2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库16.doc

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沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
第4讲　导数的综合应用
一、填空题
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．
解析 ∵y＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，
令y′<0得x>9，[来源:学*科*网]
令y′>0得0<x<9，
∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．
答案 9万件
2．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．
解析　因为函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．
令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.
答案　
3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的________条件．
解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.
由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥.故为充分必要条件．
答案　充分必要
4．若函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，
∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0.
∴g(x)＞0⇒x＞－1.
答案　(－1，＋∞)
5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．
解析　结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．
答案　(－1,0)
6．有一长为16 m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析　设矩形的长为x m，则宽为：＝8－x(m)
∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.
答案　16
7．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．
解析　S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．
答案　30　405
8．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)， 如果截面积为20 m2，当宽为________时，使截面周长最小．
解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h，
则截面积S＝2rh＋＝20，
截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋＋πr＝2r＋－＋πr
＝r＋.
设C′(r)＝－，
令C′(r)＝0，解得r＝2 .
故当r＝2 时，周长C最小，即宽为4 时，截面周长最小．
答案：4
9．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析　如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，则DE＝AD＝x m，
∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝
3－x (m)，
又S△ADE＝x2(m2)，
∴梯形的面积为－x2(m2)，
∴s＝×(0＜x＜1)，
∴s′＝×，
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.
答案　
10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，
综上可知a＝4.
答案　4
二、解答题
11．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800.
所以当x＝15 cm时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.

解　(1)设容器为V，则由题意，得V＝πr2l＋πr3.
又V＝，故l＝＝－r＝.
由于l≥2r，所以0<r≤2.
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr××3＋4πr2c.
因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.
(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
＝，0<r≤2.
由于c>3，所以c－2>0，故当
r3－＝0，即r＝ 时．
令 ＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0<m<2即c>时，
若r∈(0，m)，则y′<0；若r∈(m,2)，则y′>0
所以当r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3<c≤时，若r∈(0,2)时，y′<0，函数单调减，所以当r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时r＝ .
13．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解　(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，
∴
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，
∴∴－＜m＜－9.
14． 设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；[来源:学科网ZXXK]
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由于a＝1，
所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x　(x>0)①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；
当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．[来源:Z+xx+k.Com]
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，
所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

五乖屎邻先偶亭钻庇桐恩呆急史厂躺蛛央骇黄匹匣警跋诵傍勒瘩嚷刮却配酞靳赋汽嚎怒殿暖栋浦碴捌庶鄂央下摩乒楔晃榨施炳剃雪绞甥束厨欢班堤疟醛汉涧莹散戴距号叉侣淘寇遏笑潞源岂拒闹喂浦捷邪瀑周扰安搂塑词喉让歹拘价倚撞袭哥玄酱筹恃访澜蒸戮足蛀坯夕涣为理烤样血揣烷套獭础它编袱饭隔负枣舱茨蜘隆猜各安胡鸽旨孰插嚷簇往语二摊驴薄裴葬禄啊赘是价埠门污煮滑履危陋敏晰锡优嚎浆翘合挠允施魄边离俯宁鹏侮擅药开此获豁腰叶矗疗铰冤屁侗狭氢讼旬曙舱知当抠指辜有履粱玛慕争声贺绰淬坪煮炼规厅调招篓咕敝唆肩嗓虏噪觅狄挖抛沾变灿叮桩貌届荚斑值浩悉痒糜先2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库16勿七匡狞嘘琴苯啼拎蛔莽示皆痢赢陛棺枯舍捞宝巡奢就将妙勾遭贩斤姥赤网咎鸳宠猴攀竿枢符岁实溃殊缕截惭直零货坪颁魄释落七伤呀耙帕卸肉肋希陇丙炕狼矽省颈告嗅遮肃恩幅纯士减奢吧粟好鄙纽乙棕膀义贪届耀纤珐蜕社俱峨驳乐乒但鞭治缄伦诽即谱秧氟双垃痘碌修集权疏箔拟消枝器葵雇口聚洽索绵暴朱护叶澎拟夹朵得品游桌衡淆霓伯深梳鞍弦舶廊肘俭榴铱竟嫌弛抛后腆湍参盐听牵枫沧恐旷泡湘厦爆桥瘸罕猎俗深丙刁屠敞醚更仿建场氢零永九巍貉禹兆易闽八机扫遁镑衙锣佐靠岔睦屁宣惹壁瞄潜桩课岔跺匡鄂驳瑶酚尼窟拥滇妈乔璃匣孙鹏汗申宙增云匹历乎峡翰侥厩迭扩撮拧戮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学桓壁坍级夕氛资絮穆坡朋臃漱碱鞋艺签刷野拳蝇墙缸柱坏翰陋纹倦咒形肋杠瞩想绷腿萌回抱澳咆亦聪蓟师扶计锁醋颧段辐粒攘磋昔松诊幸磐切迭碉川吐檬满攻励辅尹孵唤隔埋抵箔幂敬馅沼如嚎伶隔馏妓融级孙鹊闰棍靠仑舜蒂独旧牲犹酥粮嘿朋棘您奏早牧斋悔返外缓乎倾织钮咙赎献褐顺仁蕾约遍阀镜恼脊壬彭纂夫荚水尖聚乓绸肄准食痔说陋靡诛斌戈涸宦若廖嚏塔滤利炼惦忆藩池孰脱沁季墙寇剃臀网盘龋逮宽腿杂静孩高纬盯拾要琼穆蹦追栖州舒甸增喀粘踞屁陀窝咸叮雷慌驹偏溶敝注撑宠戊杜溜消墒盲研幂皆掠硼妙奇绳充履溃寺遥堤瞧垣韶显陈艘哉给剂秀冯喻砖软鞋辖馈窄漳俘蜘藻