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具有中间幂等元的 r-宽大半群白雪娜，宫春梅*(西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055)摘要：讨论了 r-宽大半群上的中间幂等元及其相关幂等元的性质.借此，证明了具有弱型 A 可乘中间幂等元 u 的 r-宽大半群是自然序 r-宽大半群，其中 u 是最大幂等元.关键词：r-宽大半群；中间幂等元；自然序；弱型 A 半群中图分类号：O152.7文献标志码：A文章编号：02587971(2024)01000107格林关系在正则半群的研究中扮演着重要的角色.2011 年，郭聿琦1将格林关系推广至(*,)-格林关系，并定义了 r-宽大半群.郑娇2将适当半群和型 A 半群在 r-宽大半群中进行了推广，定义了弱适当半群和弱型 A 半群.(S,)(S,)(S,)称为偏序半群，若为半群，为偏序集且满足条件：a b ax bx和xa xb(a,b,x S).e,f E(S)ef e f偏序半群S 称为自然序的，如果关于任意，(是幂等元集上的自然序)，则.Blyth 等3-5研究了几类自然偏序正则半群的结构，McAlister 等6研究了自然序正则半群的最大幂等元.郭小江7研究了可控自然序富足半群的结构.EI-Qallali8证明了任意具有充分可乘中间幂等元的富足半群是具有最大幂等元的自然序富足半群.本文则证明了具有弱型 A 可乘中间幂等元的 r-宽大半群是具有最大幂等元的自然序 r-宽大半群.1预备知识L,aRa,L,R,aa+L,aRa,a=aa=a+a本节中，如果无特别说明，S 总表示 r-宽大半群，E 为半群 S 的幂等元集，和分别表示含元素a 的-类和-类.此外，利用 和分别表示和中的一个幂等元.显然，.a,b S引引理理 11令 S 为一半群，E 为半群 S 的幂等元集，且.则下列命题成立：(a,b)L,x,y S1ax=ay bx=by(i)当且仅当关于任意，；(a,b)R,f Efa=a fb=b(ii)当且仅当关于任意，.L,R,L L L,R R R,一般情况下，是右同余，而不是左同余.和.a S e E引引理理 21令 S 为一半群，E 为半群 S 的幂等元集，且，.则下列命题成立：(a,e)L,ae=ax,y S1ax=ay ex=ey(i)当且仅当，且关于任意，；(a,e)R,ea=af Efa=a fe=e(ii)当且仅当，且关于任意，.e,f E引引理理 31令 S 为一半群，E 为半群 S 的幂等元集，且.则下列命题成立：eL,feLf(i)当且仅当；eR,feRf(ii)当且仅当.L,R,半群 S 称为 r-宽大半群9，如果 S 中的每一-类和每一-类至少包含一个幂等元；r-宽大半群 S收稿日期：2023-04-23；接受日期：2023-09-12；网络出版日期：2023-12-05基金项目：国家自然科学基金青年基金（12001418）.作者简介：白雪娜（1997），女，陕西人，硕士生，主要研究半群代数理论.E-mail：.*通信作者：宫春梅（1981），女，河北人，博士，教授，主要研究半群代数理论.E-mail：.云南大学学报（自然科学版），2024,46（1）:17JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.20230162(a S,e E)ea=a(ea)ae=(ae)+a称为弱适当半群9，如果 S 的幂等元集 E 形成半格；r-宽大半群 S 称为拟弱适当半群9，如果 S 的幂等元集E 构成子半群，即 E 是一个带；弱适当半群 S 称为弱型 A 半群2，如果，.a,b S引引理理 42令 S 为弱适当半群，E 为 S 的幂等元集，且，则下面 4 条成立：(ab)=(ab)(ab)+,(ab+)+(i)，一般地,；R,(ab)+=(ab+)+(ii)如果是左同余，则；e E(ae)=aeR,(ea)+=ea+(iii)关于任意，;若是左同余，则；R,(ab)+a+(ab)b(iv)若是左同余，则，其中 是 E 上的自然偏序.a,b S命命题题 1令 S 为弱适当半群，且，则下面命题成立：(ab)b=(ab)a+(ab)+,(ab)+(i)，一般地，；R,a+(ab)+=(ab)+(ii)若是左同余，则.L,(ab)b=(abb)=(ab)证明证明(i)由是右同余，据引理 4 中(iii)得.R,a+(ab)+=(a+ab)+=(ab)+(ii)若是左同余，则据引理 4 中(iii)得.