空心脉冲发电机的电感计算与数学模型.pdf

2023 年第 51 卷第 11 期 T 理论研究 heory Research娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型1 收稿日期:2023-07-11基金项目:国家自然科学基金项目(51307040);中国博士后科学基金项目(2014M551800)空心脉冲发电机的电感计算与数学模型娄振袖1,程 源2(1.杭州正弦电机科技有限公司,杭州 310015;2.合肥工业大学 电气与自动化工程学院,合肥 230009)摘 要:空心脉冲发电机作为一种高功率的脉冲电源,在电磁发射技术、电磁炮、激光武器等领域有着广泛的应用。空心脉冲发电机的结构、设计、控制方式以及工作特性跟常规电机有很大的不同,对该电机的研究主要以理论研究和仿真研究为主,研究手段大都采用有限元法。有限元法的优点是计算精度高,不足在于建模过程比较复杂,计算时间比较长,如果电机的参数发生变化,必须重新对电机进行建模分析。给出了空心脉冲发电机绕组电感计算的一般方法,以一种无补偿绕组空心脉冲发电机为例,建立了该电机的数学模型,根据电机的设计参数计算了电机励磁绕组和电枢绕组的自感及互感,并利用其数学模型对电机的空载以及负载工作特性进行了分析。将解析法的计算结果和有限元法的计算结果进行比较,验证了电感计算方法及数学模型的正确性。关键词:脉冲发电机;解析法;有限元法;电感;数学模型中图分类号:TM351 文献标志码:A 文章编号:1004-7018(2023)11-0001-06Inductor Compute and Mathematical Model of Air-Core Pulse AlternatorLOU Zhenxiu1,CHENG Yuan2(1.Hangzhou Sine Motor Technology Co.,Ltd.,Hangzhou 310015,China;2.School of Electrical Engineering and Automation,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)Abstract:The air-core pulse alternator,as up rated pulse power source,has been widely used in EML,coil gun and other fields.The construction,devise,control mode and working characteristics of the air-core pulse alternator are very different from those of conventional motor.The main research methods of the motor are theoretical research and simulation research,and most of the research methods are finite element method.The advantage of finite element method is that the calculation accuracy is high,but the disadvantage is that the modeling process is complicated and the calculation time is long.If the parameters of the motor change,the motor must be re-modeled and analyzed.The general method of winding inductor compute of air-core pulse alternator was given,and the mathematical model of an air-core pulse alternator without compensation winding was established.According to the design parameters of the motor,the self-inductor and mutual inductor of the excitation winding and armature winding of the motor were calculated,and the no-load and load operating characteristics of the motor were analyzed by using their mathematical models.The calculation results of analytics and finite element were compared to verify the validity of the method of inductor compute and mathematical model.Key words:pulse alternator,analytics,finite element,inductor,mathematical model0 引 言空心脉冲发电机是一种新型的脉冲功率电源,它具有高能量密度和高功率密度的特点,广泛应用于电磁发射领域1-3。