离散控制系统.pptx

第八章第八章 离散控制系统离散控制系统Your site hereLOGO8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复8.4 8.4 8.4 8.4 Z Z Z Z变换变换变换变换8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型8.6 8.6 8.6 8.6 离散系统的时域分析离散系统的时域分析离散系统的时域分析离散系统的时域分析8.7 8.7 8.7 8.7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正离散系统的数字校正离散系统的数字校正Your site hereLOGO自动控制系统的分类自动控制系统的分类:1.1.按照给定信号（输入量）分类按照给定信号（输入量）分类 2.2.按照系统的数学描述分类按照系统的数学描述分类 4.4.按照信号传递的连续性分类按照信号传递的连续性分类3.3.按照系统输入与输出信号按照系统输入与输出信号 的数量分类的数量分类8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO 控制系统中的信号：控制系统中的信号：连续信号：在时间上和幅值上都连续的信号；连续信号：在时间上和幅值上都连续的信号；是时间变量的连续函数，在全部时间上都是已知的。是时间变量的连续函数，在全部时间上都是已知的。离散信号：只在离散时间上定义的信号，不是时间的连续函数。离散信号：只在离散时间上定义的信号，不是时间的连续函数。脉冲序列：在时间上离散而在幅值上连续的信号，或称离散模拟脉冲序列：在时间上离散而在幅值上连续的信号，或称离散模拟 信号。信号。特点：幅值是任意可取的，代表了脉冲的强度。特点：幅值是任意可取的，代表了脉冲的强度。数字序列数字序列(数码数码)：在时间上和幅值上都离散的信号，或称离散数：在时间上和幅值上都离散的信号，或称离散数 字信号。字信号。特点：幅值是采用整量化表示的特点：幅值是采用整量化表示的(即量化单位的整数倍即量化单位的整数倍)。离散信号：离散信号：8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO采样控制系统或脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形采样控制系统或脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形 式。式。数字控制系统或计算机控制系统：系统中的离散信号是数字序列数字控制系统或计算机控制系统：系统中的离散信号是数字序列 形式。形式。离散控制系统：离散控制系统：控制系统：控制系统：连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连续信号。连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连续信号。离散控制系统：控制系统中有一处或几处的信号是离散信号。离散控制系统：控制系统中有一处或几处的信号是离散信号。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO工业炉炉温的连续控制系统：工业炉炉温的连续控制系统：放大器与执行电动机炉子 燃料供应 调节阀炉温 炉温设定值误差转速开度8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO 放大器与执行电动机炉子 燃料供应 调节阀炉温 炉温设定值转速开度工业炉炉温的采样控制系统：工业炉炉温的采样控制系统：8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO工业炉炉温的计算机控制系统：工业炉炉温的计算机控制系统：D(z)炉子D/A 放大器与 伺服电动机A/D 温度检测 与变换计算机炉温 炉温设定值8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO 在经典控制理论经典控制理论中，主要的研究对象研究对象有：v单变量线性定常连续系统（概要复习）v非线性系统v单变量线性定常离散系统（研究内容）8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO采样控制系统：采样控制系统：1.1.采样：采样：按照一定的时间间隔对连续信号进行取值，将连续信号转变为脉冲序列（或数码）的过程称为采样过程，简称采样。2.2.采样开关：采样开关：实现采样的装置称为采样开关或采样器。通常用 表示。采样控制系统的典型结构图采样控制系统的典型结构图脉冲控制器8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO3.3.采样开关的工作原理：采样开关的工作原理：对于连续信号e(t)，采样开关闭合时，e(t)通过，开关输出端信号为e(t)；采样开关开启时，开关输出端信号为0。采样开关以一定的时间间隔开启或闭合时，输出为脉冲序列,是连续信号在某些时段上的信息。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念脉冲控制器Your site hereLOGO4.4.采样方式：采样方式：(1)周期采样：采样开关等时间间隔开闭。(2)随机采样：采样开关开闭的时间间隔是随机的。(3)同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。(4)非同步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。(5)多速采样：各采样开关以不同的周期开闭。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念脉冲控制器Your site hereLOGO5.5.周期采样：周期采样：采样周期：采样的相等时间间隔，用 表示，单位为(s)。采样频率：，单位为（1/s）。采样角频率：，单位为（rad/s）。采样时刻：采样瞬时 。采样持续时间：采样器闭合时间，用 表示。为简化系统的分析，可以认为 趋于零，采样器的输出可以近似地看作理想脉冲。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念脉冲控制器Your site hereLOGO6.6.信号恢复：信号恢复：把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。7.7.保持器：保持器：实现信号复现过程的装置称为保持器。零阶保持器8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念脉冲控制器Your site hereLOGO数字控制系统：数字控制系统：数字控制系统的典型结构图数字控制系统的典型结构图 计算机作为系统的控制器，其输入输出只能是二进制编码的数字信号，而系统中的被控对象和测量元件的输入输出是连续信号，所以在需要应用A/D和D/A转换器，以实现两种信号的转换。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO1.A/D1.A/D转换器转换器 把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的 数字信号（二进制的整数）。A/DA/D转换的两个过程：转换的两个过程：（1）采样过程：即每隔T秒对连续信号进行一次采样，得到采 样后的脉冲序列。（2）量化过程：脉冲序列经过量化后变成数字信号，也称为 编码过程。