异面直线所成的角的求法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

2.1.2 空空间间中直中直线线与直与直线线之之间间位置关系位置关系习题课习题课第1页问题一：异面直线判定问题一：异面直线判定第2页例例1.已已知知m、n为为异异面面直直线线，m平平面面，n平平面面，l，则则l()A与与m、n都相交都相交B与与m、n中最少一条相交中最少一条相交C与与m、n都不相交都不相交D与与m、n中一条直中一条直线线相交相交第3页例例2.已已知知点点P、Q、R、S分分别别是是正正方方体体四四条条棱棱中中点点，则则直直线线PQ与与RS是是异异面面直直线线一个一个图图是是()第4页例例3如如图图，已已知知a，b，c，baA，ca，求求证证：b与与c是是异异面面直直线线第5页异面直线证实异面直线证实:(1)反证法，假设两直线共面，随即导出反证法，假设两直线共面，随即导出矛盾，故两直线异面矛盾，故两直线异面(2)过平面外一点与平面内一点直线和平过平面外一点与平面内一点直线和平面内不过该点直线是异面直线面内不过该点直线是异面直线(异面直线异面直线判定定理判定定理)第7页问题二：求异面直线所成角问题二：求异面直线所成角第8页预备知识预备知识角知识角知识正弦定理正弦定理a=2RsinA a=2RsinAS ABC=bc sinA余弦定理余弦定理ABCbcacosA=ABCbca第9页二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：处理空间角问题包括数学思想主要是处理空间角问题包括数学思想主要是化归与化归与转化转化，即把空间角转化为平面角，进而转化为三，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形内角，然后经过解三角形求得。角形内角，然后经过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：求异面直线所成角：求异面直线所成角：作（找）证 点 算1.1.数学思想：数学思想：平移平移 结构可解三角形结构可解三角形第10页例例4 4.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,棱长为棱长为4 4 (1)(1)求直线求直线BABA1 1和和CCCC1 1所成角大小所成角大小 (2)(2)若若M M，N N分别为棱分别为棱A A1 1B B1 1和和B B1 1B B中点，中点，求直线求直线AMAM与与CNCN所成角余弦值所成角余弦值.A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD DMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=CosQNC=第11页 例例 5、在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是棱分别是棱AB，BC中点，求：中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角大小；所成角大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角大小；所成角大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角所成角大小大小.第12页异面直线异面直线 BC与与 EF所成角大小；所成角大小；第13页OGAC AC EF,OG BDBD 与与EF所成角所成角即为即为AC与与OG所成角所成角,即为即为AOG或其补角或其补角.平移法平移法补形法补形法第14页例例6空间四边形空间四边形SABC中，中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分别是分别是SA、BC中点，则异面直线中点，则异面直线EF与与SC所所成角成角900第15页S S是正是正ABCABC所在平面外一点，所在平面外一点，SA=SB=SCSA=SB=SC且且ASB=BSC=CSA=90ASB=BSC=CSA=90，M M，N N分别是分别是ABAB和和SCSC中点，求异面直线中点，求异面直线SMSM与与BNBN所成角。所成角。ASBCMNP PMABCPNPBaaa例例例例7 7 7 7.第16页三三例例8.第17页例9如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角度数为_第20页 例、10由四个全等等边三角形围成封闭几何体称为正四面体如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当选取一点作出异面直线CF、DE平行线，找出异面直线CF与DE所成角第22页解析思绪1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF，该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DMCF交AC延长线于M，连结EM.能够看出：DE与DM所成角，即为异面直线DE与CF所成角如图1.第23页思绪2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF，该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF平行线交BF于点N，连结ND，能够看出：EN与ED所成角，即为异面直线FC与ED所成角如图2.思绪3：选取平面ADE，该平面有以下两个特点：该平面包含直线DE，该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FGDE，与AE相交于点G，连结CG，能够看出：FG与FC所成角，即为异面直线CF与DE所成角如图3.第24页第25页思绪4：选取平面BCD，该平面有以下特点：该平面包含直线DE，该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CKDE与BD延长线交于点K，且DKBD，连结FK，则CF与CK所成角，即为异面直线CF与DE所成角如图4.