世界各国学者对该电机做过多方面的深入研究,包括绕组设计、结构设计、励磁控制等4-7。由于该电机采用的是空心结构,而且其放电过程是一个瞬态过程,所以其分析计算方法与常规铁心电机有很大不同8-9。为了准确分析脉冲发电机的相关性能,大部分研究者采用的是有限元分析法,其优点是准确性高,但是建模过程复杂,尤其是三维模型,计算时间较长10-11。而且通过有限元模型很难获得电机性能跟电机参数之间的函数关系。而电机的解析模型可以对电机性能做快速准确的分析计算,其中电机电感参数的计算就是一个关键的问题。对于常规铁心电机而言,电感有主电感和漏电感之分,特别对主电感而言,它不是一个常数,需要考虑铁心饱和的影响。而空心电机的磁导率是恒定的(等于空气的磁导率),磁场本身是发散的,所以与铁心电机不同,空心电机呈现一个三维的磁场分布。从电感计算上来说,空心电机的电感是恒定不变的,即磁导率是常数,计算的难点在于需要考虑三维磁场的分布特点。文献12给出了一种T 理论研究 heory Research2023 年第 51 卷第 11 期娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型2 空心补偿脉冲发电机绕组电感的解析计算方法,但它仅仅研究了单层同心式绕组,有一定的局限性,对于多种形式的绕组并没有一个通用的电感计算方法。为了准确快速分析不同绕组形式空心脉冲发电机的相关性能,本文提出了一种空心脉冲发电机绕组电感的通用计算方法;并且以一种无补偿绕组空心脉冲发电机为例,利用电机的几何模型计算其电感参数,根据电机的数学模型分析其空载和放电特性;最后将解析法的计算结果同有限元法的计算结果进行比较,以验证电机数学模型的准确性。1 电感计算对于空心脉冲发电机而言,因为空气的磁导率是常数,不用像铁心电机一样需要考虑饱和对电机参数的影响,所以空心脉冲发电机的电感跟绕组电流的大小没有关系。在本节中,我们计算的电感都是绕组的直流电感,而低频下的交流电感和直流电感基本相等。如果要准确计算高频下绕组的交流电感,则需要考虑集肤效应和邻近效应,这是比较困难的。集肤效应和邻近效应对脉冲发电机而言是有害的,它会增加电机绕组的内电阻,从而使电机的损耗和温升增加,降低脉冲发电机的放电性能,所以从电机设计的角度就需要最大限度地削弱导体的集肤效应和邻近效应。我们在进行电机绕组设计时,会采用增加绕组并绕根数的方法尽量减小集肤效应和邻近效应的影响,并绕根数越多,削弱作用就越明显。本节在进行电感计算时均不考虑集肤效应和邻近效应对电感参数的影响。1.1 单个线圈的自感无论空心脉冲发电机采用哪种绕组形式,线圈总是组成绕组的基本单元,我们首先分析单个线圈的自感。如图 1 所示,线圈 A,B 是由 n 个导体并联而成的,电流从 A 端流出从 B 端流入。图 1 线圈 AB 截面图线圈 A,B 的电感可由下式计算:LAB=0l2lng2ABgAgB(1)式中:gA和 gB表示复合导线 A 和 B 自身的几何平均距离;gAB表示复合导线 A 和 B 之间的几何平均距离;l 表示导线长度。参考文献13,几何平均距离可由下面的方程组进行计算:sA=s1+s2+snsB=sn+1+sn+2+s2ns2Aln gA=nk=1(s2kln gk)+nk=1ni=1(sksiln gki),i ksAsBln gAB=nk=12ni=n+1(sksiln gki)(2)式中:sk表示导体 k 的截面积;gk表示面积 sk自身的几何平均距离;gki表示面积 sk和 si之间的几何平均距离。gB的计算方法同 gA的计算方法相同。式(1)计算的是单匝线圈的电感,如果线圈 AB 的匝数为 N,此时线圈 AB 的电感需要用式(1)的计算结果乘以 N2。1.2 两个线圈之间的互感如图 2 所示,线圈 A1,B1的匝数为 N1,电流从A1端流出从 B1端流入;线圈 A2,B2的匝数为 N2,电流从 A2端流出,从 B2端流入,那么这两个线圈之间的互感:M=N1N20l2lngA1B2gB1A2gA1A2gB1B2(3)式中:gA1B2,gB1A2,gA1A2,gB1B2表示相应的导线截面积sA1,sB1,sA2,sB2相互之间的几何平均距离。需要指出的是,这些导线截面既可以是单个导体,也可以是多个导体并联组成,它们相互之间几何平均距离的计算方法同式(2)中 gAB的计算方法相同。图 2 线圈 A1B1和 A2B2截面图1.3 线圈组的电感如图 3 所示,线圈组 C1由 n 个线圈串联组成,这 n 个线圈可以完全相同,也可以不尽相同。令 Lk表示线圈 kk的自感,Mki表示线圈 kk和线圈 ii之间的互感,那么线圈组 C1的自感:LC1=nk=1Lk+nk=1ni=1Mki,i k(4)图 3 线圈组 C1和 C2截面图2023 年第 51 卷第 11 期 T 理论研究 heory Research娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型3 在图 3 中,线圈组 C2由 m 个线圈串联组成,线圈组 C2自感的计算可参照式(4),线圈组 C1和 C2的互感可由下式计算:MC1C2=nk=1n+mi=n+1Mki(5)式(4)和式(5)对任意形式的绕组都是适用的,不管是单层绕组还是双层绕组,同心式绕组还是链式绕组,而且每个线圈的节距和匝数都可以不同。