多元函数微分学省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高数课件重庆大学数理学院 教师 吴新生 第1页第八章 多元函数微分法及其应用开 始退出第2页第一节 多元函数基本概念返 回第二节 偏导数第四节 多元复合函数求导法则第五节 隐函数求导公式第六节 微分法在几何上应用第八节 多元函数极值及其求法第七节 方向导数与梯度第三节 全微分总习题第3页返 回一.区域四.多元函数连续性三.多元函数极限二.多元函数概念第一节第一节 多元函数基本概念多元函数基本概念习题第4页第一节 多元函数基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上一个点，是某一正数.与点 距离小于点 全体称为 邻域，记为 ，即也就是返 回下一页第5页2.区域 设E是平面上一个点集，P是平面上一个点.假如存在点P某一邻域 使 ，则称P为E内点(图8-1).假如点集E点都是内点，则 称E为开集.假如点P任一邻域内现有属 P 于E点，也有不属于E点，E 则称P为E边界点（图8-2）.设D是开集.假如对于D内 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起下一页上一页返 回第6页 来,而且该折线上点都属于D,P 则称开集D是连通.连通开集称为区域或开区域.E 开区域连同它边界一起,称 为闭区域.图 8-23.n维空间 设n为取定一个自然数,我们称有序n元数组 全体为n维空间,而每个有序n元数组 称为n维空间中一个点,数 称返 回下一页上一页第7页为该点第i个坐标,n维空间记为 .n维空间中两点 及 间距离要求为返 回下一页上一页第8页二、多元函数概念 定义定义1 1 设设D D是平面上一个点集是平面上一个点集.假如对于每假如对于每个点个点P=(x,y)D,P=(x,y)D,变量变量z z按照一定法则总有确定按照一定法则总有确定值和它对应值和它对应,则称则称z z是变量是变量x x、y y二元函数二元函数(或点或点P P函数函数),),记为记为点集D称为该函数定义域,x、y称为自变量,z例题返 回下一页上一页第9页也称为因变量,数集 称为该函数值域.把定义1中平面点集D换成n维空间内点集D.则可类似定义n元函数 .当n=1时，n元函数就是一元函数.当n2时n元函数统称为多元函数.返 回下一页上一页第10页三、多元函数极限 二元函数 当 ,即 时极限.这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就是点 与点 间距离趋于零，即 定义定义2 2 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）内有定义，内有定义，是是D D内点或边界点假如对内点或边界点假如对于任意给定正数于任意给定正数，总存在正数，总存在正数，使得对于，使得对于适合不等式适合不等式返 回下一页上一页第11页一切点一切点P(x,y)DP(x,y)D，都有，都有成立，则称常成立，则称常A A为函数为函数f(x,y)f(x,y)当当 ，时极限，记作时极限，记作或或 这里这里 .例题返 回下一页上一页第12页四、多元函数连续性 定义定义3 3 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域在开区域(或闭区域或闭区域)D)D内有定义，内有定义，是是D D内点或边界点且内点或边界点且 .假如假如则称函数则称函数f(x,y)f(x,y)在点在点 连续连续.若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)间短点.函数返 回下一页上一页第13页当x0,y0时极限不存在，所以点(0,0)是该函数一个间断点.函数在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线.性质性质1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在有界闭区在有界闭区域域D D上多元连续函数，在上多元连续函数，在D D上一定有最大值和最上一定有最大值和最小值小值.在D上最少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切PD，有返 回下一页上一页第14页 性质性质2(2(介值定理介值定理)在有界闭区域在有界闭区域D D上多元函上多元函数，假如在数，假如在D D上取得两个不一样函数值，则它在上取得两个不一样函数值，则它在D D上取得介于这两个值之间任何值最少一次。上取得介于这两个值之间任何值最少一次。假如是函数在D上最小值m和最大值M之间一个数，则在D上最少有一点Q，使得f(Q)=.*性质性质3(3(一致连续性定理一致连续性定理)在有界闭区域上在有界闭区域上多元连续函数必定在多元连续函数必定在D D上一致连续上一致连续.若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定正数，总存在正数，使得对于D上返 回下一页上一页第15页任意二点 ，只要当 时，都有成立.