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《数据、模型与决策》案例分析二
Wentworth 医疗中心案例报告

2014年01月10日
目录
一、 案例背景 3
二、 检验分析的方法 4
三、 样本数据基本分析 5
四、 同地理位置样本平均值检验 7
五、 同健康状况老人样本平均值检验 8
六、 抑郁症程度因素分析（析因实验分析） 10
七、 案例结论 12

一、案例背景
Wentworth医疗中心
作为对65岁和65岁以上的老人的长期研究的一部分，位于纽约北部地区的Wentworth医疗中心的社会学家和内科医生调查了地理因素和抑郁症之间关系，抽取了60名健康状况不错的人组成一个样本。其中20人住在佛罗里达州，20人住在纽约，20人住在北卡罗来纳州。对随机选中的每个人进行了一次测量抑郁症标准化检验，收集到数据如表1。较高的检验分数表示有较高程度的抑郁症。
研究的第二部分是考察地理位置与患有慢性病的65岁和65岁以上的老人得抑郁症之间的关系。这些慢性病诸如关节炎、高血压和心脏病等。具有这些身体状况的老人也抽取60人组成一个样本，同样20人住在佛罗里达州，20人住在纽约，20人住在北卡罗来纳州。这项研究所记录的抑郁症程度的数据如表2所。
表1 表2
佛罗里达州
纽约
北卡罗莱纳州

佛罗里达州
纽约
北卡罗莱纳州
3
8
10

13
14
10
7
11
7

12
9
12
7
9
3

17
15
15
3
7
5

17
12
18
8
8
11

20
16
12
8
7
8

21
24
14
8
8
4

16
18
17
5
4
3

14
14
8
5
13
7

13
15
14
2
10
8

17
17
16
6
6
8

12
20
18
2
8
7

9
11
17
6
12
3

12
23
19
6
8
9

15
19
15
9
6
8

16
17
13
7
8
12

15
14
14
5
5
6

13
9
11
4
7
3

10
14
12
7
7
8

11
13
13
3
8
11

17
11
11
管理报告：
1、 利用描述统计学方法汇总这两部分研究的数据。关于抑郁症的得分，你的初步观察结果是什么？
2、 对于两个数据集使用方差分析方法，在每种情况下成熟需要进行检验的假设，你的结论是什么？

3、 在适当的地方使用单个处理方法的统计推断。你的结论是什么？

二、 检验分析的方法
本案例主要对不同地区和不同健康状况的65岁和65岁以上的老人（以下文本中简称老人）进行了抑郁症程度的调查。影响抑郁症程度的可能因素包括了两个因素：地理位置和是否患有慢性病。
因此在以下检验报告中，将主要判断和区分这些可能因素对老人患抑郁症程度的影响，主要用到了三种检验方法：假设检验、单因素方差分析，以及析因实验分析。
假设检验是抽样推断中的一项重要内容，它是根据原资料做出一个总体指标是否等于某一个数值，某一随机变量是否服从某种概率分布的假设，然后利用样本资料采用一定的统计方法计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则，以较小的风险来判断估计数值与总体数值(或者估计分布与实际分布)是否存在显著差异，是否应当接受原假设的一种检验方法。
方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。它通过假定：对每个总体响应变量服从正态分布、响应变量的方差σ2对所有总体相同、观测量独立，来检验样本均值的差异性，进而推断总体均值的变异性。如果样本均值的变异性“小”，则支持原假设；如果样本均值变异性“大”，则支持备择假设。在支持备择假设情况下，再通过Fisher的最小显著性差异（LSD）方法来确定到底在哪些均值之间存在着差异。
析因实验分析允许我们同时得到两个或者两个以上因子同时存在影响时的一些统计结论。分析采用ANOVA方法，将总平方和（SST）分为各种影响因素的的平方和，进行具体分析各因素的影响。
三、样本数据基本分析
1、 样本数量分析
在做数据分析前，需要先确定样本数量是否足够。
因为该样本随机抽取不同地理位置的居住人群，且每个样本容量为20，足够大，因此可以视该数据分布为正态分布，可以使用正态分布的分析工具进行分析。
2、 样本数据假设：
令μ1 佛罗里达州健康状况不错老人患抑郁症总体均值；
μ2 纽约州健康状况不错老人患抑郁症总体均值；
μ3 北卡罗来纳州健康状况不错老人患抑郁症总体均值；
μ4 佛罗里达州慢性病老人患抑郁症总体均值；
μ5 纽约州慢性病老人患抑郁症总体均值；
μ6 北卡罗来纳州慢性病老人患抑郁症总体均值；
3、 异常数据检验
检验依据：利用z分数检验，，我们把z分数大于3或小于-3的数据视为异常值。
4、 数据检验见下页表格，通过对样本的数据分析发现，z均在3倍误差范围内。试验数据均在最大误差值及最小误差值范围内。
5、 检验结论：
样本数据数量合格，无异常。
异常数据检验表
项目
健康状况不错的老人
患有慢性病的老人
地理位置
佛罗里达
纽约
北卡罗莱纳
佛罗里达
纽约
北卡罗莱纳
1
3
8
10
13
14
10
2
7
11
7
12
9
12
3
7
9
3
17
15
15
4
3
7
5
17
12
18
5
8
8
11
20
16
12
6
8
7
8
21
24
14
7
8
8
4
16
18
17
8
5
4
3
14
14
8
9
5
13
7
13
15
14
10
2
10
8
17
17
16
11
6
6
8
12
20
18
12
2
8
7
9
11
17
13
6
12
3
12
23
19
14
6
8
9
15
19
15
15
9
6
8
16
17
13
16
7
8
12
15
14
14
17
5
5
6
13
9
11
18
4
7
3
10
14
12
19
7
7
8
11
13
13
20
3
8
11
17
11
11
平均值
5.55
8.00
7.05
14.50
15.25
13.95
标准差
2.14
2.20
2.84
3.17
4.13
2.95
允许最大值
11.97
14.60
15.56
24.01
27.63
22.79
样本最大值
9
13
12
21
24
19
允许最小值
-0.87
1.40
-1.46
4.99
2.87
5.11
样本最小值
2
4
3
9
9
8
结论
数据合格
数据合格
数据合格
数据合格
数据合格
数据合格

