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考虑固有频率最大化的快速反射镜结构系统拓扑优化设计*罗俊鹏,杨开科,徐振源,马文静,向勇,陈良明（中国工程物理研究院 激光聚变研究中心，四川 绵阳621900）摘要：基于变密度拓扑优化方法和分段插值材料模型，文中提出了面向快速反射镜结构系统固有频率最大化的拓扑优化数学模型，解析推导了结构固有频率相对于伪密度设计变量的灵敏度。在不同多点固定力学条件下，开展了快反镜支架的拓扑优化设计，得到了不同的固有频率优化迭代曲线和结构拓扑构型。基于拓扑优化结果，进行了快反镜结构系统的三维模型重构，通过有限元模态分析结果可知，快反镜结构系统的固有频率得到较大的提高。关键词：模态分析；固有频率；拓扑优化；重构建模中图分类号：TH122文献标识码：A文章编号：1001-2354（2023）S2-0104-05Topology optimization design of fsm structure systemconsidering maximization of natural frequencyLUO Junpeng，YANG Kaike，XU Zhenyuan，MA Wenjing，XIANG Yong，CHEN Liangming（Research Center of Laser Fusion,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900）Abstract：Based on the variable density topology optimization method and the segmental interpolation material model,this pa-per proposes a topology optimization mathematical model for maximizing the natural frequency of FSM structure system,and analyt-ically drives the sensitivity of structural natural frequency relative to pseudo-density design variable.Under different multi-pointfixture conditions,the topology optimization design of FSM bracket was carried out,and different natural frequency optimization it-eration curves and structural topology configurations were obtained.Based on the results of topology optimization,the 3D geometricmodel reconstruction of FSM structure system is carried out.According to the results of finite element modal analysis,the naturalfrequency of FSM structure system has been greatly improved.Key words：modal analysis；natural frequency；topology optimization；reconstruction modeling*收稿日期：2023-07-12；修订日期：2023-10-20在现代光电系统中，快速反射镜（Fast Steering Mirror，FSM）系统被广泛应用于光束指向调整与控制，如：远距小目标探测、自适应光学、瞄准捕获与跟踪系统、空间激光通信等1-4。FSM系统的一个重要指标就是控制带宽，通常伺服控制系统的带宽越高，其控制精度越高，对扰动的抑制能力也就越强。对于FSM系统来说，其闭环控制带宽、动态性能及稳定性均受系统谐振特性影响，一般伺服控制带宽设计值应低于机械谐振频率。机械部件包括快反镜自身及其连接支架，连接支架作为快反镜与机体连接的重要部件，其谐振频率直接限制快反镜系统的控制带宽，同时，面向航空航天需求时，对其轻量化有着极高的要求。需通过结构优化保证快反镜系统的质量、刚度和固有频率满足使用需求。结构优化可分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化。拓扑优化以材料的空间分布为设计变量，在负载和设计区域等约束条件下寻求目标最优的材料分布形式。由于质量分布与结构固有频率的关系比较复杂，拓扑优化能更大限度地给出优化结构。早期拓扑优化常用于结构刚度最优求解，主要解决静力学问题5。在实际使役动载荷下，动力学问题显得十分重要，逐渐有学者研究基于拓扑优化的动力学设计。文献 6 通过一种均匀化方法完成了平面结构单个频率最大的拓扑结构优化设第 40 卷 增刊 22023 年 12 月Vol.40S2Dec.2023机械设计JOURNAL OF MACHINE DESIGNDOI:10.13841/ki.jxsj.2023.s2.0162023年12月计。文献 7-9 通过ESO和BESO方法求解了结构的固有频率最大化问题，其为拓扑优化的常用方法。SIMP变密度法是拓扑结构凸优化求解的最常用的方法，Du等10通过质量分布的连续插值解决了频率拓扑优化的局部模态问题。文中考虑用SIMP方法对快反镜结构系统中的连接支架进行拓扑优化设计，用分段惩罚材料插值模型解决局部模态问题。为了求解快反镜系统的模态，建立整个系统的有限元模型。根据实际使用场景约束设计区域、载荷及质量。建立固有频率拓扑优化的数学模型，使用离散伴随的方法推导1阶固有频率对设计变量的敏度。文中的方法可有效解决快反镜支架的轻量化及固有频率最大化的设计问题。1考虑固有频率的拓扑优化1.1结构模态分析方法固有频率分析是结构拓扑优化过程不可缺少的部分，同时也是评价优化结果的必要手段。对于N维自由度系统的强迫振动微分方程，可表示为：Mx+Cx+Kx=F（1）式中：M，C，K系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；x位移；F载荷。