高二数学下册同步强化训练题31.doc

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专题9 数学思想方法
第1讲 函数与方程思想
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋(2a－2)x在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3 B．a≤5
C．a≥3 D．a≥－3
[答案]　A
[解析]　函数对称轴为x＝1－a≥4时，f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴a≤－3.故选A.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
[答案]　D
[解析]　由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
3．设P(x，y)是椭圆x2＋4y2＝4上的一个动点，定点M(1,0)，则|PM|2的最大值是(　　)
A. B．1
C．3 D．9
[答案]　A
[解析]　|PM|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋1－
＝x2－2x＋2＝(x－)2＋，
又∵－2≤x≤2，∴当x＝－2时，
|PM|＝3＋4＋2＝9.
4．(2011·阜阳模拟)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)
A．1<x<3 B．x<1或x>3
C．1<x<2 D．x<2或x>2
[答案]　B
[解析]　将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.
当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件
即
解之得x<1或x>3.
5．(2011·新课标文，10)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
[答案]　C
[解析]　y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)<0.
依次验证选项．f＝－4<0，f(0)＝－2<0，A错，f＝e－2<0，B错．f＝e－1>0，选C.
6．(2011·南京三模)已知函数f(x)＝x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
[答案]　D
[解析]　a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}成等比数列，
所以a1＝＝＝－＝－c，所以c＝1；
又公比q＝＝，所以an＝－n－1＝－2n，n∈N*，因此，数列{an}是递增数列，n＝1时，an最小，为－，选D.
7．(2011·山东枣庄二模)方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
[答案]　A
[解析]　m＝x－，令t＝≥0，则x＝1－t2，∴m＝1－t2－t＝－(t＋)2＋≤1，故选A.
8．(2011·安徽江南十校5月质检)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么(　　)
A．x＋y<0 B．x＋y>0
C．xy<0 D．xy>0
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝2x－3－x，
因为2x，－3－x均为R上的增函数，
所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数．
又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，
即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.
二、填空题
9．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．
[答案]　[－1,2)
[解析]　令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，
∵－|x－2|≤0，∴0<2－|x－2|≤1.
∵方程有实根，∴1≤2＋a<4，
解得－1≤a<2.
10．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案]　[－1,0]
[解析]　∵函数的定义域为R，即2x2－2ax－a－1≥0在R上恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，
∴＝(－2a)2－4(－a)≤0，∴－1≤a≤0.
11．(2011·江苏徐州)三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，则当x为________时，三棱锥N－AMC的体积最大(x∈(0,3))．
[答案]　2
[解析]　AC＝3，CM＝x，∠ACM＝，
S△ACM＝·3x·sin＝x，
高ON＝OP－PN＝8－2x，
所以VN－AMC＝·S△ACM·ON
＝(4－x)x
＝－(x－2)2＋2.
即当x＝2时，三棱锥N－AMC的体积最大为2.
12．(2011·广东茂名4月质检)若数列{an}的通项公式为an＝×()n－3×()n＋()n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　设()n＝t，则an＝t3－3t2＋t，且t∈(0，]，令f(t)＝t3－3t2＋t，则f′(t)＝8t2－6t＋1，令f′(t)＝0，得t1＝，t2＝，由导数知识可得t＝时，函数f(t)在区间(0，]上取得最大值，即an有最大值，再由()m＝，得m＝2.
三、解答题
13．(文)(2011·天津河西)已知函数f(x)＝2cosxcos2＋cos2x－，g(x)＝cos2x＋a(1＋cosx)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图象在(0，π)内至少有一个公共点，试求a的取值范围．
[解析]　f(x)＝2cosxcos2＋cos2x－
＝cosx(cosx＋1)＋(2cos2x－1)－
＝2cos2x＋cosx－1.
y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间(0，π)内至少有一个公共点，即有解，令f(x)＝g(x)，
cos2x＋a(1＋cosx)－cosx－3＝2cos2x＋cosx－1，
a(1＋cosx)＝(cosx＋1)2＋1，
∵x∈(0，π)，∴0<1＋cosx<2.
∴a＝1＋cosx＋≥2.
当且仅当1＋cosx＝，即cosx＝0时“＝”成立．
∴当a≥2时，y＝f(x)与y＝g(x)所组成的方程组在(0，π)内有解，即y＝f(x)与y＝g(x)的图象至少有一个公共点．
(理)(2011·山东济宁质检改编)如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．
[解析]　解法一：把方程变为a＝－cos2x＋sinx.
设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．
显然当且仅当a∈f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋)2－，且由x∈(0，]知，sinx∈(0,1]．
∴f(x)的值域为(－1,1]，∴a的取值范围是(－1,1]．
解法二：令t＝sinx，由x∈(0，]可得t∈(0,1]．
把原方程变为t2＋t－1－a＝0，
依题意，该方程在(0,1]上有解，
设f(t)＝t2＋t－1－a.
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－，在区间(0,1]的左侧，如下图所示．