一切多元初等函数在其定义区域内是连续一切多元初等函数在其定义区域内是连续.由多元初等函数连续性，假如要求它在点 处极限，而该点又在此函数定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即例题返 回上一页第16页一.偏导数定义及其计算方法二.高阶偏导数第二节第二节 偏导数偏导数习题返 回第17页一、偏导数定义及其计算方法 定义定义 设函数设函数 在点在点 某一某一邻域内有定义，当邻域内有定义，当y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 处有处有增量增量x x 时，对应地函数有增量时，对应地函数有增量假如假如 （1 1）存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在点在点 处对处对x x偏导数偏导数 ，记作，记作返 回下一页第18页比如，极限(1)能够表示为 (2)类似地,函数函数 在点在点 对对y y偏导数偏导数定义为定义为 返 回下一页上一页第19页 (3)记作记作 假如函数 在区域D内每一点(x,y)处对x偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y函数,它就称为函数 对自变量x偏导函数，记作返 回下一页上一页第20页 类似，能够定义函数z=f(x,y)对自变量y偏导函数，记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数.例题返 回下一页上一页第21页 图 8-6返 回下一页上一页第22页二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内含有偏导数那么在D内 都是x,y函数.假如这两个函数偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)二阶偏导数.按照对变量求导次序 不一样以下四个二阶偏导数：返 回下一页上一页第23页 二元函数z=f(x,y)在点 偏导数有下述几何意义.设 为曲面z=f(x,y)上一点,过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上方程为 ,则导数 ，即偏导数 ,就是这曲线在点 处切线 对x轴斜率(见图8-6).一样偏导数 几何意义是曲面被平面 所截得曲线在点 处切线 对y轴斜率.返 回下一页上一页第24页其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.一样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数.定理定理 假如函数假如函数z=f(x,y)z=f(x,y)两个二阶混合偏两个二阶混合偏导数导数 及及 在在D D内连续，那么在该区域内内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等这两个二阶混合偏导数必相等.例题例题返 回上一页第25页第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用习题下一页返 回第26页第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 二元函数对某个自变量偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量改变率.上面两式左端分别叫做二元函数对x和对y偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y偏微分.设函数z=f(x,y)在点P(x,y)某邻域内有定义，并设 为这邻域内任意一下一页上一页返 回第27页点，则称这两点函数值之差为函数在点P对应于自变量增量x、y全增量，记作z，即 定义定义 假如函数假如函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)全增量全增量 (1)(1)可表示为可表示为下一页上一页返 回第28页其中其中A A、B B不依赖于不依赖于xx、yy而仅与而仅与x,yx,y相关，相关，则称函数，则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 称为函数称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)全微分，记作全微分，记作dz,dz,即即 (2)(2)假如函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分.下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分条件.