有剩余保修时间阈值的可更新产品检测和预防更换建模与优化.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；河北省高等学校科学技术研究项目（）作者简介：杨艳妹（），女，河北沧州人，硕士，研究方向：复杂系统可靠性建模与维修决策；王丽英（），通讯作者，女，河北灵寿人，教授，博士，研究方向：复杂系统可靠性建模与维修决策；刘宝友（），男，河北沧州人，教授，硕士，研究方向：可靠性理论及应用。有剩余保修时间阈值的可更新产品检测和预防更换建模与优化杨艳妹，王丽英，刘宝友（石家庄铁道大学 数理系，河北 石家庄 ）摘要：基于两阶段的故障过程概念，对可更新保修产品，进行了有剩余保修时间阈值的周期检测和预防更换建模与优化。产品保修期分为两阶段：检测更换期和最小维修期。检测更换期开始于产品开始运行，当剩余保修期等于阈值时结束。最小维修期是检测更新期结束后直到保修服务终止的一段时间。在检测更换期，制造商进行等间距的周期性检测。如果检测发现产品处于缺陷状态或发生故障，将立即更换。在最小维修期，制造商为了降低服务成本，不实施检测和更换，对发生的故障只进行最小维修。从制造商角度出发，得到使单位时间内平均保修费用最小的剩余保修时间阈值和检测间隔。关键词：保修；延迟时间；检测；预防更换中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，）：，（），“”，：，：，：；引言保修是制造商按照承诺向消费者提供产品或服务的担保 ，。它有保护消费者抵制缺陷产品的作用，也有保护生产商抵制消费者不合理索赔的作用。和 首次关注维修和保修决策之间的密切关系，并对已有保修模型进行了文献综述。根据该文献的分析，包含“纠正维修（，）和预防维修（，）行为的保修模型占比最大。是在产品出现故障之前进行的维修，旨在降低退化程度和故障风险 ，。随着监测技术、信息技术的发展，一类新的预防性维修 视情维修（基于状态的维修，）应运而生 。决策主要依据系统“诊断”信息（即系统当前状态信息），也称“诊断”维修。相对于传统的定期维修而言，视情维修已被证明具有更高的经济效益且能够更有效地提高系统可用性和安全性，已 经成为可 靠性 和 维 修 领 域的 研 究重点 ，。最近少数学者开展了基于状态的保修建模与优化 ，。按照是否把保修期分成不同的阶段，且不同的阶段实施不同的保修措施划分，保修模型分为单阶段及多阶段两类 ，。为了保证产品可靠性的同时降低保修费用，一些学者提出了有剩余保修时间的两阶段保修模型。该类假设剩余保修时间大于给定阈值（剩余保修时间阈值）时，对故障产品进行更换或一定程度的修复；当剩余保修时间小于给定的阈值时，对故障产品最小维修，并以剩余保修时间阈值为决策变量进行决策分析 ，。延迟时间分析概念由 提出。基于延迟时间分析的两阶段及三阶段故障过程被广泛应用于维修策略建模与优化 。本论文基于延迟时间分析概念，进行有剩余保修时间阈值的检测和视情预防更换建模与优化。假设产品退化是一两阶段故障过程。当剩余保修时间大于阈值，且产品处于缺陷状态时，实施可更新更换。当剩余保修时间小于阈值时，对所有故障进行最小维修。本模型区别于大多数保修模型的之处在于实施视情更换，区别于大多数维修模型的之处在于剩余保修时间阈值的引入。论文以检测间隔及剩余保修时间阈值为决策变量，以保修期内的费用率为目标函数，进行决策分析。模型假设模型假设如下：（）可修产品保修期为，分为检测更换期（，）和最小维修期（，），其中 是剩余保修时间阈值。检测更换期指的是从产品开始投入运行至剩余保修期等于阈值阶段；最小维修期指的是从剩余保修期等于阈值到保修期结束。制造商提供如下的免费保修服务：若产品在检测更换期内故障时，马上进行更换，更换后新产品与原来产品有相同保修条款（可更新保修）。最小维修期内仅进行最小维修，直至保修期结束。（）产品故障过程是由正常阶段 和缺陷阶运 筹 与 管 理 年第 卷段 组成的。即产品有三个状态：正常，缺陷和故障。