一般要求A/D转换器具有足够的字长（8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求量化单位 q 足够小。这样由量化引起的幅值的断续性可以忽略不记。同时，若认为采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成脉冲信号。A/D转换器可以认为采样周期为 T 的理想采样开关。作用：作用：8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO2.D/A2.D/A转换器转换器把离散的数字信号转换成连续模拟信号。D/AD/A转换的两个过程：转换的两个过程：（1）解码过程：把离散数字信号（即数码）转换为离散的 模拟信号（即脉冲序列）的过程。（2）复现过程：经过保持器将离散的模拟信号（即脉冲序列）复 现为连续的模拟信号（即连续信号）。经过转换后的信号只是一个阶梯信号，但是，当采样频率足够高时，将趋近于连续信号。作用：作用：D/A转换器可以用保持器取代。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO 可见，采样控制系统和数字控制系统只是在连续信号和离散信号的相互转换方式上各有不同，二者都可以用下面的方框图表示。数字控制器 采样控制系统和数字控制系统的分析和设计的理论是一致的。通常，将采样控制系统、数字控制系统视为离散系统的同义语。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO 离散控制系统的特点：离散控制系统的特点：1.控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律。控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律。2.可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用，可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用，经济性好。经济性好。3.离散信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高系统的抗干扰离散信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高系统的抗干扰 能力。能力。5.便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。4.在自适应控制系统中，计算机控制的引入便于实现自适应控制。在自适应控制系统中，计算机控制的引入便于实现自适应控制。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO（2）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进 行分析、设计。行分析、设计。离散控制系统的研究方法：离散控制系统的研究方法：（1）用）用Z变换法建立离散系统的数学模型，之后进行分析、综合，变换法建立离散系统的数学模型，之后进行分析、综合，具体包括：稳定性分析、稳态误差计算、时间响应及系统校具体包括：稳定性分析、稳态误差计算、时间响应及系统校 正。正。连续系统的许多方法经过适当改变后可以直接应用于离连续系统的许多方法经过适当改变后可以直接应用于离 散系统。散系统。注意：比较学习。注意：比较学习。8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念离散系统及基本概念Your site hereLOGO8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理理想采样过程：理想采样过程：采样开关的闭合时间采样开关的闭合时间 非常小，一般远小于采样周期非常小，一般远小于采样周期 T 和和系统连续部分的最大时间常数。因此，可以认为系统连续部分的最大时间常数。因此，可以认为 。这样，脉冲信号转化为理想脉冲信号，采样器就可以用一这样，脉冲信号转化为理想脉冲信号，采样器就可以用一个理想采样器来代替，采样过程为个理想采样器来代替，采样过程为理想采样过程理想采样过程。数字控制器Your site hereLOGO调制器调制器理想采样过程可以看成是一个理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程幅值调制过程。理想采样器可以看成是一个幅值调制器。理想采样器可以看成是一个幅值调制器。理想采样信号表示为：理想采样信号表示为：单边性假设：单边性假设：t 0，e(t)=0。8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列Your site hereLOGO采样信号的拉氏变换：采样信号的拉氏变换：e*(t)的拉氏变换式 E*(s)不是s的有理多项式，而是s的超越函数。E*(s)还可写成 其中e(0T)，e(T)，e(kT)，为连续信号在各采样时刻的值。8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理Your site hereLOGO例：例：已知已知 e(t)=1(t),求求E*(s)。解：因为解：因为e(kT)=1(k=0,1,2,),)E(s)是是s的有理多项式，的有理多项式，E*(s)是是s的超越函数，二者不相等。的超越函数，二者不相等。8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理Your site hereLOGO单位理想脉冲序列可以展开成复数形式的傅里叶级数式中，是采样角频率。系数于是代入有取拉氏变换8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样信号的采样信号的频谱频谱：？Your site hereLOGO 对于一个周期函数 eT(t)，可以展开为傅里叶级数，它有两种表现形式：1.三角函数形式2.指数形式其中，为基波频率；为复振幅。称为函数eT(t)的频谱频谱，反映各次谐波的振幅随频率变化的情况。Your site hereLOGO 对于一个非周期函数 e(t)，只要满足傅里叶积分条件，可以展开为各种谐波成分累积的形式：其中，E(jw)为各种频率成分谐波的复振幅 称为函数 e(t)的频谱频谱，反映各次谐波的振幅随频率变化的情况。Your site hereLOGO 如果 E*(s)没有右半s平面的极点，则可令 s=j，得到采样信号 e*(t)的傅里叶变换 上式表示了采样信号e*(t)的拉氏变换式 E*(s)与连续信号e(t)拉氏变换式E(s)之间的关系。上式即为采样信号e*(t)的频谱函数。它也反映了采样信号频谱和连续信号频谱之间的关系。它也反映了采样信号频谱和连续信号频谱之间的关系。8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样信号采样信号e*e*(t t)的拉氏变换的拉氏变换E*E*(s s)有两有两种形式的种形式的，有不同的作用。，有不同的作用。？Your site hereLOGO 设连续信号 e(t)的频谱 是孤立的连续频谱，其中 max 是该连续频谱中的最高角频率；而离散信号e*(t)的频谱 则是以s 为周期的无穷多个频谱之和，如图所示。在离散信号的频谱中，k=0的部分 T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外，还包含无限多个附加的高频频谱。