湖南省郴州市太和中学2022年高二数学文联考试题含解析.docx

湖南省郴州市太和中学2022年高二数学文联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在求证“数列，，不可能为等比数列”时最好采用（    ）
A、分析法               B、综合法                   C、反证法                   D、直接法
参考答案：
C
略
2. 若实数x、y满足不等式组则的取值范围是（    ）
A.［-1，］        B.［］        C.［，+∞)       D.［，1)
参考答案：
D
3. 函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（　　）
A． B． C．（﹣∞，0] D．
参考答案：
D
【考点】函数最值的应用．
【分析】先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．
【解答】解：先画出分段函数f（x）的图象，
如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；
欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，
即e2a≤2，
解得：a
故选D．

【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
4. 由曲线,直线及y轴所围成的图形的面积为    （　　）
A. B. 4 C. D. 6
参考答案：
A
【分析】
确定出曲线y，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系求解即可．
【详解】联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S．
故选:A．

【点睛】本题考曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
5. 下面几种推理是类比推理的是（      ）
.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠和∠是两条平行直线的同旁内角，则∠+∠=1800         
.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质           
.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.     
.一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除.
参考答案：
B
6. 若有一组数据的总偏差平方和为120，相关指数为0.6，则回归平方和为（    ）
A．60         B．72        C．48           D．120
参考答案：
B
7. 椭圆上有一点P到左准线的距离是5，则点P到右焦点的距离是（   ）
  A.4            B.5                C.6             D.7
参考答案：
C
8. 已知数列{an}中，等于（    ）
A.        B      C       D.
参考答案：
C
9. 在△ABC中，，则等于（  ）
A．    B．   C．   D．
参考答案：
C
10. 从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（   ）
A．    B．   
C．    D．
参考答案：
A   解析：先从双鞋中任取双，有，再从只鞋中任取只，即，但需要排除
       种成双的情况，即，则共计
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，，则向量与向量的夹角为 .
参考答案：

详解：由题意可得||=1，||=2，（﹣）?=0，即 = ，
∴1×2×cosθ=1 （θ为向量与向量的夹角），求得cosθ= ，∴θ=，
故答案为： ．

12. 若复数（m2+i）（1+mi）是纯虚数，则实数m=　　．
参考答案：
0或1
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：∵复数（m2+i）（1+mi）=m2﹣m+（1+m3）i是纯虚数，
∴m2﹣m=0，1+m3≠0，解得m=0或1，
故答案为：0或1．
13. 若点（a，b）在直线x＋3y＝1上，则的最小值为          
参考答案：
2                                              
略
14. 已知点A（0，﹣1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足=λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为6，则m+n的最小值为　　．
参考答案：
4+
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】设M（x，y），作出M点所在的平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值．
【解答】解：设M（x，y），，；
∴，；
令，以AE，AF为邻边作平行四边形AENF，令，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ；
∵；
∴符合条件的M组成的区域是平行四边形NIGH，如图所示；
∴；
∴；
∵；
∴；
∴3≤（m+n﹣4）2；
∴；
∴m+n的最小值为．
故答案为：4+．

15. 复数的模为    ▲    .
参考答案：
1
16. 已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和D(-5,-4,8),则顶点D到平面ABC的距离为       
参考答案：
11.
17. 某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为         
参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.

参考答案：
（Ⅰ）因为
又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，
而平面PAC，所以.                 ………4分

（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.………6分
由BD平面PAC，平面PAC，知.
在中，由，得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
                                 ………8分
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以         ………10分
故四棱锥的体积为.………12分
19. 已知双曲线的一个焦点为(5,0)，其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．
参考答案：

【分析】
本题首先可以设出双曲线的标准方程并写出其的渐近线方程，然后通过题目所给出的渐近线方程为即可得出与的关系，再然后通过焦点坐标以及双曲线的相关性质即可得出，最后通过计算即可得出结果。
【详解】由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，
因为渐近线方程为，所以，
又因为双曲线的一个焦点为，所以，
联立，通过计算可得，
故所求双曲线的标准方程为。
【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的标准方程的求法，考查计算能力，是简单题。
20. 为了预防春季流感，市防疫部门提供了编号为1，2，3，4的四种疫苗供市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种，现有甲，乙，丙三人接种疫苗．
（1）求三人注射的疫苗编号互不相同的概率；
（2）设三人中选择的疫苗编号最大数为X，求X的分布列及数学期望．
参考答案：
（1）；（2）见解析.
【分析】
（1）计算出总的基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型求得结果；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列；根据数学期望公式求得期望．
【详解】（1）由题意可知，总的基本事件个数为：
三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件个数为：
所求的概率：
（2）随机变量的可能取值为，，，；
则；；
；
的分布列为

1
2
3
4

数学期望

21. （本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和．
参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意，得解得或
所以，或．
故等差数列的通项公式为，或．
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件．
故  记数列的前项和为．
当时，；当时，；
当时，
．当时，满足此式．
综上，
略
22. 已知抛物线：的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆：的离心率为，且过抛物线的焦点. 

（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线，，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线，的交点为. 
①求点的轨迹方程；
②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标. 

参考答案：