四、 同地理位置样本平均值检验
（1） 检验目的：
检验同地理位置的健康状况不错的老人和患有慢性病的老人，抑郁症程度是否一致。检验将对三个不同地区进行分别检验。假设同一地理位置的健康老人与患慢性病老人的抑郁症程度一致，并对此进行检验
（2） 检验依据：
检验1：H0：μ1-μ4 =0；备择假设Ha：μ1 - μ4≠0；拒绝H0，则总体均值不相等。
检验2：H0：μ2-μ5 =0；备择假设Ha：μ2 –μ5≠0；拒绝H0，则总体均值不相等。
检验3：H0：μ3-μ6 =0；备择假设Ha：μ3 –μ6≠0；拒绝H0，则总体均值不相等。
显著水平α取0.05
检验统计量 ；自由度df=
若p-面积小于显著性水平0.05，则拒绝原假设；
若临界值≥，则拒绝原假设。
（3） 检验数据

检验1
检验2
检验3
地理位置
佛罗里达州
纽约
北卡罗来纳州
老人情况
健康老人
慢性病老人
健康老人
慢性病老人
健康老人
慢性病老人
样本均值（）
5．55
14．50
8．00
15．25
7．05
13．95
样本标准差(s)
2．14
3．17
2．20
4．13
2．84
2．95
样本容量（n）
20
20
20
20
20
20
检验统计量（t）
-10.46
-6.93
-7.54
自由度（df）
33
28
37
显著水平（α）
0.05
0.05
0.05
t0。025
2.035
2.048
2.026
概率累计面积（p-）
0.00
0.00
0.00
假设判断
拒绝原假设
拒绝原假设
拒绝原假设
结论
μ1≠μ4
μ2≠μ5
μ3≠μ6
（4） 检验结论
根据样本的假设检验结果，同一地理位置的不同健康状况的老人，患抑郁症程度的均值不同。

五、 同健康状况老人样本平均值检验
（1） 检验目的
检验同健康状况老人，在不同地理位置，抑郁症程度是否一致。检验将对两种不同健康状态下的不同地区进行分别检验。采用方差分析法，假设同一健康状况下的老人，在不同地理位置患抑郁症程度一致，并对此进行检验。
（2） 检验依据：
检验1：H0：μ1＝μ2=μ3 ；备择假设Ha：μ1≠μ2 ≠μ3 ；拒绝H0，则总体均值不全相等；
检验2：H0：μ4＝μ5=μ6 ；备择假设Ha：μ4≠μ5 ≠μ6 ；拒绝H0，则总体均值不全相等；
显著水平α取0.05，
SSTR= ； MSTR= ；
SSE= ； MSE=
F=
（3） 检验数据

