2021,51(12):82-88.6 曹桂兰,佟昕叶.CEV 跳-扩散模型下期权的定价J.吉林大学学报(理学版),2019,57(1):72-76.7 孙彩灵,刘丽霞.基于跳扩散模型对随机利率下远期开始期权定价研究J.黑龙江大学自然科学学报,2021,38(3):275-282.8 Gmez-Valle,L.and Martnez-Rodrguez,J.(2019)The Risk-Neutral Stochastic Volatility in Interest Rate Models with Jump-Diffusion Processes.Journal of Computational and Applied Mathematics,347,49-61.https:/doi.org/10.1016/j.cam.2018.07.048 9 Merton,R.C.(1976)Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous.Journal of Financial Eco-nomics,3,125-144.https:/doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2 10 张艳萍.Merton 跳扩散期权模型的数值方法J.山西师范大学学报(自然科学版),2022,36(1):19-24.11 Kirkby,J.L.(2014)Efficient Option Pricing by Frame Duality with the Fast Fourier Transform.Social Science Elec-tronic Publishing,6,713-747.12 Lewis,A.L.(2001)A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and Other Exponential Levy Processes.