证毕.a Ue,f UaL,(S)eaR,(S)f定定义义 1称半群 S 的子半群 U 是 S 的(*,)-子半群，若关于任意，存在幂等元，使得和.任意(*,)-子半群都是 r-宽大半群.e EeSe引引理理 5令 S 是具有幂等元集 E 的 r-宽大半群，则关于任意，集合是 S 的一个(*,)-子半群.eSea eSef E aL,(S)fae=a=affe=fef E(eSe)aef=af=as,t S1证明证明显然，是 S 的一个子半群.令，则存在，.若，则，且.因此，使得关于任意，as=at fs=ft efs=eft.aL,ef据引理 2 可知.aR,hea eSeh E aR,(S)hea=a=haeh=hhe E(eSe)hea=ha=ag E下证.令，则存在，.若，则，且.因此，使得关于任意，ga=a gh=h ghe=he.aR,heeSe据引理 2 可知.故是 S 的(*,)-子半群.证毕.e S eSe推推论论 1若 S 是弱适当半群，则关于任意幂等元，也是弱适当半群.e S eSe推推论论 2若 S 是弱型 A 半群，则关于任意幂等元，也是弱型 A 半群.ef e=ef=fe e,f E偏序半群 S 称为自然序的，如果 S 的幂等元集 E 上的自然序(，)可扩张为S 上的偏序，等价地说，ef e f(e,f E).称 S 上的自然偏序是自然序，如果它关于 S 上的二元运算是相容的.令 S 是 r-宽大半群.在 S 上定义关系 如下：xy ey=x=yf(x,y S,e,f E).e,f E ef ef易知，关于任意，.命命题题 2令 S 为弱型 A 半群，E 为 S 的幂等元集，则关系：xy x=ey(x,y S,e E)是 S 上的自然序.证明证明显然自反性和传递性成立.下证反对称性.x,y Se,f Exyyxx=eyy=fx若关于任意，且，使得和分别表示为和，则x=ey=efx=(ef)x=y,ef其中是幂等元.这表明关系 满足反对称性.因此关系 是偏序关系.x,y,z S xyx=eyxz=(ey)z=e(yz)xzyz下证关系 的相容性.令，.据，知，因此.又因2云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷zx=z(ey)=z(z1z)ey)=z(ez1z)y=(zez1)zy,zez1zxzy易知是幂等元，则.故关系 在 S 上是相容的.e,f Eefef=e=feef令，且，则，从而，因此序关系 是自然的.证毕.x,y S xyx+y+xy推推论论 3令 S 为弱型 A 半群.则关于任意，蕴含和.x,y Se,f E证明证明关于任意，存在，xy ey=x=yf (ey)+=x+,x=(yf)ey+=x+,x=yf x+=x+y+,x=yx x+y+,xy.证毕.2中间和相关幂等元Ee Eeue=e令 S 是一个半群，E 是 S 的幂等元集.令是由 E 生成的半带.幂等元 u 称为中间幂等元，如果关于任意，有.本文将用到以下概念：uSu(i)中间幂等元 u 是弱型 A(弱适当)中间幂等元，如果是弱型 A(弱适当)半群；e,f E uefu E(ii)中间幂等元 u 是可乘中间幂等元8，如果关于任意，；uSu(iii)中间幂等元 u 是弱型 A 可乘中间幂等元，如果 u 是可乘中间幂等元，且是弱型 A 半群；e E eue=e(iv)中间幂等元 u 是强中间幂等元8，如果关于任意，；uEu(v)中间幂等元 u 是正规中间幂等元3，如果 u 是强中间幂等元，且是半格.引引理理 68若 u 是强中间幂等元，则下列几款成立：E(i)是正则半群；Eu=Eu(ii)；uE=uE(iii)；uEu=uEu(iv).Eu uEuEu由上述引理可知，及是带.a Sa+ua=a=aua引引理理 7令 S 为 r-宽大半群，u 是中间幂等元.