系统固有频率与外界载荷无关，应为自由振动，因此可令F=0。同时，在进行结构模态分析时，系统阻尼对结构固有频率和振型的影响可忽略不计。则式（1）可改写为：Mx+Kx=0（2）式（2）可等效为求解N阶齐次线性方程组为：(K-M)=0（3）式中：K-M系数矩阵；方程组特征值；方程组特征向量。要使该方程组有非零解，则系数矩阵的行列式|K-M=0，设该方程无重根，可解得此方程有n个不等正根i(i=1,2,n)，0i(i=1,2,n)即为结构各阶模态的自振频率，其值为i的平方根，将0i(i=1,2,n)代入式（3），可得n个线性无关的特征向量i(i=1,2,n)，i为第i阶频率对应的振型。将i组合成一个n n的方阵，即=1,2,n，被称为模态矩阵。1.2固有频率拓扑优化的数学模型文中采用 SIMP 方法求解固有频率的拓扑优化问题。基于有限元把设计域离散为若干个单元，为每个单位定义一个设计变量xi，表示单位的密度，其取值范围为0 xi 1，当xi=0时表示该单元无材料，xi=1时表示该单元具有真实材料。为了避免优化过程中设计变量更新时的不稳定现象，另外定义过滤伪密度变量xj，其取值与周围单位的密度直接相关，表达式为：xj=i Vjwjivixii Vjwjivi（4）式中：vi单元体积；Vj在单元j过滤半径r范围内的单元集合；wjiVj内的单元对单元i的加权系数，wji=r-dji；dji单位j与单元i的质心距，距离单位j越近的单元对单位i的伪密度贡献越大。结构刚度矩阵和质量矩阵需通过过滤伪密度加权求得：K=j CpK(xj)Kj（5）M=j CpM(xj)Mj（6）式中：C设计域内单元的集合；Kj实体材料的单元刚度矩阵；Mj实体材料的单元质量矩阵；pK，pM关于伪密度的惩罚函数，其可通过实际情况配置；K，M关于各单元伪密度的函数。将K和M代入式（3）可得无阻尼自由振动微分方程的离散形式：|j CpK(xj)Kj-j CpM(xj)Mj=0（7）求解式（7）可得方程组的n个特征值，将其代入式（7）即可解得与特征值对应的n个线性无关的特征向量i(i=1,2,n)，其为第i阶固有频率所对应的振型。综上所述，考虑固有频率的拓扑优化即在设计域内获取一组设计变量使得结构的固有频率最大，其数学模型可表示为：maxks.t.(K-M)=0（8）TkMk=1j Cxjvj fvv00 0.1)6 105x6j-5 106x7j(xj 0.1)（12）结构1阶固有频率的迭代演变过程如图3所示。在优化过程中，结构1阶固有频率频率先快速上升，随后进入1个上下波动的局部最优阶段。然后，固有频率又进入1个上升阶段，经过32个迭代步，发现结构1阶固有频率相对变化率小于0.5%，指标收敛，所得最终构型的1阶频率值为560 Hz，相比于初始构型的固有频率有显著提高。最终的材料分布如图4所示，对比最开始的实体设计域，材料减少了60%，整体材料分布合理，实现了快速反射镜模块和4个固定点的高效结构连接。进一步，为了研究固定连接位置数量对1阶固有频率的影响，对比了6点固定下的快反支架固有频率优化问题。其结构1阶固有频率的迭代演变过程如图 5 所示。在优化过程中，结构1阶固有频率频率先快速上升，然后，经过52个迭代步，固有频率振荡收敛于561 Hz。最终的材料分布如图6所示，增加了6点支撑结构。结果说明，在本例设计域使用材料特别有限的情况下，增加固定连接位置数量对固有频率提升效果不大。图1快反镜结构模型图2结构有限元模型05101520253035600500400300200100基频/Hz迭代步图34点固定的1阶固有频率优化曲线图44点固定最优拓扑构型-1062023年12月罗俊鹏，等：考虑固有频率最大化的快速反射镜结构系统拓扑优化设计3模型重构及模态分析验证由于拓扑优化结果是通过伪密度设计变量，以及相应的材料插值模型数值迭代计算求得。根据图6中的拓扑优化材料布局，重构建立了快反镜支架结构的三维模型，如图7所示。利用第2节的动力学模态分析方法开展几何重构后的快反镜结构系统的模态分析。前6阶振动模态如图8所示。快速反射镜结构系统的前6阶固有频率在表1中列出。可知结构的第一阶固有频率为521 Hz，与拓扑优化方案的560 Hz对比，下降了7%，这与三维几何重构过程中的建模精度和可制造性约束有关，故重构后的1阶固有频率稍有减少。相比于拓扑优化初始固有频率的135 Hz，最终优化设计方案的固有频率显著提高。01020304050600500400300200100基频/Hz迭代步图56点固定的1阶固有频率优化曲线图66点固定最优拓扑构型图73D几何重构模型（c）3阶模态（b）2阶模态（a）1阶模态（e）5阶模态（d）4阶模态-107机 械 设 计第40卷增刊24结论（1）文中建立了面向快反镜结构系统固有频率最大化的拓扑优化方法，在不同多点固定力学条件下，求解得到快速反射镜连接支架的最优拓扑结构构型，相比于初始设计方案，优化设计方案的1阶固有频率得到显著提升。（2）基于拓扑优化伪密度变量表征的材料分布方案，建立了快反镜连接支架的三维几何模型，快反镜结构系统有限元分析模型。对其展开动力学模态分析计算，发现重构后三维模型与优化设计方案的固有频率响应值误差仅为7%，验证了拓扑优化结构方案对于提升快反镜结构系统固有频率和减轻系统质量的重要作用。参考文献1 范大鹏，谭若愚.快速反射镜中柔顺传动机构应用与研究现状J.中国机械工程，2020，31（24）：2899-2909.2 王震，程雪岷.快速反射镜研究现状及未来发展 J.应用光学，2019，40（2）：373-379.3 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freely vibratin continuum struc-tures for maximum values of simple and multiple eigenfrequenciesand frequency gapsJ.Structural and Multidisciplinary Optimiza-tion，2007，34（2）：91-110.作者简介：罗俊鹏（1996），男，硕士，主要研究方向：光机结构多学科仿真与优化设计。E-mail：杨开科（通信作者）（1992），男，博士，主要研究方向：复杂结构系统多学科优化设计。E-mail：（f）6阶模态图8快反镜结构系统的前6阶振型频率/Hz阶数15212614381941 27251 43061 538表1重构结构的6阶固有频率-108