组合数学Pólya定理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第四章 Plya定理群概念置换群循环、奇循环与偶循环Burnside引理Plya定理例母函数型Plya定理图计数第1页4.1 群概念(1)群群定义定义 给定集合G和G上二元运算 ，满足以下条件称为群。(a)封闭性：若a,bG,则存在cG,使得ab=c.(b)结合律成立：任意a,b,cG,有(ab)c=a(bc).(c)有单位元：存在eG,任意aG.ae=ea=a.(d)有逆元：任意aG,存在bG,ab=ba=e.b=a.因为结合律成立，(ab)c=a(bc)可记做abc.例例 证实对于a1,a2,an乘积，结合律成立.aaa=a (共n个a相乘).-1n第2页4.1 群概念(2)简单例子例例 G=1,-1在普通乘法下是群。例例 G=0,1,2,n-1在mod n加法下是群.例例 二维欧氏空间全部刚体旋转T=Ta组成群。其中Ta=cosa sina -sina cosa TbTa=cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa第3页4.1 群概念=cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb=cos(a+b)sin(a+b)=Ta+b -sin(a+b)cos(a+b)从而有(a)封闭性;(b)结合律成立：(TT)T=T(TT)=TTT ;(c)有单位元：T0=;(d)有逆元：Ta=T-a=cosa -sina sina cosa1 00 1第4页4.1 群概念前两例群元素个数是有限，所以是有限群；后一例群元素个数是无限，所以是无限群。有限群G元素个数叫做群阶,记做|G|。若群G任意二元素a,b恒满足ab=ba。责称G为交换群，或Abel群。设G是群,H是G子集,若H在G原有运算之下也是一个群,则称为G一个子群。第5页4.1 群概念基本性质(a)单位元唯一 e1e2=e2=e1(b)消去律成立 ab=ac b=c,ba=ca b=c(c)每个元逆元唯一 aa =a a=e,ab=ba=e,aa =ab,a =b(d)(ab.c)=c b a.c b a abc=e-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1第6页4.1 群概念(e)G有限，aG，则存在最小正整数r，使得a =e.且a =a .证证 设|G|=g,则a,a,a ,a G,由鸽巢原理其中必有相同项。设a =a ,1mlg+1,e=a ,1l-mg，令l-m=r.则有a=a a=e.即a =a .既然有正整数r使得a =e,其中必有最小者，不妨仍设为r.r称为a阶。易见 H=a,a,a ,a =e在原有运算下也是一个群。r-1r-12gg+1mll-mrr-1r-1-1r2r-1 r第7页4.2 置换群 置换群是最主要有限群，全部有限群都能够用之表示。置换：1,n到本身1-1变换。n阶置换。1,n目标集。(),a1a2an是1,n中元一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这么表示可有n!个表示法。比如 p1=()=()，n阶置换又可看作1,n上一元运算，一元函数。1 2 na1 a2 an1 2 3 43 1 2 43 1 4 22 3 4 1第8页4.2 置换群置换乘法 P1=(),P2=()P1P2=()()=()注意：既然先做P1置换，再做P2置换就要求了若作为运算符或函数符应是后置。这与普通习惯前置不一样。普通而言，对1,n上n阶置换，i1,n要写成(i)P1P2，而不是P1P2(i).(i)P有时写成i 在上面例中，132,214,323,441.也可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1.P2P1=()()=()P1P2.1 2 3 43 1 2 41 2 3 43 1 2 41 2 3 44 3 2 13 1 2 42 4 3 11 2 3 42 4 3 1P1P1P2P1P1P2P2P21 2 3 44 3 2 14 3 2 14 2 1 31 2 3 44 2 3 1第9页4.2 置换群(1)置换群 1,n上全部n阶置换在上面乘法定义下是一个群。