8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理？Your site hereLOGO由图可见，如果s 2max 相邻两频谱互不重迭，这样就可以用如图所示特性的理想滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱，在滤波器的输出端不失真地复现原连续信号(幅值相差lT倍)。如果s 2max，则会出现相邻频谱的重叠现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理1Your site hereLOGO 如果被采样的连续信号如果被采样的连续信号 e(t)的频谱具有有限带宽，且频谱的最的频谱具有有限带宽，且频谱的最高角频率为高角频率为max，则只有采样角频率，则只有采样角频率s满足条件满足条件s 2 maxax采样后的离散信号采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。香浓采样定理是设计采样系统的一条重要依据。香农香农(Shannon)采样定理：采样定理：8.2 8.2 8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理采样过程和采样定理Your site hereLOGO 根据采样定理，在满足s 2 max的条件下，采样信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复 信号恢复是指由离散信号u*(t)恢复成连续信号uh(t)，为了讨论方便，可认为是由采样信号e*(t)恢复成原连续信号e(t)。数字控制器1Your site hereLOGO 保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复 通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的低通滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。Your site hereLOGO 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把采样时刻 kT 的采样值 e(kT)不变地保持到下一采样时刻(k+1)T。8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复1.工作原理零阶保持器零阶保持器Your site hereLOGO8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复 由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号退后T2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。2.零阶保持器输出的表达式Your site hereLOGO8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复3.零阶保持器的传递函数（1）根据传递函数的定义（2）根据单位脉冲响应 gh(t)Your site hereLOGO8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复4.零阶保持器的频率特性？Your site hereLOGO零阶保持器具有如下特性：零阶保持器具有如下特性：低通特性低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在=s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成离散控制系统的输出中存在纹波。8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复Your site hereLOGO8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复时间迟后时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)其平均响应为et(T/2),表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。相角特性相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随的增大而加大，在=s/2 时，相角迟后可达180o，从而使闭环系统的稳定性变差。Your site hereLOGO8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复一阶保持器一阶保持器 一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为由于未引进高阶差分，一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有差别。一阶保持器的单位脉冲响应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和。Your site hereLOGO 一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示，一阶保持器的频率特性绘于图8-12。图中的虚线表示零阶保持器的频率特性。8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复Your site hereLOGO一阶保持器的频率特性8.3 8.3 8.3 8.3 信号恢复信号恢复信号恢复信号恢复Your site hereLOGO 线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用拉氏变换的方法得到传递函数，来分析其动态及稳态过程。线性采样系统中包含离散信号，用差分方程来描述，同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO 上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义一个新变量，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量，则8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Z Z变换的定义变换的定义采样信号的数学表达式采样信号的拉氏变换记作：称为采样信号e*(t)的z变换Your site hereLOGO 应该指出，此式所表示的z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称 E(z)是 e(t)的z变换,指的是经过采样后 e*(t)的z变换。采样函数 e*(t)所对应的z变换是唯一的，反之亦然。但是，一个离散函数 e*(t)所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连续时间函数x(t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相同的z变换，即8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换 求离散函数的方法有很多，下面介绍其中两种。1.