故障过程中的两个阶段 和 是相互独立的，且产品故障是自鸣的。（）为了在提高产品的可靠性的同时，降低保修费用，制造商在检测更换期（，）内对产品进行等间距的周期检测，直到发现缺陷状态或产品发生故障。即在时刻 （，）检测，其中 ，是（，）内的最多检测次数，是检测时间间隔。检测发现产品处于缺陷状态时，制造商将进行立即更换，同时更新保修。即更换后产品的保修期、保修服务条款等新产品相同。产品更新时间忽略不计。（）假设所有检测都是完美的。检测时间忽略不计，考虑检测的费用。本文从制造商的角度，以检测间隔和剩余保修时间阈值为决策变量，以制造商单位时间内的平均费用（费用率）为目标函数，进行建模与优化。概率分析为了得到制造商单位时间内的平均费用，首先分析产品保修更新的概率。保修期未发生更新的概率当产品在检测点未检测到缺陷状态时，保修期内未发生更新，故保修期内未发生更新的概率 （）（）（）保修期内发生更新的概率由假设（）（）知，保修期内发生更新有两种情形：一种是产品发生故障导致更新（故障更新）；另一种是在检测发现产品处于缺陷状态导致更新（检测更新）。（）故障更新概率设 为产品故障时刻，由模型假设（），），。在此情形下，正常阶段结束时刻介于（）和 之间，且产品处于缺陷阶段的时间少于 ，其中 是产品在正常状态的逗留时间。因此产品在时刻 发生故障更新的概率（）（），）（）（）（），（）当（），）时，令（）（，）。由（，）的概率密度函数，可得的概率密度函数（）可表示为：（）（）（）（），（）（）检测更新概率由假设（），若在检测点 （）之前检测从未发现处于缺陷状态，且在时刻 检测到产品处于缺陷状态，制造商立即检测更新。在此情形下，正常阶段结束时刻介于（）和 之间，且产品处于缺陷阶段的时间多于，其中 是产品正常状态的逗留时间。因此，产品在时刻 发生检测更新的概率（）可表示为：（），）（）（）（），（）费用率分析本部分将给出期望保修期，保修期内的期望保修费用，进而得到保修期内的费用率。期望保修时间长度令 是总保修时间，即从顾客购买产品开始，至保修服务完成。是一个随机变量，它依赖于更新保修次数及每一次更新保修的时间长度（连续两个更新保修之间的时间间隔）。因此，可以表示为 上式中，是保修期间内更新保修的次数，其分布律 （），；（，）是第 次更新保修的时间长度，且（，）是非负独立同分布的随机变量。根据模型假设，在（），）内可能发生故障更新，在检测点 可能进行检测更新。因此，一次更新保修的平均时间 可表示为：（）（）（）（）（）（）由重期望公式，总保修时间长度的期望为：（）（）（）（）（）（）（）（）期望保修费用由模型假设保修期内总费用可分为两类：一类是保修更新的平均费用，一类是未发生保修更新的费用。第 期杨艳妹，等：有剩余保修时间阈值的可更新产品检测和预防更换建模与优化保修发生更新时，一个保修期内总平均费用（）可表示为：（）（）（）（）（）（）上式中的第一项为发生故障更新情形下，一个保修期内的平均保修费用，第二项为发生检测更新情形下，一个保修期内的平均保修费用。保修期内未发生更新的期望费用 （）可表示为：（）（）（）（）其中（）（）（）为缺陷状态时的故障率函数。上式的第一项为保修未发生更新情形下的检测费用。（）为保修期内未发生更新的条件下，产品退化至缺陷状态的条件概率，（）（）为最小维修 期内 的 小修次数。由重期望公式，保修期内总费用为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）因此，保修期内的费用率（）（）（）（）为了说明本文提出模型的有效性，本文建立两个对比模型：无检测无剩余保修时间阈值的保修模型（为了方便区分记为模型 ）及无剩余保修时间阈值但有检测和预防更换保修模型（为了方便区分记为模型 ）。在模型 中，假设制造商在整个保修期内不进行检测和预防性更换，产品出现故障后，立即更换。更换后产品保修期也更新。在模型 中，假设制造商在整个保修期内对产品保修期内进行周期的检测，当产品检测到缺陷状态或者发生故障时，立即进行更换。