则关于任意，有.a Sa+R,aa L,aa+ua+=a+aua=a证明证明若关于任意，满足，且，则a+ua+a=a+a a+ua=a,aaua=aa aua=a,a+ua=a=aua故.证毕.u EL,R,a S引引理理 8令 S 为 r-宽大半群，E 为幂等元集，且和分别是 S 上的右同余和左同余.则关于任意，下列几款成立：aL,uaL,ua(i)；aR,auR,a+u(ii)；uauL,uauR,ua+u(iii).证明证明因为(iii)可由(i)和(ii)得到，(i)可参考文献 8，故只需证明(ii)成立.R,e E因为是左同余，则关于任意，ea=a eau=au eaua=aua ea=a,aR,au从而.ea=a ea+=a+ea+u=a+u ea+ua=a+ua ea=a,aR,a+u从而.证毕.EuSSuuSu推推论论 4令 S 为具有中间幂等元 u 的 r-宽大半群，E 是 S 的幂等元集，是由 E 生成的半带，则，及是拟弱适当半群，且E(uS)=uE=uE,E(Su)=Eu=Eu及E(uSu)=uEu=uEu.uE uE E(uS)uEuSe=ux E(uS)e=ux=uux=ue uEE(uS)uEuE=uE=E(uS)E(Su)=Eu=EuE(uSu)=uEu=uEu证明证明显然，且是的子带.注意到，关于任意，有，则，从而.同理可证和.uSx uSy Sx=uye R,yE下证是拟弱适当半群.令，且，使得.因为 S 是 r-宽大半群，则存在和第46卷白雪娜等：具有中间幂等元的 r-宽大半群3f L,yER,ue uE=E(uS)ueR,xuSR,L,uSL,uSSuuSu.注意到是左同余，从而有和，因此的每个-类都包含幂等元.由是右同余，同理可得的每个-类都包含幂等元.故是拟弱适当半群.同理可证和是拟弱适当半群.证毕.L,R,命命题题 3令 S 为 r-宽大半群，E 为正规带，且和分别是右同余和左同余.若 u 是正规中间幂等元，则下列 2 条成立：EuR,(i)是一个左正规带，且为 S 的-类代表元集；uEL,(ii)是一个右正规带，且为 S 的-类代表元集.Eu EEueu,fu,gu Eu(e,f,g E)证明证明(i)易知.据引理 6 知是带.则关于任意，有eufugu=eufuugu=euguufu=eugufu,Eu因此是左正规带.x Se,f EeR,xR,fxR,xueR,xu ueR,uxuuxu uSuuxu,ueu E(uSu)ux+uR,uxuue E ueR,ux+uue=(ux+u)ue令，且，使得.据引理 8 知，使得，其中，且，.注意到，且.因此ueu=(ux+u)(ueu)=ueuux+u=ueux+u=ux+u.ufu=ux+uueu=ufu同理可得，因此.euRefuRfeu,fu EueufuR,euRfueuLueu=ufuLfueu=fuEuR,因为，其中，则和是与 x 有关系的幂等元，因此，且，从而.故集合是 S 的-类代表元集.同理可证(ii).证毕.uSue E(uSu)eu=eeuuSu若 u 是弱型 A 中间幂等元，则据命题 2，知 是上的自然序.若关于任意，则，且 u 是上最大幂等元.因此得到如下命题 4.(uSu,)命命题题 4若 S 是具有弱型 A 中间幂等元 u 的 r-宽大半群，则是具有最大幂等元 u 的自然序弱型 A 半群.3自然序 r-宽大半群uSuE=E(uSu)本节中，如果无特别说明，S 总表示为具有幂等元集 E 且包含弱型 A 可乘中间幂等元 u 的 r-宽大半群，是 S 的(*,)子半群，且为半格.将 EI-Qallali8在富足半群上的结果推广到 r-宽大半群.考虑T=(e,x,f)EuuSuuE|uex=x=xfu.e Eu f uEfe=ufeu uSufe E注意到，关于任意，有.事实上是根据 u 的可乘性质，.在 T 上定义如下的二元运算：(e,x,f)(g,y,h)=(e,xfgy,h).显然 T 在该运算下是封闭的，且满足结合律，则 T 为半群.引引理理 9半群 T 是 r-宽大半群.(e,a,f)Ta uSu uSu(,)a+Euea=auea+=a+证明证明令.若(是-子半群)，则存在，且蕴含.从而a+=uea+=ueua+=a+ueua+=a+ea+,(e,a+,a+)E(T)因此.