定理定理1(1(必要条件必要条件)假如函数假如函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点下一页上一页返 回第29页(x,y)(x,y)可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点(x,y)(x,y)偏导数偏导数 必定存在，且函数必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)全微全微分为分为 (3)(3)证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P某个邻域内任意点 ，(2)式总成立.尤其当 时(2)式也应成立，这时 ，所以(2)式成为下一页上一页返 回第30页上式两边各除以 ，再令 而极限，就得从而，偏导数 存在，而且等于A.一样可证 =B.所以三式成立.证毕.下一页上一页返 回第31页 定理定理2(2(充分条件充分条件)假如假如z=f(x,y)z=f(x,y)偏导数偏导数 在在(x,y)(x,y)连续，则函数在该点可微分连续，则函数在该点可微分.证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点某一邻域内必定存在意思.设点 为这邻域内任意一点，考查函数全增量下一页上一页返 回第32页在第一个方括号内表示式，因为y+y不变，因而能够看作是x一元函数 增量.于是应用拉格郎日中值定理，得到 又依假设，在点 连续，所以上式可写为下一页上一页返 回第33页 (4)其中 为x、y函数，且当时，.同理可证第二个方括号内表示式可写为 (5)其中 为y函数，且当 时，.由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续假定下，全增量z能够表示为下一页上一页返 回第34页 轻易看出它就是伴随 即 而趋于零.这就证实了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分.例题上一页返 回第35页第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则返 回下一页习题第36页第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 定理定理 假如函数假如函数 及及 都在点都在点t t可导，函数可导，函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)(u,v)含有连续偏含有连续偏导数，则符合函数导数，则符合函数 在在t t可导，切可导，切其导数可用以下公式计算：其导数可用以下公式计算：(1)(1)证 设t取得增量t，这时 、对应增量为u、v,由此，函数z=f(u,v)下一页上一页返 回第37页对应取得增量z.依据要求，函数z=f(u,v)在点(u,v)含有连续偏导数，于是由第三节公式(6)有这里，当 时，.将上式两边各除以t，得因为当 ，时 ，下一页上一页返 回第38页 ，所以 这就证实符合函数 在点t可导，且其导数可用公式(1)计算.证毕.全微分形式不变全微分形式不变 设函数z=f(u.v)含有连续偏导数，则有全微分下一页上一页返 回第39页假如u、v又是x、y函数 、且这两个函数也含有连续偏导数，则复合函数 全微分为下一页上一页返 回第40页其中 及 发分别由公式(4)及(5)给出.把公式(4)及(5)中 及 带如上式，得下一页上一页返 回第41页由此可见，不论z是自变量u、v函数或中间变量u、v函数，它全微分形式是一样.这个性质叫做全微分形式不变性.上一页返 回第42页一.一个方程情形二.方程组情形第五节第五节 隐函数求导公式隐函数求导公式返 回习题第43页一、一个方程情况 隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 设函数设函数 在点在点 某一邻域内含有连续偏导数，且某一邻域内含有连续偏导数，且 ，则方程，则方程 在点在点某一邻域内恒能唯一确定一个单质明年许含有某一邻域内恒能唯一确定一个单质明年许含有连续导数函数连续导数函数 ,它满足条件它满足条件 ，并有，并有 （1 1）返 回下一页第44页 公式推导：将方程 所确定函数 代入，得恒等式其左端能够看作是x一个复合函数，求这个函数全导数，因为恒等式两端求导后依然恒等，即得 因为 ，且 ，所以存在 返 回下一页上一页第45页一个邻域，在这个邻域内 ，于是得 假如 二阶偏导数也都连续，我们能够把等式(1)两端看作x复合偏导数而再求一次导，即得返 回下一页上一页第46页 隐函数存在定理能够判定由方程所确定二元函数 存在，以及这个函数性质。隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数 在点在点 某一邻域内含有连续偏导数，某一邻域内含有连续偏导数，返 回下一页上一页第47页且且 ，则方程，则方程 在点在点 某一邻域内恒能某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且含有连续偏导数函唯一确定一个单值连续且含有连续偏导数函数数 ，它满足条件，它满足条件 ，并，并有有 (2)将公式(2)做以下推导，因为 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导 返 回下一页上一页第48页法则得因为 连续，且 ，所以存在点 一个邻域，在这个邻域内 ，于是得返 回下一页上一页第49页二、方程组情况 考虑方程组 (5)在四个变量中，普通只能有两个变量独立化，所以方程组(5)就有可能确定两个二元函数.