更换后产品保修期也将更新。数值算例假设产品时间（，）服从威布尔分布，概率密度函数为（）（）（），其中，（，）分 别 是 尺 度 和 形 状 参 数，（，），。模型的费用参数和初始保修期时间长 度 参 见 表 ，表 中 的 保 修 期 时 间 单 位为天。表 费用和保修期相关参数 优化检测间隔和剩余保修时间阈值假设阈值只能取整数。根据表 相关参数值，通过使用 进行编程计算，可以得到在不同阈值（以 为单位）对应的最优检测次数 及最小平均费用率。比较可得最优阈值为 ，最优检测次数为 ，制造商的平均保修费用率为 ，相应的最优检测间隔为（）。经计算，模型 的最优检测次数为 ，平均保修费用率为 ，相应的检测间隔为 ；模型 保修期内的平均费用率为 。由上述数据分析可以看出，带有阈值的检测预防更换保修策略优于无阈值有检测保修策略，无阈值有检测保修策略优于不进行检测的保修更换策略。模型参数敏感性分析为了对模型有更深入的分析，本部分将分析检测费用、最小维修费用、正常状态分布参数及异常状态分布参数对最优检测间隔、阈值和平均保修费用率的影响。设检测费用由 增长至 ，步长为 ，产品其他参数与 节相同。用类似于 节的方法，可得到最优检测间隔、剩余保修时间阈值及其相应的期望保修费用率。计算结果表明，随着检测费用的增加，剩余保修时间阈值基本不变，最优检测次数减少（最优检测时间间隔增加），而相应的期望费用率增加。设最小维修费用由 增长到 ，步长为 ，产品其他参数与 节相同。用类似于 节方法，可得最优检测次数和阈值及其相应的期望保修费用率。计算结果表明，随着最小维修费用的增加，最优检测次数增加（最优检测时间间隔减小），阈值增加，相应的平均保修费用率增加。设尺度参数 由 增长至 ，步长为 ，产品其他参数与 节相同。用类似于 运 筹 与 管 理 年第 卷节的方法，可得到最优检测次数、剩余保修时间阈值及相应的期望保修费用率。计算结果表明，随着的增加，期望费用率递减，但剩余保修时间阈值和最优检测次数不变（最优检测时间间隔不变）。设形状参数 由 增长至 ，步长为 ，产品其他参数与 节相同。用类似于 节的方法，可得到最优检测次数、阈值及相应的期望费用率。计算结果表明，随着 的增加，剩余保修时间阈值和最优检测次数递减（最优检测时间间隔增加），而相应的期望费用率递增。用类似的方法可得，随着尺度参数 的增加，剩余保修时间阈值、最优检测次数和相应的期望费用率递减的。随着形状参数 的增加，剩余保修时间阈值递增、最优检测次数递增（最优检测时间间隔递减），相应的期望费用率递增。结论论文基于两阶段故障过程概念，对可更新保修产品，进行了有剩余保修时间阈值的周期检测和预防更换建模与优化。产品保修期分为两阶段：检测更换期和最小维修期。在检测更换期，制造商进行等间距的周期性检测，如果检测发现产品处于缺陷状态或发生故障，将立即更换。在最小维修期，制造商为了降低服务成本，不实施检测和更换，对于发生的故障只进行最小维修。从制造商的角度考虑单位时间内的平均保修费用，得到使其最小的阈值和检测间隔。论文通过数值算例说明构建模型的合理性，同时对检测费用、最小维修费用及正常、缺陷状态的分布参数进行了敏感性分析。本文假设对故障产品实施更换和最小维修，而在保修工程实际中，通常实施介于更换和最小维修之间的非完美维修。在后续的研究中将基于延迟时间概念对检测间隔、预防维修水平等进行联合优化。本文只考虑到产品内部劣化导致的故障，实际生活中外部冲击也会使产品故障。在后续研究将考虑外部冲击对保修决策的影响。参考文献：，：，：曹立思，剑虹，刘子先，等 产品保证策略研究现状与前景展望 管理评论，（）：，：，：，（）：郭驰名 基于独立增量过程的视情维修优化方法研究 长沙：国防科技大学，：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，（）：第 期杨艳妹，等：有剩余保修时间阈值的可更新产品检测和预防更换建模与优化