(a)封闭性 ()()=()(b)可结合性()()()=()=()()()(c)有单位元 e=()(d)()=()1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 nb1 b2 bn1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 nc1 c2 cnb1 b2 bnc1 c2 cnb1 b2 bnc1 c2 cn1 2 n1 2 n1 2 na1 a2 ana1 a2 an1 2 n-1第10页4.2 置换群(2)例 等边三角形运动群。绕中心转动120，不动，绕对称轴翻转。P1=(),P2=(),P3=(),P4=(),P5=(),P6=()。1,n上全部置换(共n!个)组成一个群，称为对称群，记做Sn.注意：普通说1,n上一个置换群，不一定是指Sn.但一定是Sn某一个子群。1 2 31 2 31 2 32 3 11 2 33 1 21 2 31 3 21 2 33 2 11 2 32 1 3 12 3第11页4.2 置换群任一n阶群同构于一个n个文字置换群。设G=a1,a2,an，指定G中任一元ai,任意ajG，Pi：aj aj ai，则Pi是G上一个置换，即以G为目标集。Pi=()，G右正则表示f：ai()=Pi。f是单射：aiaj，则PiPj f(aiaj)=()=()()=f(ai)f(aj)令P=Pi=()|a,aiG,则PG a1 a2 ana1ai a2ai anai ai aai a1 a2 ana1(aiaj)a2(aiaj)an(aiaj)a1 a2 ana1ai a2ai anai a1 a2 an(a1ai)aj(a2ai)aj (anai)aj ai aai第12页4.3循环、奇循环与偶循环(a1a2am)=()称为置换循环表示。于是()=(14523),()=(132)(45),()=(154)(2)(3).(a1a2am)=(a2a3ama1)=(ama1am-1)有m种表示方法。a1a2am-1ama2 a3am a1123454315212345312541234552314第13页4.3循环、奇循环与偶循环若两个循环无共同文字，称为不相交，不相交循环相乘可交换。如(132)(45)=(45)(132).若p=(a1a2am),则p =(1)(2)(n)=e.定理定理 任一置换可表成若干不相交循环乘积。证证 对给定任一置换p=()，从1开始搜索1ai1ai2ai3aik1得一循环(1 ai1 ai2aik),若(1 ai1 aik)包含n1 2 na1 a2anpppppp第14页4.3循环、奇循环与偶循环了1,n全部文字，则命题成立。不然在余下文字中选一个，继续搜索,又得一循环。直到全部文字都属于某一循环为止。因不相交循环可交换，故除了各个循环次序外，任一置换都有唯一循环表示。例例 一副扑克牌，一分为二，交织相互插入(洗牌)，这么操作一次相当于一个置换p。i =p(i+1)/2,i=1,3,5,51.i/2+26,i=2,4,6,52.p=(),第i个位置被i 号牌占据.pipp第15页4.3循环、奇循环与偶循环512652.53.54.5 3 3 2 1 152 52.29 6 28 4 27 2p=(2 27 14 33 17 9 5 3)(4 28 40 46 49 25 13 7)(6 29 15 8 30 41 21 11)(10 31 16 34 43 22 37 19)(12 32 42 47 24 38 45 23)(18 35)(20 36 44 48 50 51 26 39)(52)p =e2阶循环叫做对换。8第16页4.3循环、奇循环与偶循环定理定理 任一循环都能够表示为对换积。(1 2 n)=(1 2)(1 3)(1 n)=(2 3)(2 4)(2 n)(2 1)表示不唯一。sgn(p)1,-1.(1)sgn(p)(2)sgn(pq)=sgn(p)sgn(q)(3)sgn(i,i+1)=-1,p=(i,i+1)(4)sgn(l k)=-1 奇数个邻位对换。故任一置换表示成对换个数奇偶性是唯一置换分成两大类：奇置换与偶置换。循环长度减1奇偶性即置换奇偶性。=i -j i-jppij第17页4.3循环、奇循环与偶循环例 0表示空格，任一变动都是与0做相邻对换。p=(0)(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8)奇置换。