本节根据电机的二维模型,推导出了绕组的电感公式。这意味着计算方法是针对绕组的有效部分。因为空心电机采用的绕组形式也是同心式、链式或者叠绕组,所以其端部的形状跟传统异步或者同步电机的绕组端部形状一样。如果要分析线圈端部的磁场效应,我们可根据传统电机的绕组端部漏电感计算公式,计算出空心电机的端部电感。因此,如果需要计算空心电机三维模型的绕组电感,只需将二维模型的绕组电感计算结果与绕组端部电感计算结果相加即可。2 电机的数学模型空心脉冲发电机的结构多种多样,有的有补偿绕组,有的没有补偿绕组;绕组有单相的也有多相的;有的是有刷结构,有的是无刷结构。不同结构空心脉冲发电机的数学模型也互不相同。本节以一种无补偿绕组空心脉冲发电机为例,首先推导出电机的数学模型,然后采用第 1 节提出的电感计算方法计算电机数学模型中的相关参数。图 4 给出了一种无补偿绕组空心脉冲发电机的截面图,其中励磁绕组和电枢绕组均为单相绕组。励磁绕组采用单层同心式结构,图 4 无补偿绕组空心脉冲发电机截面图安装在转子上,极对数为 2;电枢绕组采用单层同心式结构,安装在定子上,极对数为 2;虽然没有独立的补偿绕组,但是励磁绕组在放电过程中有一定的补偿作用。脉冲发电机及两套绕组的相关参数如表 1 所示。两套绕组具体的接线方式如图 5 所示,励磁绕组采用一路串联的连接方式,相绕组串联匝数为 140,电枢绕组采用两路并联的连接方式,相绕组串联匝数为 4。表 1 电机及绕组参数参数数值参数数值定子外径 Dos/mm440定子内径 Dis/mm336转子外径 Dor/mm334电机轴向长度 L/mm490励磁绕组虚拟槽数36励磁绕组每线圈匝数10电枢绕组虚拟槽数24电枢绕组每线圈匝数1图 5 无补偿绕组空心脉冲发电机绕组接线图 令 Lf表示励磁绕组自感,La表示电枢绕组自感,M 表示励磁绕组与电枢绕组互感幅值,励磁绕组和电枢绕组极对数为p。令 表示励磁绕组轴线和电枢绕组轴线之间的夹角(机械角度),表示转子机械角速度,则无补偿绕组空心脉冲发电机的磁链方程:f=Lfif+Mcos(p)iaa=Mcos(p)if+Laia(6)则式(6)可写成:fa=LfMcos(p)Mcos(p)Laifia(7)由磁链方程式(7)可得出无补偿绕组空心脉冲发电机的电压方程:ufua=Rf00Ra+r0-pMsin(p)-pMsin(p)0()ifia+LfMcos(p)Mcos(p)Laddtifia(8)若发电机内的磁共能为 W,根据虚位移法,电磁转矩 Te应等于磁共能对转子转角 的偏导数,那么无补偿绕组空心脉冲发电机的电磁转矩:Te=W=12iTLi=12ifia0-pMsin(p)-pMsin(p)0ifia(9)电机的转矩方程:Te=TL+Jddt(10)通常当脉冲发电机处于放电工作状态时,ua=T 理论研究 heory Research2023 年第 51 卷第 11 期娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型4 0,TL=0,则根据式(8)式(10)可得无补偿绕组空心脉冲发电机的状态方程:ddtifia=LfMcos(p)Mcos(p)La-1(-Rf00Ra-0-pMsin(p)-pMsin(p)0)ifia+uf0)12Jifia0-pMsin(p)-pMsin(p)0ifia(11)式(11)即为无补偿绕组空心脉冲发电机的数学模型,只要知道模型中的电感参数,就能对脉冲发电机的相关性能进行分析计算。3 仿真分析3.1 电感计算结果我们以电枢绕组为例来计算绕组的自感。首先计算电枢绕组每条串联支路的自感,从图 4 中可以看出,线圈的截面为矩形,矩形面积自身的几何平均距离可由式(12)确定:ln gA=12ln(b2+c2)-112b2c2ln 1+c2b2()-112c2b2ln 1+b2c2()+23bctan-1cb()+23cbtan-1bc()-2512(12)式(12)中 b 和 c 为矩形的边长,图 4 中 b=12 mm,c=24 mm,则gA=8.05 mm。由图 5(b)可知,电枢绕组每条串联支路由4 个线圈串联组成,这4 个线圈共有 8个截面,它们相互之间的几何平均距离如表2 所示。表 2 电枢绕组各截面之间的几何平均距离(单位:mm)截面截面234589101128.05345.428.05490.0745.428.055133.1790.0745.428.058246.07211.85174133.178.059276.09246.07211.8517445.428.0510301.38276.09246.07211.8590.0745.428.0511321.51301.38276.09246.07133.1790.0745.428.05 接下来利用文中式(1)、式(3)、式(4)以及表2 来推导计算电枢绕组的自感。由于电枢绕组是由 2 个相同的支路并联组成,所以我们先算其中一条并联支路的自感。