高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题14双曲线.doc

专题14 双曲线

双曲线的定义与标准方程
【背一背基础知识】
1．双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．双曲线的定义用符号语言表示：
．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在轴上的双曲线的标准方程：，焦点．
(2) 焦点在轴上的双曲线的标准方程：，焦点．
其中几何意义：表示实轴长的一半，表示虚轴长的一半，表示焦距长的一半．并且有．
(3)当时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为或．
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：
（1）高考中对于双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的定义、标准方程、焦点坐标、离心率以及渐近线方程等基础知识；
（2）求双曲线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定双曲线的焦点在x轴还是y轴上．“定式”就是根据“形”设出双曲线的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数或．
2．典型例题
例1．设双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，则的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意知：，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以C的方程为．
例2．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义与勾股定理求解．

【方法总结】双曲线定义的应用：
(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线；
(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．
【练一练趁热打铁】
1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝ (　　)
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
【答案】B

2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ (　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，由余弦定理可知，cos∠F1PF2＝＝，故选C．
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于 (　　）
A．4 B．8 C．24 D．48
【答案】C．

4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A．－＝1　　　　　　　B．－＝1 C．－＝1　　　　　　　D．－＝1
【答案】B．
【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3．又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，故选B．
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 (　　）
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【答案】A．

6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【答案】2．
【解析】由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝＝，所以m＝2．

双曲线的几何性质
【背一背基础知识】
双曲线的简单几何性质以为例．

(1)范围：；
(2)对称性：对称轴为轴、轴，对称中心为；
(3)顶点：实轴长，虚轴长；
(4)离心率，．越小，双曲线越扁；e越大，双曲线越开阔．
(5) 双曲线的渐近线方程：．
总结可得如下表格：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

定义
到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
实轴的长，虚轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距

离心率

渐近线方程

焦点三角形面积

【讲一讲基本技能】
1．必备技能：
（1）与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为；
（2）等轴双曲线的离心率，渐近线方程为．
2．典型例题
例1．设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】；
例2．双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C

例3．如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 (　　)

A． B． C． D．
【分析】第1步 求出直线F1B的方程；第2步 求出点P、Q的坐标，及PQ的中点坐标；第3步 求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标；第4步 由|MF2|＝|F1F2|建立等式关系，从而求得双曲线离心率．

【方法总结】求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．另外，需注意双曲线的离心率e大于1，防止产生增解．
【练一练趁热打铁】
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 (　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C．
【解析】将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4．
2．若实数满足，则曲线与曲线的（ ）
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】C．
4．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则双曲线的方程为（ ）
A. B． C． D．
【答案】A

5．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 (　　)
A． B． C．2 D．3
【答案】B．
【解析】设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝．
6．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 (　　)

A．　　　　　　B． 　 C． 　　　　D．
【答案】D．

7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是 (　　）

A． B．2 C． D．
【答案】B．
8．已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．3 C． D．
【答案】B．
【解析】选由题意知e＝＝2，则b2＝3a2，双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(－m，－n)，k1k2＝·＝＝＝3．
9．已知F(c,0)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c)2＋y2＝c2相切，则双曲线C的离心率为________．
【答案】．
10．已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)2＋y2＝相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2＝4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________．
【答案】－y2＝1
【解析】由题意可知双曲线的c＝．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2＝，即＝．又a2＋b2＝()2，则a2＝4，b2＝1，所以所求的标准方程为－y2＝1．

（一） 选择题（12*5=60分）
1．双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B．

2．已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

3．过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】，又．
4．若双曲线的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是 （　　）
A． （1，3） B． （1，3] C． （3，+∞） D． [3，+∞）

【答案】D．
7．设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( )

（A） （B） （C） （D）
【答案】C
8．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)

【答案】A

9．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为 (　 　)
A． B． C． D．
【答案】B．
10．在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11．若双曲线的离心率为2,则等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】由知,而,解得,选 D．
12．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2＋y2＝a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则的面积为 （　　）
A、9　　B、3　　C、　　D、1
【答案】A．
【解析】由题意知．故选A．
（二） 填空题（4*5=20分）
13．设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率等于________．
【答案】或．

14．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当F⊥A时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

【答案】．
【解析】猜想“黄金双曲线”的离心率e等于．事实上，对直角△ABF应用勾股定理，得AF2＝BF2＋AB2，即有(a＋b)2＝(b2＋c2)＋(a2＋b2)，注意到b2＝c2－a2，e＝，变形得e2－e－1＝0，从而e＝．
15．从集合{－1,1,2,3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1,1,2}中随机选取一个数记为n，则方程＋＝1表示双曲线的概率为________．
【答案】．
16．已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于 ．
【答案】．

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