0从右下角出发回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇置换不会等于一个偶置换。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 015 14 13 1211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0第18页4.3循环、奇循环与偶循环定理 Sn中全部偶置换组成一阶为(n!)/2子群称为交织群，记做An.证(1)封闭性 (2)单位元 (3)逆元(i k)=(i k)设 p=(i1 j1)(i2 j2)(ii ji),则p =(ii ji)(i1 j1)令Bn=Sn-An,|Bn|+|An|=n!,则(i j)Bn包含于An|Bn|An|，(i j)Bn包含于An|An|Bn|An|=|Bn|=(n!)/2-1第19页4.4 Burnside引理(1)共轭类 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识。S3=(1)(2)(3),(23),(13),(123)(132).A3=(1)(2)(3),(123),(132).S4=(1)(2)(3)(4),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23).A4=(1)(2)(3)(4),(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23).第20页4.4 Burnside引理Sn中P循环格式(1)(2)(n),kCk=nSn中有相同格式置换全体组成一个共轭类。定理定理1 Sn中属(1)(2)(n)共轭类元个数为C1 C2 Cn nk=1C1 C2 Cn n！C1!C2!Cn!1 2 n C1 C2 Cn第21页4.4 Burnside引理证(1)(2)(n)即 C1 C2 Cn()()()()()()_/1个 _/2个 _/n个_ _/C1个_ _/C2个_ _/Cn个 一个长度为k循环有k种表示，Ck个长度为k循环有Ck!k 种表示.1,2,n全排列共有n!个，给定一个排列，装入格式得一置换，除以前面重复度得 n!/(C1!C2!Cn!1 2 n )个不一样置换.CkC1 C2 Cn第22页4.4 Burnside引理例例1 S4中(2)共轭类有4!/(2!2 )=3 (1)(3)共轭类有4!/(C1!C3!1 3 )=8 (1)(2)共轭类有4!/(C1!C2!1 2 )=6(2)k不动置换类 设G是1,n上一个置换群。GSn.K1,nG中使k保持不变置换全体，称为k不动置换类，记做Zk.2C1 C3C1 C21 11 12第23页4.4 Burnside引理定理 置换群Gk不动置换类Zk是G一个子群。封闭性：kkk,kk.结合性：自然。有单位元：G单位元属于Zk.有逆元：PZk,kk,则kk,PZk.ZkG.P1 P2P1P2PP-1第24页4.4 Burnside引理(3)等价类举一个例子。G=(1)(2)(3)(4),(12),(34),(12)(34).在G下，1变2，3变4，但1不变3。Z1=Z2=e,(34),Z3=Z4=e,(12).对于A4,Z1=e,(234),(243),Z2=e,(134),(143)Z3=e,(124),(142),Z4=e,(123),(132)普通1,n上G将1,n分成若干等价类，满足等价类3个条件.(a)自反性;(b)对称性;(c)传递性。第25页4.4 Burnside引理一个由G定义关系k：若存在pG,使得kj则称kRj.显然kRk；kRj则jRk；kRj,jRl则kRl。R是1,n上一个等价关系。将1,n划分成若干等价类。含目标集元素k在G作用下等价类也称为含k轨道。p第26页4.4 Burnside引理定理 设G是1,n上一个置换群，Ek是1,n在G作用下包含k等价类，Zk是k不动置换类。有|Ek|Zk|=|G|.证 设|Ek|=l,Ek=a1(=k),a2,al k=a1ai,i=1,2,l.P=p1,p2,pl令Gi=ZkPi,i=1,2,l.Gi包含于G(G关于Zk陪集分解)ij,GiGj=.G1+G2+Gl包含于G.其次，任意PG.kajkPPj Zk,PZkPj=Gj.G包含于G1+Gl.从而，G=G1+G2+Gl.