级数求和法级数求和法根据z变换的定义有：Z Z变换方法变换方法 只要已知连续函数在采样时刻kT(k=0,1,2,3,4,.)的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式。对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式。Your site hereLOGO例例8-3：试求函数 e(t)=1(t)的z变换。e(kt)=1 (k=0,1,2,3.)8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换解解:Your site hereLOGO例例8-4：试求函数 e(t)=e-at 的z变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换解：解：Your site hereLOGO例例8-5：试求函数 e(t)=at/T 的z变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换解：解：Your site hereLOGO 综上分析可见，通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义，这又是Z变换无穷级数表达形式的优点。Z变换本身便包含着时间概念，可由函数Z变换的无级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO 设连续函数 e(t)的拉氏变换式 E(s)为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即式中 pi 为E(s)的极点，Ai为常系数。对应的时间函数为 ，其采样序列的Z变换为8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换2.部分分式法部分分式法因此，e*(t)的Z变换为：Your site hereLOGO 利用部分分式法求Z变换时，先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s)，然后将有理分式函数 E(s)展成部分分式之和的形式，最后查表求出每一项相应的Z变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO例例8-7 ：求 的Z变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO例例8-8：求 e(t)=sint的Z变换。解解：对应8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换查z变换表有：于是有：Your site hereLOGO则 Z Z 变换的性质变换的性质8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换1.1.线性定理线性定理 若 a为常数，则 若 Z Z变换是一种线性变换。变换是一种线性变换。Your site hereLOGO若 实数位移，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中 向左平移为向左平移为超前超前，向右平移为，向右平移为延迟延迟。则有及8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换2.2.实数位移定理（平移定理）实数位移定理（平移定理）z z-n-n代表延迟环节，代表延迟环节，将采样序列延迟将采样序列延迟n n个采样周期。个采样周期。若e(0)=e(T)=e(2T)=e(n-1)T=0，z zn n代表超前环节，代表超前环节，将采样序列超前将采样序列超前n n个采样周期。实个采样周期。实际不存在。际不存在。Your site hereLOGO例例 8-10 求e(t)=1(t-nT)的z变换。例例 8-11 求e(t)=1(t+T)的z变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO若 ，则有：定理的含义是：离散函数e*(t)乘以指数序列eakT的Z变换，等于在e*(t)的Z变换表达式E(z)中，以 取代原算子z。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换3.3.复数位移定理复数位移定理Your site hereLOGO例例8-12：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换。解解：令e(t)=t，查表知根据复数位移定理，有8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO若Ze(t)=E(z)，且当tk时，r(k-n)T=0Your site hereLOGO证明证明：根据Z变换的定义令k-n=m代入上式，得考虑到m0时，r(mT)=0，故8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换例例8-158-15已知 ，求E(z)的原函数e(t)。Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换 Z反变换，是已知Z变换表达式 E(z)，求相应的离散序列 e(kT)的过程，记作离散序列仍是单边的，即当k0时，e(kT)=0。Z Z 反变换反变换Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换1）综合除法或幂级数法）综合除法或幂级数法其中ai，bj均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到按 z-1升幂排列的幂级数展开式。如果得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义可知上式中的系数 ck（k=0，1，）就是采样脉冲序列e*(t)的脉冲强度e(kT）。因此，可直接写出 e*(t)的脉冲序列表达式Your site hereLOGO求解时应注意：在进行综合除法之前，必须先将E(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算e*(t)最简便，这是这一方法优点之一。要从一组 e(kT)值中求出通项表达式，一般是比较困难的。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO例例8-16：已知 ，试用幂级数法求E(z)的z反变换。解解：所以8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换用综合除法得到Your site hereLOGO2)部分分式展开法部分分式展开法 在z变换表中，所有z变换函数E(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以应将E(z)/z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以z，即得E(z)的部分分式展开式。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换 将z变换函数E(z)展开成部分分式之和，然后查z变换表，求相应的e*(t)。Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换 设z变换函数E(z)只有n个单极点z1，z2，zn，将 E(z)/z 展开成部分分式其中，Ai是E(z)/z 在极点zi处的留数。