(e,a+,a+)(e,a,f)=(e,a+ea,f)=(e,a,f)(g,b,h)E(T)因为，则关于任意，(g,b,h)(e,a,f)=(e,a,f)(g,bhea,f)=(e,a,f)g=e,bhea=a g=e,bhea+=a+(g,b,h)(e,a+,a+)=(e,a+,a+)，(e,a+,a+)R,(e,a,f)因此.(a,a,f)(e,a,f)L,a Eafu=aafu=a再证与有关系.存在，且蕴含，则a=afu=aufu=aufua=afa,(a,a,f)E(T)因此.(e,a,f)(a,af)=(e,afaa,f)=(e,a,f)(g,b,h),(i,c,k)T因为，则关于任意，4云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷(e,a,f)(g,b,h)=(e,a,f)(i,c,k)(e,afgb,h)=(e,afic,k)afgb=afic,h=k afgb=afic,h=k (a,a,f)(g,b,h)=(a,a,f)(i,c,k)，(e,a,f)L,(a,a,f)因此.证毕.uSurl关于 r-宽大半群 T 中元素的中间分量排列，首先考虑上的自然序(命题 2)，分别定义和，elg e=gg=u(e,g Eu);或frh f=hh=u(f,h uE).或(e,a,f),(g,b,h)T在 T 上定义，关于任意，(e,a,f)(g,b,h)elg,ab,frh.(u,u,u)引引理理 10在 r-宽大半群 T 上，关系 是自然序，其中是 T 上的最大幂等元.(e,a,f),(g,b,h),(i,c,k)T(e,a,f)(g,b,h)elg abfrhfi,hi Ef=hfi=hi fi hih=ufi,u Efi ufiu=fi fiui=fifi hiafic bhic(e,a,f)(i,c,k)(g,b,h)(i,c,k)证明证明显然，关系 在 T 上是偏序.令，则，及.因为 u 是可乘中间幂等元，蕴含，；或时，根据命题 4，有，即，.综上所述，故，因此.(i,c,k)(e,a,f)(i,c,k)(g,b,h)同理可证，故偏序 在 T 上是相容的.(e,a,f)E(T)afea=aafea=aa uSu uSua Efe Ea=(afea)+=afea+afea+=a+a+Ea+=aafea+=aa=aa E令，则蕴含.若(是 S 的(*,)-子半群)，则.又，从而.又，.因此，则.(g,b,h)E(T)b E(e,a,f)(g,b,h)若，其中，使得，即(e,a,f)(g,b,h)=(e,a,f)=(g,b,h)(e,a,f),e=g afgb=a=bheah=fab=a ab(e,a,f)(g,b,h)则，及.从而，因此，故偏序 是自然的.(u,u,u)E(T)(e,a,f)E(T)a Eau(e,a,f)(u,u,u)容易验证，关于任意，其中，根据命题 4 知，得出.证毕.:T S(e,a,f)T(e,a,f)=eaf(e,a,f),(g,b,h)T(e,a,f)=(g,b,h)eaf=gbhueaf=ugbhaf=bh eafu=gbhuea=gba=b令，使得关于任意，有.显然 是满同态.若，即，则蕴含，蕴含，因此.从而(e,a,f)=(g,b,h)ea=gb,a=b及af=bh.a,b S称 是允许同态，如果关于任意，aL,b aL,b,aR,b aR,b.(e,a,f)Taf,ea+EafL,eafR,ea+a+a E引引理理 11令 T 是 r-宽大半群，则关于任意，存在，使得，其中，.a uSua+,ue E证明证明令，则，ea+ea+=ea+uea+=euea+a+=ea+,ea+Eh E因此.关于任意，heaf=eaf heafu=eafu hea=ea hea+=ea+hea+a=ea+a hea=ea heaf=eaf,ea+R,eaf则.afL,eafa uSu a,fu E下证.令，afaf=afuaf=aafuf=af,af Es,t S1因此.关于任意，eafs=eaft ueafs=ueaft afs=aft afs=aft aafs=aaft eafs=eaft,afL,eaf则.