高考数学艺体生精选好题突围系列基础篇专题05函数的基本性质.doc

专题05 函数的基本性质

函数的单调性
【背一背基础知识】
1.单调区间：若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）；
2.函数的单调性：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或
时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是减函数.

3.基本初等函数的单调性：
函数
图象
参数范围
单调区间或单调性
一次函数

单调递增区间

单调递减区间

二次函数

单调递减区间为
；
单调递增区间为
.

单调递增区间为
；
单调递减区间为
.
反比例函数

单调递减区间为
和

单调递增区间为
和
指数函数
（且）

单调递减区间为

单调递增区间为

对数函数
（且）

单调递减区间为

单调递增区间为

幂函数

在上递减

没有单调性

在上递增
正弦函数

单调递增区间
单调递减区间

余弦函数

单调递减区间
；
单调递增区间

正切函数

单调递增区间

【讲一讲基本技能】
必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间上的单调性和函数在区间的子区间上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数增函数增函数，②增函数减函数增函数，③减函数减函数减函数，④减函数增函数减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由确定的解集为函数的单调递减区间，由确定的解集为函数的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.
2.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
3.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.
【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.
典型例题
例1下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
分析：本题属于基本初等函数的单调性进行判断，判断时可以利用基本初等函数的图象或在基本初等函数的基本单调性来进行判断，在判断时可以利用结论：函数在区间上的单调性和函数在区间的子区间上的单调性相同.
【答案】B
例2已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数在定义域上的增函数问题，则需要考虑在区间和区间上都是增函数，还需要考虑在处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围.
【答案】B
【练一练趁热打铁】
1. 下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出函数的图象如下图所示，

函数的奇偶性
【背一背基础知识】
1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有（或
），那么函数就叫做偶函数（或奇函数）；
2.基本初等函数的奇偶性：
函数
参数取值
奇偶性
一次函数

奇函数

非奇非偶函数
二次函数

偶函数

非奇非偶函数
反比例函数

奇函数
指数函数（且）

非奇非偶函数
对数函数（且）

非奇非偶函数
幂函数
为奇数
奇函数
为偶数
偶函数
正弦函数

奇函数
余弦函数

偶函数
正切函数

奇函数
3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算与是否具备等量关系；（3）下结论；
4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数.
【讲一讲基本技能】
1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或
(偶函数))是否成立．
3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数．
4．抽象函数奇偶性的判断方法：
(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；
(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
(3)找出与的关系，得出结论．
5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数在处有定义，则.
典型例题
例1已知函数f(x)＝是奇函数，求a＋b的值．
分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明.
【答案】0

例2给出下列函数①②③④，其中是奇函数的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
分析：本题是考查函数的奇偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断.
【答案】B.
例3 设为定义在上的函数.当时，（为常数），则（ ）
A. B. C. D.
分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数在区间上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论来求出的值，从而确定函数区间上的解析式，先求出的值，然后结合函数的奇偶性求出的值.
解析：函数为定义在上的函数，，即，解得，
故当时，，因此，所以，故选A.
例4.已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到与中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式的奇偶性，通过将与之间相反数之间的关系，代值利用加法进行消去，从而求出的值.
【练一练趁热打铁】
1. 定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】∵不等式在上恒成立，∴，∴函数在上为增函数，又∵在R上为奇函数，∴函数在上为偶函数，且过和和，∴函数=的零点的个数为3个.
【1-2】 2. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则f(m)＝________．
【答案】

3.偶函数在区间上单调递减，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C

函数的周期性
【背一背基础知识】
1．周期函数：对于函数，如果存在一个非零实数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.
2．最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做的最小正周期.
3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；
(2)若满足，则 ＝，所以是函数的一个周期()；
(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期().
（4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么．
（5）函数图像关于轴对称．
（6）函数图像关于中心对称．
（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称．
【讲一讲基本技能】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
2.典型例题
例1已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则f（2013）等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013
分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定，从而利用奇偶性得，利用函数的周期性即可求解.
【答案】A
例2已知定义在上的奇函数满足，则的值为_______.
分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件
得出函数的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解.
【练一练趁热打铁】
1. 奇函数满足对任意都有成立，且，则的值为 （ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
【答案】D
2.已知函数满足且，则 .
【答案】.

（一） 选择题（12*5=60分）
1. 函数的图像大致为（ ）

【答案】A
【解析】因为所以函数为偶函数，当时，图像单调递减，且向上平移，据此可知答案选A.
2. 下列函数中，满足对任意、，当时都有的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 下列函数中，在上是单调递增的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C．
【解析】在上不是单调递增的，是奇函数，在上是单调递减的，在上是单调递增的偶函数，故选C.
4. 已知是奇函数、是偶函数，且，，则=
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B.
【解析】因为是奇函数、是偶函数，且，所以，又因为，所以，故应选B.
5. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且=1，则+=（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D.

6. ，若，则 （ ）
A. 0 B. 3 C. -1 D. -2
【答案】A.

7. 已知函数，构造函数的定义如下：当时，，当时，，则( )
A．有最小值0，无最大值 B．有最小值－1，无最大值
C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，也无最小值
【答案】B
【解析】作出函数图象可得，的图象为图中轴上方点左侧（含点），点右侧（含点）部
分，轴下方的红色虚线部分，由图可知，无最大值，最小值为,选B.
8.已知函数是在闭区间上单调递增的偶函数，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9. 函数的定义域为，对定义域中任意的，都有，且当时，，那么当时，的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10. 已知函数
若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意易知分段函数为单调递增函数，若，则，解得．
11. 已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则与是方程的两根，则由韦达定理得，
由于，解得，故选B.
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B

（二） 填空题（4*5=20分）
13. 已知偶函数对任意均满足，且当时，，则的值是 .
【答案】1

14.若函数是奇函数，那么实数 .
【答案】.
【解析】由于函数是奇函数，且在处有意义，因此，即
，解得.
15. 已知定义在R上的函数，满足，且对任意的都有，则 ．
【答案】-5
16. 已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】本题函数表面上看比较复杂，但这类问题实质上我们可以不关心函数的具体表达式，只要理解函数的性质即可．研究函数，后发现是奇函数，也是增函数，因此不等式化为
，所以有．

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