这种情形下我们能够由函数F、G性质来断定方程组(5)所确定两个二元函数存在，以及它们性质.返 回下一页上一页第50页 隐函数存在定理隐函数存在定理3 3 设设 以及以及 在点在点 某一邻域内某一邻域内含有对各个变量连续偏导数，又含有对各个变量连续偏导数，又 、，且，且 偏导数所组成函数行列式偏导数所组成函数行列式 (或称雅可比或称雅可比(Jacobi)(Jacobi)行列式行列式)：返 回下一页上一页第51页在点在点 不等于零，则方程组不等于零，则方程组 、在点在点 某一邻域内恒能唯一确定一组某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且含有连续偏导数函数单值连续且含有连续偏导数函数 ，它们满足条件，它们满足条件 ，并有，并有返 回下一页上一页第52页 (6)返 回下一页上一页第53页 下面仅就公式(6)做以下推导.因为返 回下一页上一页第54页将恒等式两边分别对x求导，应用复合函数求导法则得这是关于 线性方程组，由假设可知在点 一个邻域，系数行列式返 回下一页上一页第55页从而可解出 ，得 同理，可得 返 回上一页第56页一.空间曲线切线与法平面二.曲面切平面与法线第六节第六节 微分法在几何上应用微分法在几何上应用返 回习题第57页一、空间曲线切线与法平面 设空间曲线参数方程 (1)这里假定(1)式三个函数都可导.在曲线上取对应与 一点及对应于 邻近一点 .依据解析几何，曲线割线 方程是 返 回下一页第58页当 沿着趋于 ，时割线 极限位置 就是曲线在点 处切线(图8-7).用t除上式各分母，得 令 (这t0)，经过对上式取极限，即得 图 8-7 曲线在点 处切线方程返 回下一页上一页第59页 这里当要假定 都不能为零.切线方向向量称为曲线切向量.向量就是曲线经过在点 处一个切向量.点经过 而与切线垂直平面称为曲线在返 回下一页上一页第60页点 处法平面，它是经过点 而以T为法向量平面，所以这法平面方程为返 回下一页上一页第61页二、曲面切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程情形，然后把显式给出曲面方程z=f(x,y)作为它特殊情形.设曲面由方程(9)给出，是曲面上一点，并设函数 偏导数在该点连续且不一样时为零.在曲线上，经过点M引一条曲线(图8-8)，假定曲线参数方程为返 回下一页上一页第62页程为 (10)对应于点 且 ，不全为 零，则由(2)式可得这 曲线切线方程为 图 8-8 返 回下一页上一页第63页 引入向量 则表示(10)在点M处切向量 返 回下一页上一页第64页与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上经过点M任意一条曲线，它们在点M切线都与同一个向量n垂直，所以曲面上经过点M一切曲线在点M切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面在点M切平面.这切平面方程是 (12)经过点 而垂直于切平面(12)直线称为曲面在该点法线.法线方程是返 回下一页上一页第65页 垂直于曲面上切平面向量称为曲面法向量.向量就是曲面在点M处一个法向量.返 回上一页第66页一.方向导数二.梯度第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度返 回习题第67页第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 设函数z=f(x,y)在P(x,y)某一邻域U(P)内有定义.自点P引射线.设x轴正向到射线 转角为 ，并设 为 上另一点(图8-9)且 .我们考虑函数增量 与 两点间距离 比值.当 沿着 趋于 时，假如这个比极限存在，则称这极返 回下一页第68页 限为函数f(x,y)在点P沿 方向 方向导数，记 作 ，即 图 8-9返 回下一页上一页第69页 定理定理 假如函数假如函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点P(x,y)P(x,y)是可微是可微分，那么函数在该点沿任一方向导数都存分，那么函数在该点沿任一方向导数都存在且有在且有其中其中 为为x x轴到方向轴到方向 转角转角.证证 依据函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分假定，函数增量能够表示为返 回下一页上一页第70页两边各除以 ，得到所以 返 回下一页上一页第71页这就证实了方向导数存在且其值为返 回下一页上一页第72页 对于三元函数u=f(x,y,z)来说，它在空间一点P(x,y,z)沿着 (设方向 方向为)方向导数，一样能够定义为其中 ，一样能够证实，假如函数在所考虑点处可微分，那么函数在该点沿着方向 方向导数返 回下一页上一页第73页为返 回下一页上一页第74页二、梯度 在二元函数情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内含有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)D，都能够定出一个向量这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)梯度，记作 ，即返 回下一页上一页第75页 函数在某点梯度是这么一个向量，它方向与取得最大方向导数方向一致，而它模为方向导数最大值.