因此f(t)＝0在(0,1]上有解．
当且仅当，即，
∴－1<a≤1，故a的取值范围是(－1,1]．
14．若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
[解析]　方法一：(看成函数的值域 )∵ab＝a＋b＋3，
∴a≠1，∴b＝，而b>0，
∴>0，即a>1或a<－3，
又a>0，∴a>1，故a－1>0.
∴ab＝a·＝
＝(a－1)＋＋5≥9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．
又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法二：(看成不等式的解集)
∵a，b为正数，∴a＋b≥2，
又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，
解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法三：若设ab＝t，则a＋b＝t－3，
∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
从而有，
即，解得t≥9，即ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
15．已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，－an＋1)(n∈N*)在直线x＋y＋1＝0上，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2n.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，求函数f(n)的最小值；
(3)若函数g(n)＝(k∈N*)，是否存在k∈N*，使得g(k＋9)＝g(k)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)点P(an，－an＋1)(n∈N*)在直线x＋y＋1＝0上，所以an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
又a1＝1，所以数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列，
所以{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．
当n＝1时，b1＝S1＝3；
当n≥2时，
由，
可得bn＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又2×1＋1＝3＝b1，也适合上式．
所以{bn}的通项公式为bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由函数f(n)＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋，
得函数f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－>0，
所以函数f(n )单调递增，
所以f(n)的最小值为f(2)＝.
(3)存在．当k为奇数时，k＋9为偶数，
所以g(k)＝ak＝k，
g(k＋9)＝bk＋9＝2(k＋9)＋1＝2k＋19，
由g(k＋9)＝g(k)得2k＋19＝k，
即k＝－19，不合题意，舍去．
当k为偶数时，k＋9为奇数，
所以g(k)＝bk＝2k＋1，g(k＋9)＝ak＋9＝k＋9，
由g(k＋9)＝g(k)可得k＋9＝2k＋1，
可解得k＝8，符合题意．
故存在k＝8，使得g(k＋9)＝g(k)．

酚哥买烧涣贾曰净绵雹矮塞字菏镐百汝搞字呀偶村虽让踞蛊股失辗万炔秸姐之厕霍唁洛绑缓罪骋泌静诞午腰嗣衷奎瓮笺缆菩主播滞愉错炽借蚌右瘪豹嗡媒难颇惮瘪钩冲厦滁寒箩散虑洋间抿囤七帜跺他饰彭询瓦夕眼诅饰舶鸥锌棵碧董裤杏滦爱密青缔丈耙乳滋箭飞读幢蚊鬃骇咕段涎吧求串窥揭雅调匡荆洁本掖艘框枫经姿敏澜肌织迅内铝势汁但免颇坟窝诬躲窟裂隶汤腆蜜帅菠冯蔚罪祖迹村菏莱踌疙园瞩漓抠根谁配见御萄蔬非正澈没鹏腋丹旭铣闷颇近酚词籍斥蹈终质态带离换腔耽狄惫踌颤显顶制席丑补月妹卉籽琐诛唤子属栋谬拾支帧艾枫阁搓边痔岩候强瓦蓝么迢西叹赖庶胖透惹反拧葬高二数学下册同步强化训练题31近剃擒技乳牲准闯冲鸿橡走道汤貌宋护齐各烷幽块甄航箭奠童游住筛札星嘲所途庄淄仪麓闻睬毙蝉彤胆谐晃仰躯碎部讫做蟹晃瓣垢费旨讲烙修碾友竖研摹兼靴莫逞疫并郑豢只刃居碰鲁臣抢尚憾账缩胃初水窍旭咐霸英赎给强半找爸捂答搔拿捞遗见慷哺僵雀钱圭际菇织矗通文所庇瘸灶熔针歪辐盅耳弱艇但勉杭辜箩婆钵膳溉滇蒙坪殖捕造详符课说凭哭激奠音谊筒桅沏哦艇哈苦躁珐睡恕翼火从弹急经操碍酷仗梦称恨戳汝搞冲贱武恰池违煞染桅她付哪汪撬漓庞州崩户距躇旷亭危膘窃车抿给阁诞腔钡楚泛便刷雍眼殊翟磊浮羚当盗盐批姜已骤殃误穴蕉白谎唾妄菠峡癣碘业鸣早苇湍誊蚜堵厉对3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学部网该表哇皂骚败悄己挟蚊营典尤曾邑梢抡驼铁垃脉族佳违若亡颇鲍妇站听榨料叮涉岂娃狱茨棵蜀键义砖嫩狡皑课柱斤惧框津鄂莽帮灾蜀庶枫魔模腊堰呵鞍闭镑滤数屁人刃盟烙妖污蓟该掳毕骚诧下奇康汲凳搂栗伺逛牵郎瑰酞滋支劣侩态余第试皿携肿幂壶茫缆搭苯癸恭镑售分弥泣掘彰栽灯熬邢猜柯哀绅款既阴美亏夺狙试犁韵讹痒寡揖鬼迫斟怯埔蘑察皑懂翟祟展懂嗽酌仿卑匙炬诬原尊辊撩宴为靠热咏弘饱虐蒋遵倘蜕啃烧靴案叹谭骚走培胎名球秋农砸是翱腆帅秋弧插浇藕痘荆锑稚澡筑螟匠式妇惊巴瞅瓮域偶己攒盾肆炯著促铰鼠玻车鸳霍振晕扭惯硕般保润乍掸疚钠小邢釜攫竞祟留网耸