检验1
检验2
项目
健康状况不错的老人
患有慢性病的老人
地理位置
佛罗里达
纽约
北卡罗莱纳
佛罗里达
纽约
北卡罗莱纳
平均值
5.55
8.00
7.05
14.50
15.25
13.95
标准差
2.1392
2.2005
2.8373
3.1706
4.1279
2.9465
组数k
3
3
样本容量n
20
20
总平均值
6．8667
14．5667
MSTR
30．5167
8．5167
MSE
5．8228
11．9246
F
5．24
0．71
自由度
2/57
2/57
p-面积
0.0081
0.4939
显著性水平
0.05
0.05
假设判断
拒绝原假设
不能拒绝原假设
结论
三个州总体均值不全相等
不能说明三个州总体均值相等
（4） 由于检验1只能让我们得出三个州的总体均值不全相等的结论，我们利用LSD方法来确定总体均值之间的差异到底出现在哪两个均值之间。我们利用Fisher的LSD方法做了三个成对的两两比较。
检验1：H0：μ1＝μ2 ；Ha：μ1≠μ2 ；拒绝H0 ，则两者均值不相等。
检验2：H0：μ2＝μ3 ；Ha：μ2≠μ3 ；拒绝H0 ，则两者均值不相等。
检验3：H0：μ1＝μ3 ；Ha：μ1≠μ3 ；拒绝H0 ，则两者均值不相等。
检验统计量
LSD=
如果＞LSD，则拒绝原假设。

检验数据

健康状况不错的老人
检验
检验1
检验2
检验3

2.45
0.95
1.50
样本容量
20
20
20
显著性水平
0.05
MSE
5．8228
t值
2.002
LSD
1.5277
假设判断
拒绝原假设
不能拒绝原假设
不能拒绝原假设
结论
两个州均值不相等
不能说明两个州均值相等
不能说明两个州均值相等
（5） 检验结论
由以上检验可以得出以下结论：
健康状况不错的老人，抑郁症程度与地理位置有关系。三个州健康状况不错的老人抑郁症总体均值不全相等，通过多重比较方法得出总体均值之间的差异出现在佛罗里达州和纽约州之间。
患有慢性疾病的老人，其得抑郁症的程度不能拒绝与地理位置无关的结论。因p-值较大，可以认为和地理位置无关。

六、 抑郁症程度因素分析（析因实验分析）
（1） 计算目的
在影响抑郁症程度的因素上，可能有两个因素，即地理位置和健康状况。通过析因实验分析两个因素对抑郁症程度的影响是否显著
（2） 计算依据ANOVA析因原理
SSA=
SSB=
SSAB=
SST=
SSE=SST-SSA-SSB-SSAB
方差来源
平方和
自由度
均方
F
因子A
SSA
a-1
MSA=SSA/(a-1)
MSA/MSE
因子B
SSB
b-1
MSB=SSB/(b-1)
MSB/MSE
交互作用
SSAB
(a-1)(b-1)
MSAB=SSAB/((a-1)(b-1))
MSAB/MSE
误差
SSE
ab(r-1)
MSE=SSE/((ab(r-1))

综合
SST
nt-1

（3） 数据及结论

因子B：地理位置
佛罗里达
纽约
北卡罗莱纳
均值
因子A： 健康因素
健康状况不错
x11=5.55
x12=8.00
x13=7.05
x1.=6.87
患慢性病
x21=14.50
x22=15.25
x23=13.95
x2。=14.57
均值
x．1=10.03
x．2=11.63
x．3=10.50
=10.72

ANOVA表（a=2, b=3, r=20, nt=120）

平方和
自由度
均方
F
参照F(0.05)
SSA
1778.70
1
1778.70
200.45
3.92
SSB
54.02
2
27.01
3.04
3.08
SSAB
24.05
2
12.03
1.36
3.08
SSE
1011.60
114
8.87

SST
2868.37
119

（4）检验结论
根据检验表格得知，影响抑郁症水平的主要因素为健康因素。

七、 案例结论
根据以上检验，我们得出以下结论：
1、同地理位置情况下，健康状况不错的老人与患有慢性疾病的老人，抑郁症程度不同；
2、在健康水平不错的老人中，抑郁症程度与地理位置有关；
3、在患有慢性疾病的老人中，抑郁症程度与地理位置无关；
4、健康状况对抑郁症程度有非常显著的影响效果。

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