由梯度定义可知，梯度模为 普通来说二元函数z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得曲线L方程为返 回下一页上一页第76页 这条曲线 在xOy面 投影是一条平面曲 线 (图8-10)，它 在xOy平面直角坐标 系中方程为 图 8-10返 回下一页上一页第77页对于曲线 上一切点，已给函数函数值都是c，所以我们称平面曲线 为函数z=f(x,y)等高线.因为等高线f(x,y)=c上任一点P(x,y)处法线斜率为所以梯度返 回下一页上一页第78页为等高线上点P处法向量.所以我们可得梯度与等高线下述关系：函数z=f(x,y)在点P(x,y)梯度方向与过点P等高线f(x,y)=c在这点法线一个方向相同，且从数值较低等高线指向数值较高等高线，而梯度模等于函数在这个法线方向方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值方向.对于三元函数来说，函数u=f(x,y,z)在空间区域G内含有一阶连续偏导数，则对每一点 ，都可定出一个向量返 回下一页上一页第79页这向量称为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)梯度，将它记作 ，即 假如我们引进曲面返 回下一页上一页第80页为函数u=f(x,y,z)等量面概念，则可得函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)梯度方向与过点P等量面f(x,y,z)=c在这点法线一个方向相同，且从数值较低等量面指向数值较高等量面，而梯度模等于函数在这个法线方向方向导数.返 回上一页第81页一.多元函数极值及最大值、最小值二.条件极值第八节第八节 多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法返 回习题第82页第八节 多元函数极值及其求法 一、多元函数极值及最大值、最小值 定义定义 设函数设函数 在点在点 某个邻域内有定义，对于该邻域内异于某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 点点 ：假如都适合不等式：假如都适合不等式则称函数在点则称函数在点 有有极大值极大值 ；如；如果都适合不等式果都适合不等式返 回下一页第83页则称函数在点则称函数在点 有有极小值极小值 .极大极大值、极小值统称为值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值点称使函数取得极值点称为为极值点极值点.以上关于二元函数极值概念，可推广到n 元函数.设n元函数 在点 某一邻域内有定义，假如对于该邻域内有异于 任何点 都不适合不等式 返 回下一页上一页第84页则称函数 在点 有极大值(极小值).定理定理1(1(必要条件必要条件)设函数设函数 在在点点 含有偏导数，且在点含有偏导数，且在点 处有极处有极值，则它在该点偏导数必定为零：值，则它在该点偏导数必定为零：证证 不妨设 在点 处有极大值.依极大值定义，在 某邻返 回下一页上一页第85页域内异于 点 都适合不等式特殊地，该邻域内取 而 点，也应适当不等式这表明一元函数 在 处取得极大值，因而必有 返 回下一页上一页第86页类似地可证 假如三元函数 在点 含有偏导数，则它在点 含有极值必要条件为 定理定理2(2(充分条件充分条件)设函数设函数 在在返 回下一页上一页第87页点点 某邻域内连续且含有某邻域内连续且含有 一阶及二阶一阶及二阶连续偏导数，又连续偏导数，又 ，令，令则则 在在 处是否取得极值条件如处是否取得极值条件如下：下：(1)(1)时含有极值，且当时含有极值，且当 时有极大值，当时有极大值，当 时有极小值；时有极小值；(2)(2)时没有极值；时没有极值；(3)(3)时可能有极值，也可能没时可能有极值，也可能没返 回下一页上一页第88页有极值，还需另作讨论有极值，还需另作讨论.二阶连续偏导数函数 极值求法叙述以下：第一步 解方程组求得一切实数解，即可求得一切驻点.第二步 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数值 和 .第三步 定出 符号，按定理2返 回下一页上一页第89页结论判定 是否是极值、是极大值还是极小值.返 回下一页上一页第90页二、条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论极值问题，对于函数自变量，除了限制在函数定义域以外，并无其它条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会碰到对函数自变量还有附加条件极值问题.