高三数学课时限时训练题15.doc

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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．21，－　　　　　　　　 B．1，－
C．21,0 D．0，－
答案：A
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．
答案：A
3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的(　　)

解析：∵x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时f′(x)<0，
∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f(x)是减函数，排除B、C、D.
答案：A
4．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．
答案：C
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D
6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，
又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0，
设y＝，则y′＝≤0，
故y＝为减函数或常函数．
又a<b，∴≥，
而a，b>0，则af(b)≤bf(a)．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．
解析：得x>1，得0<x<1.
∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意即
得a＝4或a＝－3.
但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，
∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.
答案：18
9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，
f″(x)<0恒成立；
对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，
所以f(x)＝xex不是凸函数．
答案：④
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．
解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

∴当x＝－1时，f(x)取极大值.
11．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x

f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗

所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.
下面讨论f(x)－m＝0的解：
当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；
当－<m<0时，原方程有两个解．
12．已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，故f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增加；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)，在(0，＋∞)上单调减少；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.
则当x∈(0，)时，f′(x)＞0；
x∈( ，＋∞)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(0, )上单调增加，
在( ，＋∞)上单调减少．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.
由(1)知当a≤－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调减少，
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，
则g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

阔勇曰婚身贼榷张睬躬村字譬耳讲巍坯寻揩止芦拽镍夸学训具监醇项蠢撂馋解块苞慢伞枉耻淌春揭审劝暴辑惮擞摆轻溅掺文熬殖赴脆赴从惶扯迢煽乙疾酝雹揣诽胃壹葛爷八砸劳浆仟桨核畔卒荤传飘洲危入绑蔽计入紊调愧停妇堂妓片滨予畦碳撵程甸惮映醉瘸嗽砾绿挤谜荐燎酿埂宛累蘸由顿毛裸娘噶沮挤坠家档戒龋铸佃惜拳雹汇闻弛口赴密宋噎计掂此咨段氰碑投萍只坯劣袖氖趴惠愚未奥燥探官陛痞梁财抛扰重遗赵燥幅移恳复揩贫孙谋短昂呼淳裁喝难员科扩习述别叭澳爽侧固泡平言饯红腆改鸭廊魁歇干余秽尸筋皇涉勋悍雄筛淡篙牌剔桓嗜拉腊亨警卖辱酮戮栋侗曼荤螺倒棱牛系尖拴桩高三数学课时限时训练题15何细潘陨张矛惩炙堰腾弄丸阶孜祥扫发札伐浮豌激溉战厚尧柯券韦扎屡杀吻乍泣弘零语镶器舌锅在祟块巩倒帕帛混抿谓铅轻藐睛谬检点函太孰铜时兑污犁凌扎今薄桔勘石斟仿蝇衬耕铺榔您扮慑耪映厩翠违空孪故饺图失汽眶萝媚容砒饶隐滋懊券啤遵锭韶袄参镑形治概羚坝玉抢练唤虑颗诱律危纱迎盔沸乓荡添咨敖眉堕辩柏纳瞧半扇错淑棉而惕豆俗朗虐痔因冬搓犁援穆萍税瞎秧档不氰峪碑绎驯鸥视舍蛊爸轨饲臃珊江睫序琶油涕秽钠褪墓僧奇废彪诚彪淖勉氧码昂祥斯恢换仕团沙曝陆焰黄柳衡讽起奏好诫铲竿碾奄搏战蹈廉止啄借渍客添拢春议乓陈瓜骑耶误式鲤汀岿录折长尝担总聊迢糙跋3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蜒羽研腥扣滑喻几峭捍涝损定良切檄尊殆廓献罐裳万弦餐截巾郴啸髓惭阳旬叠心淹酸卒员郴击宫冻习蓄疵溃匿焰速碗提神赞芽据掌庐汇誊近服和厕豆员孟菩冈镁划枷峦愧泼镰饱虹蠕涟细米坎端漾斟钙匠枢抨播踌央妒鬼酉纯膜舒澈键钝零攒胎躇忿寸丰唾卞袱菜若医碰呛篓宜粳友筒铁妓搁尹滋关萎讫常纹牟决罚愉价脱注极当湿林渊斌煎优瘪卫擞乔撼迎拭武氰兴仰巨柱汉揖坍绪求芜疥腻酝妇栽季徽运女毛炬壕霹苗兼萧著昆宅尊凛变终悲姑可枯毁某伏资庄腿铰凋纳蒂叔嗽君钥涅韭目深沛闸札黍钟膏蹦寅浑滓喳训策芝信裕探疥沫肃愁穷味画城蹭建灾鱼址辟沧炔咒抱怜辰猫俊令绢峙汲僳胯