E(z)的部分分式之和为然后逐项查Z变换表，得到E(z)对应的采样函数e*(t)为Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换例例8-17 已知 ，试用部分分式法求z反变换。Your site hereLOGO例例 8-18 设 ,试求e(kT)。解：解：8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换查z变换表得Your site hereLOGO3）反演积分法或留数法）反演积分法或留数法E(z)的幂级数展开式为8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换用zk-1乘以上式两端，得到 设为z平面上包围E(z)zk-1 全部极点的封闭曲线，沿反时针方向对上式两端同时积分，可得Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换设为z平面上以原点为圆心的圆周，令 ，则所以Your site hereLOGO8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换 根据柯西留数定理，设函数E(z)zn-1除有限个极点z1,z2,zk 外，在域G上是解析的。如果有闭合路径 包围了这些极点，则有式中 表示F(z)zk-1在极点zi 处的留数。即Your site hereLOGO若zi为单极点，则若zi为n阶重极点，则8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换提示：一个极点只对应一个留数。Your site hereLOGO例例 8-19：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO例例 8-20：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。8.4 Z8.4 Z8.4 Z8.4 Z变换变换变换变换Your site hereLOGO8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型 SISO线性定常离散系统的数学模型有：时域：差分方程复域：脉冲传递函数离散状态空间表达式。SISO线性定常连续系统的数学模型有：时域：微分方程复域：传递函数频域：频率特性，状态空间表达式。Your site hereLOGO8.5.1 差分方程 差分差分：对于采样信号来讲，指两相邻采样脉冲之间的差值。8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型 设采样序列为 e(kT)，通常为了方便，都省掉T 而直接写成 e(k)。一阶前向差分的定义为：二阶前向差分的定义为：Your site hereLOGOn 阶前向差分的定义为：8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型 e(k)的 n 阶前向差分ne(k)的展开式，是 kT 时刻以及将来的 n 个时刻，即(k+1)T,(k+2)T,(k+n)T 时刻的采样值 e(k),e(k+1),e(k+2),e(k+n)的线性组合。Your site hereLOGO一阶后向差分的定义为：二阶后向差分的定义为：8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型Your site hereLOGOn 阶后向差分的定义为：8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型 e(k)的 n 阶后向差分 ne(k),展开式，是 kT 时刻以及过去的 n 个时刻，即(k-1)T,(k-2)T,(k-n)T 时刻的采样值 e(k),e(k-1),e(k-2),e(k-n)的线性组合。Your site hereLOGO8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型 如果方程的变量除了含有 e(k)本身外，还有e(k)的各阶差分，即 e(k),2e(k),ne(k)，（或 e(k),2e(k),ne(k)），则此方程称为n阶前向（或后向）差分方程差分方程。由于 e(k)的n 阶差分可以展开成前向或后向的n个采样值的线性组合，所以n 阶差分方程是包含e(k)以及前向或后向的n个采样值的过程。Your site hereLOGOn n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程式中 ai(i=1,2,n)和 bj(j=0,1,2,m)为常数，mn。n阶后向差分方程:kT 时刻的输出c(k)，不但与kT时刻的输入r(k)有关，而且与kT时刻之前的输入r(k-1),r(k-2),r(k-m)有关，还与kT时刻之前的输出c(k-1),c(k-2),c(k-n)有关。8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型Your site hereLOGOn n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程式中 ai(i=1,2,n)和 bj(j=0,1,2,m)为常数，mn。n阶前向差分方程:8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型Your site hereLOGO差分方程的解法：差分方程的解法：1.1.迭代法迭代法2.Z2.Z变换法变换法3.3.经典法经典法8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型Your site hereLOGO1.1.迭代法迭代法 由上述差分方程，不论是前向还是后向差分方程，当给定输入序列，并且给定输出序列的 n 个初值，则可以利用递推关系一步一步地算出输出序列。8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型Your site hereLOGO例例8-228-22 已知后向差分方程为其中，r(k)=1(k)=1,(k0)；初始条件为c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型解：解：根据差分方程可得递推关系式为再根据初始条件，并令k=2,3,有 Your site hereLOGO例例8-23 8-23 将例2-22的后向差分方程转换为前向差分方程。然后用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型解：解：后向差分方程可转换为前向差分方程根据初始条件，并令k=0,1,=0,1,有 递推关系式为初始条件为c(0)=6,c(1)=25。？c(0)=6,c(1)=25。Your site hereLOGOv差分方程的全解取决于初值条件和输入r(k)，一般 n 阶系统要有n 个初始值作为解的计算条件。v递推求解是从n 个初值以后第（n+1）个采样时刻开始进行的。8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型这种方法适合编程上机运算。可见，Your site hereLOGO2.Z2.Z变换法变换法 Z 变换法求差分方程的一般步骤：（1）利用Z变换的实数位移定理对差分方程两边进行Z变换，代入相应的初始条件，化成复变量z的代数方程；（2）求出代数方程的解C(z)