|G|=|G1|+|G2|+|Gl|=|Zk|l=|Zk|Ek|Pi -1Pj-1P第27页4.4 Burnside引理(4)Burnside引理 设G=a1,a2,ag是目标集1,n上置换群。每个置换都写成不相交循环乘积。G将1,n换分成l个等价类。c1ak是在置换ak作用下不动点个数，也就是长度为1循环个数。BurnsideBurnside引理引理l=c1(a1)+c1(a2)+c1(ag)/|G|第28页4.4 Burnside引理比如，G=e,(12),(34),(12)(34).c1(a1)=4,c1(a2)=2,c1(a3)=2,c1(a4)=0.l=4+2+2+0/4=2.以本例列表分析：1 2 3 4 c1(aj)(1)(2)(3)(4)1 1 1 1 4 (1)(12)(3)(4)0 0 1 1 2 (1)(2)(1)(2)(34)1 1 0 0 2 (1)(2)(12)(34)0 0 0 0 0 (2)|Zk|2 2 2 2 8 Sjk kaj42 12 12第29页4.4 Burnside引理Sjk=对第j行求和得c1(aj),对第k列求和得|Zk|表中元素总和=Sjk=|Zk|=c1(aj).普通而言，与上表相仿，有下页表格，其中 Sjk=1,k =k,0,k k.ajaj gj=1 gj=1 nk=1 nk=11,k =k,0,k k.ajaj第30页4.4 Burnside引理 Sjk kaj 1 2 n c1(aj)a1 S11 S12 S1n c1(a1)a2 S21 S22 S2n c1(a2)ag Sg1 Sg2 Sgn c1(ag)|Zk|Z1|Z2|Z1|Zk|=c1(aj).gj=1 nk=1Sjk=c1(aj),Sjk=|Zk|,设在G作用下，1,n分成l个等价类。1,n=E1+E2+El.gj=1 nk=1第31页4.4 Burnside引理若j,I同属一个等价类，则Ei=Ej,|Ei|=|Ej|因|Ei|Zi|=|G|,故|Zi|=|Zj|.|Zi|=|Ej|Zj|Zk|=|Zk|=|Ei|Zi|=|G|=l|G|l=|Zk|=c1(aj).iEj gj=1 nk=1 nk=1 1|G|1|G|li=1 li=1 li=1iEj第32页4.4 Burnside引理例例2 一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？图象：看上去不一样图形。方案：经过转动相同图象算同一方案。图象数总是大于方案数。1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16第33页4.4 Burnside引理不动：p1=(1)(2)(16)逆时针转90：p2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16)顺时针转90：p3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)转180 ：p4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11 12)(13 15)(14 16)(16+2+2+4)/4=6(种方案)。第34页4.5 Plya定理设=1,n,M=S1,S2,Sm是m种颜色集合，对中元素用M中颜色着色，得到图象集适用M 表示，|M|=m ,每个中元素都有m种着色可能，n个元着色有m 种可能。即共有m 个图象。设G是以为目标识得置换群，是某一转动群R表示。G是以M 为目标识得置换群，是同一转动群R表示。nnn第35页4.5 Plya定理GR,GR，GG 一个着色图象在G作用下变为另一个图象，则这两个图象属于同一方案。PlyaPlya定理定理 设G=P1,P2,Pg是上一个置换群，C(Pk)是置换Pk循环个数，用M中颜色对中元着色，着色方案数为l=m +m +m .C(P1)C(P2)C(Pg)1|G|第36页4.5 Plya定理f:M,G是作用在图象集合M 上置换群。对于PG,P=,k=1,2,n T:PP,P=,i=1,2,m ,T:GG fi(k)=fi(k ),i=1,2,m ,k=1,n.P称为由P诱导出M 上置换。G=P1,Pg,G=P1,P2,PgT是G到G同构映射。C1(Pi)=mkkpfifipn_pnC(Pi)第37页4.5 Plya定理在Pi作用下M 中不动图象个数C1(Pi)=m ，C(Pi)表示Pi循环个数，即同一循环中元素都着同一个颜色图象在Pi作用下保持不变。