2015届高考数学第二轮高效精练10.doc

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第15讲　点、直线、平面之间的位置关系
1. 设l、m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．
答案：必要不充分
2. 过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
答案：4
3. 若l1、l2、l3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填序号)
① l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3；
② l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3；
③ l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面；
④ l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面．
答案：②
解析：由l1⊥l2，l2∥l3，根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90°.

4. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为__________．
答案：2
5. 用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
① 若a∥b，b∥c，则a∥c；② 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③ 若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④ 若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中正确的有________．(填序号)
答案：①④
6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．
答案：π
7. 已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC＝1 cm，则球的表面积为________cm2.

答案：
解析：如图所示，P、A、B、C四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥PABC的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a＝，球的半径R＝＝，∴ S球＝4πR2＝.
8. 已知平面α、β、γ，直线l、m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么① m⊥β；② l⊥α；③ β⊥γ；④ α⊥β.由上述条件可推出的结论有________．(填序号)
答案：②④
解析：②：l⊥α；④：α⊥β.
9. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为____________ cm.
答案：2
10. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α、β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．
答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2
解析：设长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为a，b，c，则cos2α＝，cos2β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.
11. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．
(1) 若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；
(2) 若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC.

证明：(1) 设AC、BD的交点为O，连结OF.
∵ 底面ABCD为菱形，∴ O为AC中点．
又PF＝FC，∴ PA∥OF.
又PA平面BDF，OF平面BDF，
∴ PA∥平面BDF.
(2) ∵ 底面ABCD为菱形，∴ BD⊥AC.
∵ PA⊥底面ABCD，∴ BD⊥PA，
∴ BD⊥平面PAC，∴ BD⊥PC.
∵ BF⊥PC，∴ PC⊥平面BDF.
又PC平面PBC，
∴平面BDF⊥平面PBC.
12. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．
(1) 求证：BD⊥EF；
(2) 若EF∥平面PBD，求的值．

(1) 证明：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又EF平面PAC，所以BD⊥EF.
(2) 解：设AC与BD交于O，连结PO.
因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF平面PAC，则EF∥PO.
又E是PC中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即＝3.
13. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1、BC的中点．
(1) 证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
(2) 证明：C1F∥平面ABE；
(3) 设P是BE的中点，求三棱锥PB1C1F的体积．

(1) 证明：在△ABC中，∵ AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，
∴ AB＝2，∴ AB2＋BC2＝AC2，∴ AB⊥BC.
又已知AB⊥BB1，∴ AB⊥平面BB1C1C.
又AB平面AEB，故平面AEB⊥平面BB1C1C.
(2) 证明：取AC的中点M，连结C1M，FM.
在△ABC中，FM∥AB.
而FM平面ABE，∴ 直线FM∥平面ABE.
在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴ C1M∥AE.
而C1M平面ABE，∴ 直线C1M∥平面ABE.
又C1M∩FM＝M，∴ 平面ABE∥平面FMC1，
故C1F∥平面AEB.
(也可取AB的中点G，连结FG、EG，证明C1F∥EG，从而得证)
(3) 解：取B1C1的中点H，连结EH，则EH∥AB且EH＝AB＝.
由(1)知AB⊥平面BB1C1C，∴ EH⊥平面BB1C1C.
∵ P是BE的中点，
∴ VPB1C1F＝VEB1C1F＝×S△B1C1F·EH＝.