它由 4 个线圈串联组成,采用同心式结构,分别是 211、310、49、58,令这 4 个线圈分别为 A,B,C,D,则根据式(1)线圈A 的自感:LA=0l2lng2211g2A=0l(ln g211-ln gA)=0.722 7 H那么线圈 A,B,C,D 自感之和:LA+LB+LC+LD=0l(ln g211+ln g310+ln g49+ln g58-4ln gA)=0llng211g310g49g58g4A=2.606 5 H 根据式(3),线圈 A,B 之间的互感:MAB=0l2lng210g113g23g1110=0.370 9 H 同理可计算 MAC=0.219 6 H,MAD=0.120 3 H,MBC=0.331 2 H,MBD=0.167 6 H,MCD=0.2633 H,根据表 2 中线圈 A、B、C、D 各截面之间的几何平均距离以及式(4)可得电枢绕组其中一条并联支路的自感:L=LA+LB+LC+LD+2(MAB+MAC+MAD+MBC+MBD+MCD)=5.55 H而通过有限元模型计算的结果为 5.56 H,可以看出,解析法的计算结果同有限元法的计算结果误差很小。采用类似的方法和步骤通过式(5)可以计算出电枢绕组两条并联支路之间的互感 Ma=-1.19 H,则电枢绕组每条并联支路的总电感为 L+Ma=4.36 H,所以电枢绕组的总自感 La=(L+Ma)/2=2.18 H。通过式(3)、式(5)可计算出电枢绕组和励磁绕2023 年第 51 卷第 11 期 T 理论研究 heory Research娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型5 组之间的互感幅值 M=61.1 H,采用相同的方法,我们可以计算出励磁绕组的自感 Lf=2.27 mH。为了验证电感计算结果的准确性,作者将解析法的计算结果同有限元法的计算结果进行比较,如表 3 所示。通过表 3 可以看出,解析法所得的电感计算结果同有限元法计算结果之间的误差是非常小的,基本控制在 2%以内。为了进一步验证电机数学模型的有效性,我们采用解析法及有限元方法对无补偿绕组空心脉冲发电机空载及负载放电特性做更深入的分析。表 3 电感计算结果的比较方法电感Lf/mHLa/HM/H解析法2.27 2.18 61.1 有限元法2.30 2.20 60.6 3.2 空载分析当脉冲发电机转速为 12 000 r/min 时,给励磁绕组通入恒定的励磁电流,大小为 7 kA,由于该脉冲发电机采用转场式结构,励磁磁场与转子保持同步,这个旋转的 4 极磁场就在电枢绕组中感应出电压。图 6 为电枢绕组的空载电压波形,其中实线表示解析法的计算结果,虚线表示有限元法的计算结果。两种方法计算的电压频率均为 400 Hz,通过解析法所得的电压幅值为1 075 V,有效值为760.1 V,通过有限元法所得的电压幅值为 1 080 V,有效值为752.2 V,其中有效值的误差为 1.1%。图 6 空载电压波形从图 6 中可以看出,解析法的计算结果是没有谐波的,而有限元法的电压波形含有少量的谐波成分,我们对有限元法得到的电压波形进行谐波分析,分析结果如图 7 所示。从图 7 中可以得出,基波电压的幅值为 1 057 V,谐波电压幅值超过 20 V 的只有 600 Hz(26 V)和 4 400 Hz(20 V),其他次谐波均很小。而电机中谐波磁场的存在是产生谐波电压的根本原因,有限元法能够考虑到谐波磁场的影响,而解析法却不能,这是造成两种计算方法之间产生误差的原因。但从计算结果中也可以看出,谐波磁场对幅值和有效值计算影响不大,误差很小。图 7 空载电压谐波分析3.3 负载放电分析当脉冲发电机初始转速为 12 000 r/min,初始励磁电流为 7 kA 时,给电枢绕组接上大小为9.5 m 的阻性负载,电机就会对负载放电。图 8 给出了 3 个周期的放电电流波形。由于脉冲发电机的电枢绕组一般外接二极管,所以电枢绕组只在电压的正半周对负载放电,负载中只能流过正向电流。从图 8 中可以看出,两种方法的计算结果非常吻合,通过解析法获得的 3 个脉冲电流的峰值为 109 kA、96.8 kA 和 85.7 kA,通过有限元法获得的 3 个脉冲电流的峰值为 104 kA、92.1 kA 和 82.1 kA,误差分别为 4.8%、5.1%和 4.4%。图 8 负载放电电流波形图 9 给出了负载放电过程中的励磁绕组电流波形。励磁绕组的初始电流为 7 kA,由于励磁绕组自身的补偿作用,励磁绕组在负载放电过程中也会出现 3 个峰值,而且产生 3 个峰值的时间跟图 8 中 3个脉冲电流的峰值时间是一致的。图 9 中,通过解析法获得的 3 个励磁电流的峰值为 8.8 kA、7.8 kA和 7 kA,通过有限元法获得的 3 个励磁电流的峰值为 8.6 kA、7.7 kA 和 6.8 kA,误差分别为 2.3%、1.3%和 2.9%。图 9 励磁绕组电流波形脉冲发电机是利用惯性储能技术将电机转子中T 理论研究 heory Research2023 年第 51 卷第 11 期娄振袖等空心脉冲发电机的电感计算与数学模型6 储存的动能在很短的时间内转换成电能释放出来,巨大的放电电流必然会产生巨大的电磁转矩,电机转速在放电过程中是不断变化的。图 10 和图 11 给出了放电过程中电机的转速以及转矩随时间变化的关系曲线。