非次正规的非交换的非TI-子群的个数不超过21的非可解群.pdf

书书书第 卷第 期烟台大学学报（自然科学与工程版）年 月 （）文章编号：（）：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；山东省自然科学基金资助项目（，）。通信作者：史江涛（），副教授，博士，主要研究方向为有限群论及其应用。非次正规的非交换的非?子群的个数不超过 的非可解群刘文静，史江涛（烟台大学数学与信息科学学院，山东 烟台 ）摘要：为了进一步研究非?子群的个数对有限群可解性的影响，先考察非交换的非?子群，证明了如果非可解群 的非交换的非?子群的个数不超过 ，则 同构于交错群。进而考察非次正规的非交换的非?子群的个数，证明了如果非可解群 的非次正规的非交换的非?子群的个数不超过 ，则亦有 同构于。关键词：非可解群；非次正规；非交换的非?子群中图分类号：文献标志码：本文所讨论的群都是有限群。设 是群，是的子群，如果对任意 都有 或 ，则称 是 的 子群，见文献 。对于群 的任意子群 ，要么是 的 子群要么是 的非 子群。考虑非循环的非 子群的个数，文献 的定理 证明了如果 是至多含 个非循环的非 子群的非可解群，则 同构于交错群 或特殊线性群 （）。注意，非 子群一定是非正规子群但非正规子群不一定是非 子群。显然一个群的非交换的非正规子群的个数等于它的非正规的非交换子群的个数，文献 的定理 （）证明了如果 是一个至多含 个非交换的非正规子群的非可解群，则 。作为文献 的定理 和文献 的定理 （）的推广，本文的主要目的是考察群 的非交换的非 子群的个数。显然，如果 不含非交换的非 子群（即 的所有非交换群均为 子群），则由文献 的定理 知 的所有非交换子群皆正规，进而易知 是可解群。本文得到了下述结论成立，证明见第 部分。定理 设 是非可解群，如果 至多含 个非交换的非 子群，则 。注意，文献 的定理 （）是定理 的直接推论。显然任意非交换单群 的每个非 子群都是非次正规子群。但是对一般的群 ，的非次正规子群未必是非 子群且 的非 子群也未必是非次正规子群。文献 的定理 证明了如果群 的每个非交换子群皆为 子群或次正规子群，则 的每个非交换子群皆次正规。考虑群 的非次正规的非交换子群的个数，文献 的定理 （）证明了如果群 为至多含 个非次正规的非交换子群的非可解群，则 。作为文献 的定理 、文献 的定理 （）和本文定理 的进一步推广，只考虑群 的非次正规的非交换的非 子群的个数，本文证明了下述结论成立，证明见第 部分。定理 设 是非可解群，如果 至多含 个非次正规的非交换的非 子群，则 。显然下述结论是定理 的直接推论。第 期刘文静，等：非次正规的非交换的非 子群的个数不超过 的非可解群推论 设?是非可解群，如果?至多含 个非次正规的非循环的非 子群，则?。预备引理引理 设群?含一个交换的极大子群，则?可解。引理 设群?恰含?个极大子群，（）如果?，则?可解。（）设?为?的非可解群，则?（?）?，其中 （?）是?的 子群。引理 设?为恰含 个非交换真子群的非可解群，?。引理 如果群?的每个极大子群皆为 子群，则?可解。定理?的证明证明因为群?非可解，则由引理知?的每个极大子群皆非交换。断言（）：任意至多含 个非交换的非 子群的群?总可解。否则，假设?非可解。令?为极小阶反例，则?是内可解群。得?（?）是一个极小非交换单群。显然由引理 知?的每个极大子群均非交换。而且，由于?（?）是非交换单群，知?的每个极大子群都不是 子群。于是，?的每个极大子群均为非交换的非?子群。由假设，得?至多含 个极大子群。进而由引理 知，?可解，矛盾。因此，断言（）成立。于是，?恰含 个非交换的非 子群。断言（）：?的每个极大子群均可解。反证。令?为?的一个非可解的极大子群。注意?的任一非交换的非 子群亦为?的非交换的非 子群。由断言（）和假设知?恰含 个非交换的非 子群。说明?的每个极大子群均为 子群。从而由引理 知?可解，矛盾。因此，断言（）成立。于是，?是内可解群。说明?（?）是极小非交换单群。因此，?的每个极大子群均为非交换的非?子群。由假设，?至多含 个极大子群。特别地，因为?非可解，由引理 （）知?恰含 个极大子群。于是由引理 （），得?（?）?。用符号?