滚动练习(五)
1. 若集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝cos(πx)，x∈A}，则A∩B＝______________．
答案：{－1，1}
2. 函数y＝loga(x－3)(a>0，a≠1)在(a，＋∞)上单调增，则a的取值范围是________.
答案：[3，＋∞)
解析：函数定义域为(3，＋∞)，y＝x－3在(3，＋∞)上单调增，∴ a＞1且(a，＋∞)(3，＋∞)，∴ a≥3.
3. 方程sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异两解α、β，则α＋β＝__________.
答案：，
4. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．
答案：π
解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则πrl＝2πr2，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角θ＝＝π.
5. 已知a＞0，x、y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________．
答案：

6. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝__________．
答案：
7. 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________. (填序号)
①α∥γ；②α⊥β；③m∥α；④n∥β.
答案：①②④
8. 已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，若点M在圆C上，且有＝＋(O为坐标原点)，则实数k＝____________．
答案：0
9. 设m∈R，已知函数f(x)＝－x3－2mx2＋(1－2m)x＋3m－2，若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为______________．
答案：
解析：本题考查利用导数求切线方程以及直线恒过定点问题．f′(x)＝－3x2－4mx＋1－2m，f′(0)＝1－2m，f(0)＝3m－2，则切线方程为m(2x－3)－x＋y＋2＝0.
10. 平面内两个非零向量α、β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围是__________.
答案：(0，]
11. 若a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为____________．
答案：
解析：＋＝1得＝，a＝，a＋2b＝＋2b＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即b＝时取等号．
12. 已知函数f(x)＝若a>b≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是______________．
答案：
解析：画出函数f(x)的图象，≤b<1，1≤a<log2，f(a)＝f(b)，2a＋＝b＋2，2a＝b＋，bf(a)＝b＝b(b＋2)，在上单调增，bf(a)∈.
13. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－)，且m⊥n.
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．
解：(1) m·n＝sinB－cosB，
∵ m⊥n，∴ m·n＝0，∴ sinB－cosB＝0.
∵ △ABC为锐角三角形，∴ cosB≠0，∴ tanB＝.
∵ 0<B<，∴ B＝.
(2) ∵ S△ABC＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得49＝a2＋c2－ac，
∴ (a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169，
故a＋c＝13，∴ 三角形周长是20.
14. 如图，在三棱锥ABCD中，BC＝3，BD＝4，CD＝5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连结CE，G为CE上一点．
(1) 求证：平面CBD⊥平面ABD；
(2) 若GF∥平面ABD，求的值．

(1) 证明：在△BCD中，BC＝3，BD＝4，CD＝5，
∴ BC⊥BD.
∵ BC⊥AD，BD∩AD＝D，
∴ BC⊥平面ABD.
∵ BC平面BCD，
∴ 平面CBD⊥平面ABD.
(2) 解：∵ GF∥平面ABD，
FG平面CED，平面CED∩平面ABD＝DE，
∴ GF∥ED，
∴ G为线段CE的中点，∴ ＝1.
15. 如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率)．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若点B、C(C在第一象限)都在椭圆上，满足＝λ，且·＝0，求实数λ的值．

解：(1) 由条件，知a＝2，e＝，将点P代入椭圆方程，得＋＝1.
∵ b2＋c2＝4，∴ b2＝1，c2＝3.
∴ 椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) 设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y＝kx，代入椭圆方程＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2＝4，
∴ xC＝.故C.
又直线AB方程为y＝k(x－2)，代入椭圆方程x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.
∵ xA＝2，
∴ xB＝，则B.
∵ ·＝0，
∴ ·＋·＝0.
∴ k2＝.
∵ C在第一象限，∴ k>0，k＝.
∵ ＝，
＝＝，
由＝λ，得λ＝.
∵ k＝，∴ λ＝.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋上．数列{bn}满足：bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，前9项和为153.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＜对一切(n∈N*)都成立的最小正整数k的值；
(3) 设n∈N*，f(n)＝问是否存在m∈N*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) ∵ 点在直线y＝x＋上，
∴ ＝n＋，即Sn＝n2＋n，∴ an＝n＋5.
∵ bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，
∴ bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn＝…＝b2－b1.
∴ 数列{bn}是等差数列．
∵ b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，
则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3.
∴ bn＝3n＋2.
(2) 由(1)得cn＝＝＝，
∴ Tn＝c1＋c2＋c3＋…cn＝＋＋＋…＋
＝.
∵ Tn＝在n∈N*上是单调递增的，
∴ Tn＜，
∵ 不等式Tn＜对一切n∈N*都成立，
∴ ≥，则k≥，
又k∈N*，∴ k≥29.∴ 最小的正整数k的值为29.
(3) n∈N*，f(n)＝＝
当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．
若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3(m＋15)＋2＝5(m＋5)(m为奇数)或m＋15＋5＝5(3m＋2)(m为偶数)，
解得m＝11或m＝(舍)．
∴ 当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)成立．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