图 10 中,电机转速从 12 000 r/min 开始下降,经过 3 个放电脉冲后达到最低值,通过解析法算得的最低转速为 11 805 r/min,通过有限元法算得的最低转速为 11 815 r/min,误差仅为 0.1%。从图 11 中可以看出,脉冲发电机在放电过程中的转矩为制动性质的。电磁转矩在电机放电过程中也会产生 3 个峰值转矩,通过解析法算得的峰值转矩分别为-84.5 kNm、-66.6 kNm 和-52.6 kNm,通过有限元法算得的峰值转矩分别为-80.4 kNm、-64.1 kNm 和-50.3 kNm,误差分别为 5.1%、3.9%和 4.6%。图 10 转速变化曲线图 11 转矩变化曲线4 结 语本文首先给出了空心脉冲发电机绕组电感计算的一般方法,该方法对各种形式的绕组都是适用的,只要知道绕组中每个线圈的几何尺寸以及它们之间的连接方式,就能准确计算其电感值;接着,以一种无补偿绕组空心脉冲发电机为例,建立了该电机的数学模型,并利用解析法计算了脉冲发电机励磁绕组和电枢绕组的自感以及互感值,通过与有限元法计算结果的比较,证实了电感计算方法的准确性。最后利用数学模型以及有限元模型,分析了脉冲发电机的空载及放电特性,通过比较两种方法的计算结果,可以看出数学模型的计算精度与有限元模型十分接近,从而验证了数学模型的正确性。参考文献 1 韩旻,邹晓兵,张贵新.脉冲功率技术基础M.北京:清华大学出版社,2010.2 邱爱慈.脉冲功率技术应用M.西安:陕西科学技术出版社,2016.3 王莹,孙元章,刘开培,等.脉冲功率科学与技术M.北京:北京航空航天大学出版社,2010.4 WU S,ZHAO W,WANG S,et al.Overview of pulsed alternatorsJ.IEEE Transactions on Plasma Science,2017,45(7):1078-1085.5 YE C,YANG J,LIANG X,et al.Investigation of a high-frequency pulsed alternator integrating motor and alternatorJ.IEEE Transactions on Industrial Electronics,2019,66(4):2592-2602.6 LOU Z,CHENG Y,HE Y,et al.Analytical calculation of synchronous reactances of homopolar inductor alternator J.IEEE Transactions on Plasma Science,2015,43(5):1462-1468.7 HARRY D.Fair electromagnetic launch science and technology in the united states enter a new era J.IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(1):158-164.8 YE C,YU K,XU W,et al.Optimal design and experimental research of a capacitor-charging pulsed alternator J.IEEE Transactions on Energy Conversion,2015,30(3):948-956.9 YE C,YU K,LOU Z,et al.Investigation of self-excitation and discharge processes in an air-core pulsed alternator J.IEEE Transactions on Magnetics,2010,46(1):150-154.10 SHUMEI CUI,SHAOPENG WU,JING ZHANG.Design,Simulation,and Fabrication of a Hybrid Excitation Compulsator J.IEEE Transactions on Plasma Science,2011,39(1):251-256.11 WU S,CHENG D,CUI S,optimization design and research of a hybrid excitation compulsatorJ.IEEE Transactions on Plasma Science,2013,41(5):1280-1284.12 YE C,YU K,ZHANG G,et al.The Windings inductance calculation of an air-core compulsatorJ.IEEE Transactions on Magnetics,2009,45(1):522-524.13 CHEN T.Manual of inductance calculation M.Beijing:Machinery Industry Press,1992.作者简介:娄振袖(1984),男,博士,高级工程师,研究方向为各类电机的理论分析、电磁设计、热管理和振动噪声分析。程源(1984),男,博士,副教授,研究方向为新型特种电机的运行理论与设计方法。