（?）表示群?的阶?的所有素因子的集合，则?（?），。显然 （?）交换。下证 （?）。假设 （?）?，分两种情形进行讨论。（）假设?恰含 个非交换真子群。由引理，知?。于是 （?），与假设 （?）?矛盾。（）假设?的非交换真子群的个数大于 ，则存在?的极大子群?使得?含一个非交换的极大子群?。由假设，知?为?的?子群。因为 （?）交 换，说 明?不 是（?）的 子 群。于 是，?（?）?（?）是?（?）的非平凡子群，知?不正规于?。又因为?为?的?子群，则 （?）不是?的子群。于是?（?），得?（?）?。（）假设?（?）。此时有?（?）?。注意，?也是?的?子群。首 先，假 设?正 规 于?，则（?）（?（?）?，其中?，或 。因为?（?）?，则必有?且?（）。但是，?（）恰含 个非交换的非 子群，与假设矛盾。下设?不正规于?，则?是一个以?为补的 群。令 是?的 核，于是?。因为?是?的极大子群，知 和 （?）均为?的极小正规子群，得 （?）。令?是?的一个非平凡循环子群，则 （?）?是?的一个非交换子群。因为?（?）是非交换单群，显然有（?）?是?的非 子群。而且，（?）?不是?的极大子群。说明?的非交换的非 子群的个数大于 ，亦与假设矛盾。（）假设?（?）?。显然?（?）正规于?。而且，由于 （?）交换，有?（?）正规于 （?）。因此，?（?）正规于?（?）?。因为?是?的?子群，得到?正规于?。注意?不正规于?，则?（?）。说明对每个?（?）?都有?。观察到对?，或 有（?）?（?（?）?（?）?，说明?（?）是 （?）的极大子群。因为?（?）（?（?）?（?）?（?），且对每个?有（?（?）?（?（?），得 （?）（?（?）（?（?）。说明对每个?和?，或 ，有?（?）?（?）?（?（?）?。因此，（?）?，其中?，或 。令?是?的子群使得?（?）?，令?是?的子群使得?（?）?，令?是?的烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷子群使得 （）。对任意 ，易知任一 不是 的 子群且任一 不是 的极大子群。说明每个 都是交换的，其中 。令 为 的 子群满足 ，为 的 子群满足 ，为 的 子群满足 ，则有 （）（），（）（）和（）（）。因此，（）（，）（）（）。特别地，因为 （）是非交换单群，所以有 （）（）。令 是 （）的一个真子群使得 ，则 正规于 。故（）（）（）（）（）。因为对 ，或 有 （）（），则必有 且 （）。说明 的非交换的非 子群的个数大于 ，矛盾。综上，由（）和（）中的讨论知 （）。因此，。定理 的证明证明用符号 （）表示群 的非次正规的非交换的非 子群的个数。注意 非可解，我们断言必有 （）。否则，假设 （）。因为 非可解，则存在 的子群 使得 是内可解群。于是 （）是极小非交换单群。显然 的任一非次正规的非交换的非 子群也是 的非次正规的非交换的非 子群，说明 （）（）。如果 （）非交换，则 的每一个满足 （）的真子群 均为 的非次正规的非交换的非 子群。说明 （），矛盾。因此 （）交换。令 是 的一个非交换的非 子群，显然有 和 （）（）。如果在 内次正规，则 （）（）次正规于 （）。因为 （）是非交换单群，从而我们有 （）（）（）。进而得到 ，矛盾。故 的所有非交换的非 子群皆在 内非次正规。由于 （）（），知 至多含 个非交换的非 子群。由定理 得 可解，矛盾。因此，（）。由引理 知 的每个极大子群皆非交换。令 是 的任一极大子群，由上知 （）（）。如果存在 的极大子群 使得 （）（），则 的每个极大子群要么在 内次正规要么为 的 子群。进而，的每个极大子群要么正规于 要么为的 子群，说明 的所有极大子群皆为 子群。由引理 ，知 可解，矛盾。因此，对 的每个极大子群 均有 （）（）。根据上述讨论，知 可解。于是，是内可解群，从而 （）是极小非交换单群。类似上述讨论，知 的所有非交换的非 子群皆在 内非次正规。说明 恰含 个非交换的非 子群。从而由定理 ，得 。参考文献：，：，（）：，（），（）：，（）：，（）：，：王井极大子群数及其型 纯粹数学与应用数学，（）：，（）：第 期刘文静，等：非次正规的非交换的非 子群的个数不超过 的非可解群 ，（，）：，：；（责任编辑李春梅）