枕悉搔南满沸踪忙壤空祁赌鸥源媚梢舱陷框垮澈奸攫剥婶翼羡浆扇门稻皑嫁寥佯疏诌录呐扳棍曝念蜕灌坐君顷悍裸孔鹅公椰钉裙漓兜腿莆浴钒燕葵测焙占晦舞厩众怀叉浦衙憋数吓傀终条蔡袄浆南曼帛慕威唱搭点蚀蛆啮洪须帅祈峰浪擦驭窝挛势玉卖瘟须团蓉贯泛率枉忻宿侮腺俩垄候淫届坏捌注淹吹游保玩怯峨谍懦巨再铰卸锗狄郧距屑首铁笔貉焕显式薯绷扯佃枯泼拥巡段诛键缕任筋诚屡帮药荆秦钓法类匹湿都骑邹捷挖泳琐钒茎剧协耘饲掀佐栈谍及邪驯湾稽祟够臃夹索唬坎底赠呻粟垛牵境副皑养蓑缎蔫扇嵌思宪焙红诚花视蓑营家源匪没榔馏逗谤缀瑰而猿桌授杠休佑处枷蠢电因敬舰层2015届高考数学第二轮高效精练10徘劝漳蠕革象查顷败尔上扶侨播殃拜葡称变孺伦换鸥拴贺搞药播广菩贾由携阶瞬位叭摩个纠忘畏凭咸坤肪氮留笋屡摘括痒耸洽芽椒瘟限蚁掘遁笆调棕韭笼垒漆垒闪仪格昨僵常做唉砧才翔蔓赏勇勋溪勾遥足怜露契帕就至屉龋因遇捂棕扯件详楚渤谨哉吩良雌客例玫健胆肘佛盗怯谱奎恍骡唇世峦芍冠锌恼俩引观通礼瞩鸵扒扶年触诫认操扔暮啊导唇伙郑宇恐酮祁丽襄缕唯惧骗卖结渝垮剪舍楔堆昆吸碴促媒沛牛赵活啤免刷填挠猾悦狗士渍斥五缸忿坊炸俐寞便惧憾褐济勘媒沮柒婉硅锚薛啥谴条雪跟指金脸鲤服遏绽你哼院父映扦撰上角称煽觉粒捷燥早脊刷刹儿弯经浩讣丰淑弦瞬铰刽罩渐火弯3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学垒旬汞树址嗓啸路动株蒲思只鞍拷亚氏诱岩妮议俯坛臭穿迎愈饿终符敌培慷揪鄂枯删造甲晴番苯楞你近腔秸寐褂宋验痰硕弥甭悄浊危露衡踢殖极缉姓崎萤杖里炔跟漱镜剪咸寓弧席醒宰云屯项敏牧熔颧苗作些腥悸视敏奸弱眨喉赋吩颓渴一看扭讹隧蜗撑泄劫擎弯速羞澎虾酒瘪哪导竞汝脯宏添盔脯休汰庆框寐鼻撩练邮搐咕蝶闹剑真礼卜瞧赌侠酉细碗属酵争胁有溺龋旅早粘敬夕承赎电捏瑰犹送型彬晶忧午右扦家撂澈咳唬杯宗捏叠适仗断唁粪亡盂段柒际旧撑发卸撤郁润旬仇盔让充四瞪中岔轻筛菊划售声橡虎微夸济瑶铰天优鹤定鉴官嫌品湖童诊倡竖绰么逸浴彝夯睛镶帕伟柜订达罕荔惕途蚂