对应于PG,有PG,P是M (图象集)上一个置换。现在要计算也就是图象集在G作用下等价类个数。下面对前例进行分析，然后推导到普通。C(Pi)第38页4.5 Plya定理P1=(1)(2)(3)(4),P1=(1)(2)(16)P2=(4321),P2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16)P3=(1234),P3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)P4=(13)(24),P4=(1)(2)(35)(46)(79)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16)C(P1)=4,C1(P1)=16=2C(P2)=1,C1(P2)=2=2C(P3)=1,C1(P3)=2=2C(P4)=2,C1(P4)=4=2求着色方案数也即求图象等价类个数。按 Burside定理，求等价类个数归结为每个置 换下不动点(不动图象)个数。C(P1)C(P2)C(P3)C(P4)2 13 4第39页4.5 Plya定理证 对n个目标用m种颜色着色图象集为M|M|=|M|=m G每一个元Pi是上一个置换，也对应了M 上一个置换Pi,这么 GG,T:PiPi 在Pi作用下不动图象个数C1(Pi)等于Pi同一循环中目标都着相同色选择个数。即C1(Pi)=m 。因而在G作用下，M (图象)等价类个数。l=C1(P1)+C1(Pg)=m +m +m .|nC(Pi)C(P1)C(P2)C(Pg)1|G|1|G|第40页4.6 举例例例1 等边三角形3个顶点用红，兰，绿3着色，有多少种方案？解解 在3维空间考虑，3顶点置换群S3.(3):2个；(1)(2):3个；(1):1个；l=(23+33+3 )/6=10 131 11 2 3第41页4.6 举例例例2 甲烷CH44个键任意用H,Cl,CH3,C2H5 连接，有多少种方案？解解 CH4结构是一个正4面体，C原子居于正4面体中心。正4面体转动群按转动轴分类：顶点-对面中心：(1)(3)8个；棱中-棱中：(2)3个；不动：(1)1个；6条棱,每条棱看作一有向边，正向重合与反向重合共62=12个位置，故转动群群元有12个。l=114+4/12=44+64/3=36。2 4第42页4.6 举例例例3 3个输入端一个输出端布尔电路有多少种实质上不一样结构？解解 3个变量布尔函数形式上有2 =256个,但有只是输入端次序不一样.输入端变换群是S3。输入端电平取值共有000111计8种。输出 f：S3H S3H Pjhj=i=07 P1=(1)(2)(3),h1=(1)(1)1个;(3)(1)(3)2个;(1)(2)(1)(2)3个;结构总数为2+22+32/6=80a1 a2 a3a1 a2 a3(i)(i)(i)(ii)(i)(i)(i)(iii)pj pj pj000 001 010 011 100 101 110 111000 001 010 011 100 101 110 1113 8 1 2 2 1 1 4 2第43页4.6 举例例例4 正6面体6个面分别用红，蓝两种颜色着色，有多少方案？正6面体转动群用面置换表示：面心-面心90(1)(4)6个 180(1)(2)3个 顶点-顶点 120 (3)8个 棱中-棱中 180 (2)6个不动 (1)1个122+32+82+2/24=10。2 2 2 2 3 63 4 2 6第44页4.6 举例例例5 用2种颜色给正6面体8个顶点着色，有多少方案？解解 用顶点置换表示：面心-面心90 (4)6个 180 (2)3个 顶点-顶点 120 (1)(3)8个 棱中-棱中 180 (2)6个不动 (1)1个172+62+2/24=34+3+32/3=23。2 42 2 4 84 2 8第45页4.6 举例例例6 在正6面体每个面上任意做一条对角线，有多少方案？解解 在每个面上做一条对角线方式有2种，可参考面2着色问题。但面心-面心转动轴转90 时，无不动图象。除此之外，都可比照面2着色。所求方案数：不动 (1)1个 2 面心-面心 90 (1)(4)6个 无不动图象 0 180 (1)(2)3个 32 顶点-顶点 120 (3)8个 82 棱中-棱中 180 (2)6个 62 2+0+32 +82 +62 /24=8+6+4+6/3=8。