比如，求表面积为 而体积为最大长方体体积问题.设长方体三棱长为 还必须满足附加条件 .象这种对自变量有附加条件极值称为条件极值.返 回下一页上一页第91页 对于有些实际问题，能够把条件极值化为无条件极值，然后利用第一目中方法加以解决.比如上述问题，可由条件 ，将z表示成x,y函数再把它代入 中，于是问题就化为求返 回下一页上一页第92页无条件极值.但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这么简单.我们另有一个直接寻求条件极值方法，能够无须先把问题化到无条件极值问题.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下可能极值点，能够先组成辅助函数其中 为某一常数.求其对x与y一阶偏导数，返 回下一页上一页第93页并使之为零，然后与方程 联立起来：由这方程组解出 及 ，则其中 就是函数 在附加条件 下可能极值点坐标.返 回下一页上一页第94页第八章结束第八章结束上一页返 回第95页总习题总习题 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中选择一个正 确填入以下空格内：（1）在点 可微分是 在该点连续 充分 条件.在点连续是 在该点可微分 必要 条件.（2）在点 偏导数 及 存在是 在该点可微分 必要 下一页返 回第96页条件.在点 可微分是函数在该点偏导数 及 存在 充分 条件.（3）偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分 充分 条件.（4）函数 两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续是这两个二阶下一页返 回上一页第97页混合偏导数在D内相等 充分 条件.2.求函数 定义 域，并求 .3.证实极限 不存在.下一页返 回上一页题解题解第98页4.设求 及 .5.求以下函数一阶和二阶偏导数：下一页返 回上一页题解题解题解第99页6.求函数 当 时全增量和全微分.7.设 证实：在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分.下一页返 回上一页题解题解第100页8.设 ，而 都是可微函数，求 .9.设 含有连续偏导数，而求 .10.设 ，其中f含有连续二阶偏导数，求 .下一页返 回上一页题解题解题解第101页11.设 试求 和 .12.求螺旋线在点 处切线及法平面方程.13.在曲面 上求一点，使这点处法线垂直于平面 ，并写出这法线方程.下一页返 回上一页题解题解题解第102页14.设x轴正向到方向 转角为 ，求函数在点(1,1)沿方向 方向导数，并分别确定转角 ，使这导数有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函数 在椭球面上点 处沿外法线方向方向导数.下一页返 回上一页题解题解第103页16.求平面 和柱面交线上与xOy平面距离最短点.17.在第一卦限内做椭球面切平面，使该切平面与三坐标面所围成四面体体积最小.求着切平面切点，并求此最小体积.返 回上一页题解题解第104页解：解：求定义域 需满足即 需满足下一页返 回第105页而 是D一个内点.返 回上一页第106页解：解：设当 时，沿 方向趋近于零显然，该极限随k 不一样而改变.返 回第107页解：解：当当 ,显然显然 .当当 ,下一页返 回第108页下一页返 回上一页第109页同理同理当当 ,显然显然 .当当 ,返 回上一页第110页解：解：返 回第111页解：解：返 回第112页解：解：全增量返 回下一页第113页返 回上一页第114页证实:显然 时,有返 回下一页第115页返 回下一页上一页第116页返 回下一页上一页第117页返 回若令若令 沿沿 方向趋近于方向趋近于0上一页第118页解解:返 回第119页解解:返 回第120页解解:返 回第121页解解:返 回下一页第122页 返 回上一页第123页解解:返 回第124页解解:返 回第125页解解:返 回第126页解解:返 回下一页第127页 返 回下一页上一页第128页 返 回上一页第129页解解:返 回下一页第130页 返 回上一页第131页解解:返 回下一页上一页第132页 返 回下一页上一页第133页 返 回下一页上一页第134页 返 回上一页第135页习习 题题 8-1 8-11.已知函数 试 求 .2.试证函数 满足关系式.3.以知函数 ，试求 .下一页返 回第136页4.求以下各函数定义域：下一页返 回上一页第137页5.求以下各极限：下一页返 回上一页第138页6.证实以下极限不存在：下一页返 回上一页第139页7.函数 在何处是间断？8.证实 .上一页返 回第140页例1 圆柱体体积 和它底半径 、高 之间含有关系这里，当 、在集合 内取定一对值 时，对应值就随之确定.例2 一定量理想气体压强 、体积 和绝对温度 之间含有关系下一页返 回第141页其中 为常数.这里，当 、在集合 内取定一对值 时，值就随之确定.