高一数学下册暑假知识点梳理检测题20.doc

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第三十九讲　圆的方程、点、直线、圆的位置关系
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0　　　　　　　 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：本题考查圆的基础知识、两直线的位置关系及直线方程的求法．由于圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为C(－1,0)，而与直线x＋y＝0垂直的直线的斜率为1，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0，故选A.
答案：A
2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：∵圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
∴圆C1是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆．
又∵点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(2，－2)，
∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选B.
答案：B
3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：本题考查了直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题．因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r＝，所以r＝.
设圆心坐标为P(a，－a)，则满足点P到两条切线的距离都等于半径，所以＝＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选B.
答案：B
4．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4.
圆心距d＝|C1C1|
＝＝.
|r1－r2|<d<r1＋r2，
∴两圆C1与C2相交，有两条公切线，故选B.
答案：B
5．(2010·潍坊模拟)对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0　　　 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：直线方程可化为(x＋1)a－x－y＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即为x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
6．已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}，若A∩B＝B，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：只有当圆心(0，a)到直线y＝x的距离d≥r＝1且在y＝x右下方，方能使A∩B＝B，即≥1，即a≥2或a≤－2，又点(0，a)需在y＝x右下方，所以a≤－2.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．(2009·长沙模拟)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10， ①
又x2＋y2＝10， ②
①－②得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的、半径最小的圆的标准方程是________．
解析：∵圆A：(x－6)2＋(y－6)2＝18，
∴A(6,6)，半径r1＝3，
∵当圆心A、B和切点在一条直线时，半径最小，

∴A到l的距离为5，
∴所求圆B的直径2r2＝5－r1＝2，
即r2＝.
又|OB|＝|OA|－r2－r1＝2，
由与x轴正半轴成角45°，∴B(2,2)．
∴所求方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2
9．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．
解析：设P点坐标为(x，y)，则|PC|＝
.由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝＝，
从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|
＝|PA|＝.
故欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方．即这个最小值d2＝2＝9，
∴S四边形PACB最小值＝＝2.
答案：2
10．设有一组圆：Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：
(1)存在一条定直线与所有的圆均相切
(2)存在一条定直线与所有的圆均相交
(3)存在一条定直线与所有的圆均不相交
(4)所有的圆均不经过原点
其中真命题的序号是____________．(写出所有真命题的序号)
解析：设直线为y＝ax＋b，
d＝＝.
∵d中无二次项，∴不存在定值a、b使d＝k2，(1)错误，
当a＝3，b＝3时，
d＝0，恒小于k2与圆相交，(2)正确．
同(1)项之理，(3)错误．
将O(0,0)代入，方程不成立，(4)正确，选(2)(4)．
答案：(2)(4)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．
(1)过原点；(2)有最小面积．
分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题．
解：(1)设所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0. ①
∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－.
故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得
2＋2
＝2＋≥.
∴当λ＝时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为2＋2＝.
解法二：当圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为，代入直线方程得－2(1＋λ)－＋4＝0，解得λ＝.
∴当λ＝时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.
评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐．
过直线与圆交点的圆系方程
设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程．
12．设点C为曲线y＝(x>0)上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.
(1)证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|EM|＝|EN|，求圆C的方程．
解：(1)证明：设点C(t>0)，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.
所以，点E是直角坐标系原点，即E(0,0)．
于是圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.
则A(2t,0)，B.
由|CE|＝|CA|＝|CB|知，圆心C在Rt△AEB的斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，
其面积S＝|EA|·|EB|＝×2t×＝4.
所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.
(2)若|EM|＝|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线．
因为kEC＝＝，kMN＝－2.
所以由kEC·kMN＝－1得t＝2.
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
13．一束光线通过点M(25,18)射到x轴上，被反射到圆C：x2＋(y－7)2＝25上．
(1)求通过圆心的反射光线方程；
(2)求在x轴上入射点A的活动范围．
解：∵圆心C(0,7)，半径r＝5，
(1)M关于x轴的对称点N(25，－18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N、C两点的直线，则过N、C的直线方程x＋y－7＝0，即为所求．
(2)设过N的直线方程为y＋18＝k(x－25)，即kx－y－25k－18＝0，当它为圆C的切线时，由＝5⇒k＝－或k＝－.
∴过N与圆C相切的直线为y＋18＝－(x－25)或y＋18＝－(x－25)，令y＝0，得x＝或x＝1，
∵A点活动范围在两切线与x轴的两交点之间，
∴A点在x轴上的活动范围是.

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