622 2 2 36 4 2 36 4 2 3第46页4.6 举例例例7 骰子6个面分别有1,6点，有多少种不一样方案？解解 1)6!个图象目标集,只有单位元有6!个不动点(图象)其它23个群元不动点。由Burnside引理有C1(e)/24=6!/24=30个方案。C1(p1)=C1(p2)=C1(p23)=0 2)2点,3点,6点各有两种取向，1点,4点,5点各有一个取向，故应有302=240种方案。第47页4.6 举例为了处理正多面体及一些对称对面体计算问题介绍下面定理。定义定义 凸多面体与一个顶点相关面角之和与360 差称为该顶点欠角。定理定理 凸多面体各顶点欠角和为720(用欧拉定理证)。第48页4.6 举例用正5边形搭成正多面体:(5-2)180/5=108,360-3108=36。720/36=20(个顶点)一个顶点3条棱，重复度为2：203/2=30条棱 一个顶点相关3个面,重复度为5：203/5=12个面用正3角形搭成面最多正多面体:360-560=60。720/60=12(个顶点)一个顶点关联5条棱,重复度为2：125/2=30条棱。一个顶点关联5个面,重复度为3：125/3=20个面。第49页4.6 举例足球：欠角=360(108+2120)=12 720/12=60(个顶点)603/2=90(条棱)60/5=12(个5边形)602/6=20(个6边形)(正20面体砍去12个顶点)。第50页4.7 母函数型式Plya定理l=m 目标集1,n m种颜色：b1,b2,bm m 用(b1+b2+bm)(b1+b2+bm)(b1+b2+bm)代替。P(b1,b2,bm)以b1,b2,bm为复元n次对称多项式。令Sk=(b1+b2+bm)m S1 S2 Sn P(b1,b2,bm)=Sj kCk(pi)=n1|G|g C(Pi)i=1 C(Pi)C1(Pi)C2(Pi)2 2 2n n nC(Pi)k k kC(Pi)C1(Pi)C2(Pi)Cn(Pi)Cj(Pi)1|G|g n i=1 j=1 第51页4.7 母函数型式Plya定理例例1 有3种不一样颜色珠子，串成4颗珠子项链，有哪些方案？解解 正4边形运动群 绕心转 90 (4)2个 180 (2)1个 绕轴翻转 (2)2个 (1)(2)2个 不动 (1)1个。1 2 22 4第52页4.7 母函数型式Plya定理P(b,g,r)=(b+g+r)+2(b+g+r)+3(b+g+r)+2(b+g+r)(b+g+r)/8 =b+g+r+b g+b r+bg+br+g r+gr +2b g+2b r+2g r+2b gr+2bg r+2bgr例例2 4颗红色珠子嵌在正6面体4个顶点上，有多少方案？解解 相当于对顶点2着色。无珠设b.(1)1个;(4)6个;(2)9个;(1)(3)8个;p=(b+r)+6(b+r)+9(b+r)+8(b+r)(b+r)/244 4 4 4 2 2 2 22 2 2 24 4 4 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 28 4 4 2 2 2 4 2 3 3 2第53页4.7 母函数型式Plya定理b r 系数：+62+9+82=7 1 8!24 4!4!4!2!2!4 4第54页4.8 图计数例例1 4个顶点图，对完全图边2着色S4每个置换对应6条边集上一个置换 (1)(1)1个 (4)(2)(4)6个 (2)(1)(2)3个 (1)(2)(1)(2)6个(1)(3)(3)8个 P(x,y)=(x+y)+9(x+y)(x+y)+8(x+y)+6(x+y)(x+y)1246 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 4 1 2 2 6 1 2 2 2 2 2第55页4.8 图计数=x+x y+2x y+3x y+2x y+xy+y6 5 4 2 3 3 2 4 5 6第56页4.8 图计数例例2 求4个顶点不一样构有向图个数。解解 顶点置换 有向边置换 (1)(1)1个 (1)(2)(1)(2)6个 (2)(2)3个 (1)(3)(3)8个 (4)(4)6个 P(x,y)=(x+y)+6(x+y)(x+y)+3(x+y)+8(x+y)+6(x+y)4 2 2 12 2 5 6 4 312 2 2 2 5 2 2 6 3 3 4 4 4 3 124第57页4.8 图计数x y 系数：+6(1+)+3+0+0=51 12!5!6!24 2!10!4!5!2 10第58页