例3 设 是电阻 并联后总电阻，由电学知道，它们之间含有关系这里，当 在集合 内取定一对值 时，对应值就随之确定.上一页返 回第142页例例4 4 设求证证证 因为可见，对任给 ，取 则当下一页返 回第143页时，总有成立，所以下一页上一页返 回第144页例例5 5 求解 这里 在区域 和区域 内都有定义，同时为 及 边界点.但不论在 内还是在 内考虑，以下运算都是正确：上一页返 回第145页例例6 6 求 解解 函数 是初等函数，它定义域为 因 不是连通，故 不是区域.但是区域，且 ，所以 是函数 一个定义域.因 ，故下一页返 回第146页例例7 7 求解解 下一页上一页返 回第147页上一页返 回第148页习习 题题 8-2 8-21.求以下函数偏导数下一页返 回第149页2.设 ，求证 .3.设 ，求证 .4.折 ，求 .下一页返 回上一页第150页5.设 ，在(2,4,5)处切线对于x 轴倾角是多少？6.求以下函数 ，和 下一页返 回上一页第151页7.设 ，求 ，及 .8.设 ，求 及 .9.验证：满足 ；满足 下一页返 回上一页第152页例例1 1 求 在点(1,2)处偏导数.解解 把 看作常量 把 看作常量将(1,2)代入上面结果，就是下一页返 回第153页例例2 2 求 偏导数解解 下一页上一页返 回第154页例例2 2 求 偏导数解解 下一页上一页返 回第155页例例3 3 设 ，求证：证证 因为 ，所以下一页上一页返 回第156页例例4 4 求 偏导数.解解 把y和z都看作常量，得因为所给函数关于自变量对称性，所以上一页返 回第157页例例6 6 设 ，求 、及 .解解 下一页返 回第158页返 回上一页第159页例例7 7 验证 满足方程证证 因为 ，所以 ，下一页返 回第160页所以例例8 8 证实函数 满足方程 下一页返 回上一页第161页其中 .证证 因为函数关于自变量对称性，所以 下一页返 回上一页第162页所以返 回上一页第163页习习 题题 8-3 8-31.求以下函数全微分：2.求函数 当 时 全微分.下一页返 回第164页3.求函数 当 时全增量和全微分.4.求函数 当 时全微分.返 回上一页第165页例例1 1 计算函数 全微分.解解 因为所以例例2 2 计算函数 在点(2,1)处全微分.解解 因为下一页返 回第166页所以 例例3 3 计算函数 全微分.解解所以 .返 回上一页第167页 习习 题题 8-4 8-41.设 ，而 ，求 .2.设 ，而 ，求 .下一页返 回第168页3.设 ，而 ，求 .4.设 ，而 ，求 .下一页返 回上一页第169页5.设 ，而 ，求 .6.设 ，而 ，求 .7.设 ，而 ，下一页返 回上一页第170页 验证8.求以下函数一阶偏导数(其中f含有一阶连续 偏导数)下一页返 回上一页第171页 返 回上一页第172页 习习 题题 8-5 8-51.设 ，求 .2.设 ，求 .3.设 ，求 及 .4.设 ，求 及 .下一页返 回第173页5.设 ，证实 .6.设 都是 由 所确定含有连续偏导数 函数，证实下一页返 回上一页第174页7.设 含有连续偏导数，证实由方程 所确定函数 满足 .8.设 ，求 .返 回上一页第175页 习习 题题 8-6 8-61.求曲线 在点 处切线及法线平面方 程.2.求曲线 在对应 点处切线及法平面方程.下一页返 回第176页3.求曲线 在点 处切线及法线平面方程.4.求曲线 ，在点 处切线及法线平面方程.下一页返 回上一页第177页5.求曲线 上点，使在该点 切线平行于平面 .6.求曲面 在点 处切线 及法线平面方程.返 回上一页第178页 习习 题题 8-7 8-71.求函数 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点 方向方向导数.2.求函数 在抛物线 上点 (1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正 向切线方向方向导数.3.求函数 在点下一页返 回第179页 处沿曲线 这点内法线方向 方向导数.4.求函数 在点(1,1,2)处沿 方向角为 方向方 向导数.下一页返 回上一页第180页5.求函数 ，在点(5,1,2)处沿从点 (5,1,2)到点(9,4,14)方向方向导数.6.求函数 在曲线 上点(1,1,1)处，沿曲线在该点切线(对应于t增大方向)方向导数.7.求函数 在球面 上点 处，沿球面在该点外法线 方向方向导数.返 回上一页第181页 习习 题题 8-8 8-81.求函数 极值.2.求函数 极值.3.求函数 极值.4.求函数 在适合附加条件 极 大值下一页返 回第182页5.从斜边之长为 一切直角三角形中，求有 最大周长直角三角形.6.要造一个容积等于定数 长方体无盖水池，应怎样选择水池尺寸，方可使它面积最 小.7.在平面xOy上求一点，使它到 及 三角线距离平方之和最小.下一页返 回上一页第183页8.将周长为2p矩形绕它一边旋转而组成一 个圆柱体.问矩形边长各位多少时，才可使 圆柱体体积为最大.9.求内接于半径为a球有最大致积长方体.10.抛物面 被平面 截 成一椭圆，求原点到这椭圆最长与最短路 径.返 回上一页第184页