第26页总结评述：(1)上面四个思绪共同点是：由两条异面直线中一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线平行线，从而找出两条异面直线所成角，这是立体几何“化异为共”“降维”基本思想第27页(2)求两条异面直线所成角关键是作出这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成角值得注意是：平移后相交所得角必须轻易算出，所以平移时要求选择恰当位置普通提倡像思绪2、思绪3那样作角，因为此角在几何体内部，易求第28页(3)找出异面直线所成角后求角大小普通要归到一个三角形中，经过解三角形求出角大小，如本题思绪1中可归结为解DEM.思绪2中可归结为解DEN等等，因为本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算(4)实际问题中，若含有“中点”“百分比点”常利用中位线，百分比线段进行平移第29页10A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC中点，连结AF、CE，如图所表示，求异面直线AF、CE所成角余弦值。ABCDEFG解：连结DF，取DF中点G，连结EG，CG，又E是AD中点，故EG/AF，所以GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成角。异面直线AF、CE所成角余弦值是 第30页11A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC中点，连结AF、CE，如图所表示，求异面直线AF、CE所成角余弦值。ABCDEFP另解另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成角。异面直线AF、CE所成角余弦值是 第31页练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成角；（3）求线段EF长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾第32页PABCMN12、空间四边形、空间四边形P-ABC中，中，M，N分别分别是是PB，AC中点，中点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成角所成角？E第33页ADCBA1D1C1B1变题变题:已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为a.a.O O为底面中心，为底面中心，F F为为DDDD1 1中点中点E E在在A A1 1B B1 1上上,求求AFAF与与OEOE所所成角成角OEFN第34页ADCBA1D1C1B12 2、若、若M M为为A A1 1B B1 1中点，中点，N N为为BBBB1 1中点，求中点，求异面直线异面直线AMAM与与CNCN所成角；所成角；NMFE第35页例例14、如图，在三棱锥如图，在三棱锥DABC中，中，DA 平面平面ABC，ACB=90，ABD=30，AC=BC，求异面，求异面直线直线AB 与与CD所成角余弦值。所成角余弦值。ABCD第36页四面体四面体ABCD棱长棱长均为均为a,E，F分别为分别为棱棱BC，AD中点，中点，（1）求异面直线）求异面直线CF和和BD所成角余弦值。所成角余弦值。（2）求）求CF与与DE所所成角。成角。思索题ABCDEFPQ第37页异面直线所成角求法异面直线所成角求法:典例剖析例1：如图正方体AC1，求异面直线AB1和CC1所成角大小 求异面直线AB1和A1D所成角大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析 1、做异面直线平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 解:CC1/BB1 AB1和BB1所成锐角是异面直线AB1和CC1所成角 在ABB1中，AB1和BB1所成角是450 异面直线AB1和CC1所成角是450。第38页异面直线所成角求法异面直线所成角求法:典例剖析例1：如图正方体AC1，求异面直线AB1和CC1所成角大小 求异面直线AB1和A1D所成角大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析 1、做异面直线平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 在面A1B1CD中，A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成锐角是异面直线AB1和A1D所成角 在AB1C中，AB1和CC1所成角是600 异面直线AB1和A1D所成角是600。第39页DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,P为为 BB1中点中点,如图画出下面各题中指定异面直线如图画出下面各题中指定异面直线P异面直异面直线线所成角是所成角是锐锐角或直角，当三角形内角是角或直角，当三角形内角是钝钝角角时时，表示异面直表示异面直线线所成角是它补角所成角是它补角.第40页DB1A1D1C1ACB以第三幅图为例，设正方体棱长为1，求异面直线夹角FE1EF1如图，补一个与原正方体全等并与原正方体有公共面正方体如图，补一个与原正方体全等并与原正方体有公共面正方体补形法补形法把空间图形补成熟悉或完整几何体，如正把空间图形补成熟悉或完整几何体，如正方体、长方体等，其目标在于易于发觉两方体、长方体等，其目标在于易于发觉两条异面直线关系。条异面直线关系。第41页在空间四边形S-ABC中，SABC且 SA=BC,E,F分别为SC、AB 中点，那么异面直线EF 与SA 所成角等于（）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习B第42页