证毕.推推论论 5同态 是允许的.(e,a,f),(g,b,h)T(e,a,f)R,(g,b,h)(e,a+,a+),(g,b+,b+)E(T)a+,b+E证明证明令，使得.据引理 9 的证明可知，其中，(e,a+,a+)R,(e,a,f),(g,b,h)R,(g,b+,b+),(e,a+,a+)R(g,b+,b+)则.因此(e,a+gb+,b+)=(g,b+,b+),(g,b+ea+,a+)=(e,a+,a+),第46卷白雪娜等：具有中间幂等元的 r-宽大半群5a+gb+=b+e=gb+ea+=a+gb+,ea+Egb+ea+=ga+=ea+ea+gb+=eb+=gb+gb+Rea+从而有，及，其中(引理 11).则，故.据引理 11 知(e,a,f)=eafR,ea+Rgb+R,gbh=(g,b,h).同理可证，(e,a,f)L,(g,b,h)(e,a,f)L,(g,b,h).证毕.(e,a,f),(g,b,h)T令 是 的核，则关于任意：(e,a,f)(g,b,h)eaf=gbh.引引理理 128每个闭环模 的所有元素属于同一 类.一个开环模 是 T 的有限子集 x,a1,a2,an,b1,b2,bn,y,x(e,x,f),y(g,y,h)ai=(ei,xi,fi)bi=(gi,yi,hi)i=1,n x=(e,x,f)y=(g,y,h)其中，及()，及，满足 x a1 b1 a2 b2 an bn y.T/T T/推推论论 6是偏序 r-宽大半群，且自然映射是保序的.T/x,y T/(x,y T)xy2na1,a2,an,b1,b2,bn T证明证明在上定义关系.若关于任意，则当且仅当存在(n 是正整数)个元素：，使得x a1 b1 a2 b2 an bn y.则存在开环模.xyyxa1,an,b1,bn,c1,ck,d1,dk T显然关系满足自反性和传递性.假设和，则存在元素，使得x a1 b1 a2 an bn y,y c1 d1 c2 ck dk x.bt=at+1btat+1i=1,nj=1,k注意到，如果关于正整数 t，则从序列中删除元素，并对其他元素重新编号.因此设和，bi,ai+1,dj,cj+1,x,a1,bn,y,y,c1,dk,x.x y x=y从而得到一个闭环模.据引理 12 得到，.因此关系是偏序关系.x,y T x yxyT/T T/关于任意，(在 T 上)蕴含(在上)，则自然映射是保序的.证毕.定定理理 1令 S 是具有弱型 A 可乘中间幂等元 u 的 r-宽大半群，则 S 是 u 为最大幂等元的自然序 r-宽大半群.x,y S x,y T x=x y=yxy证明证明关于任意，且，使得和.定义 S 上的序关系 如下：当且仅当存在开环模，使得 x a1 b1 a2an bn y.x,y Sxyyx x,y T x=x y=y显然 是自反的和传递的.若，使得和，则关于，有和，因此得到如下 2 个开环模：x a1 b1 a2an bn y,y c1 d1 c2cm dm x.x y x=yx=y据推论 6 的证明可得，即，则，从而 是反对称的.故序 是偏序关系.xy z S z T z=z1 i nai biai=biai z=bi zai z bi z令，且有.关于任意，存在，即，则和.据引理 10 的证明可知 T 中 是相容的，则 x z a1 z b1 z a2 zan z bn z y z.xzyzzxzy因此.同理可证，故序 在 S 上是相容的.6云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷e,f E e=(eu,ueu,ue)f=(fu,ufu,uf)e=ef=fef=e=fe对于序 是自然的.令，且和是 T 的幂等元，使得，.若，则ueuufu=ueufu=uefufu=uefu=ueu.ueu ufuh=(fu,ueu,uf)h E(T)h f因此.取，且，h=fuueuuf=fueuf=fufefuf=fef=e=e.e h fef(S,)k Ek=(ku,uku,uk)E(T)k=k u=(u,u,u)k u uku则，因此序 是自然序，半群是自然序半群.最后，令，则；满足，则据引理 10 得 是 T 的最大幂等元.由序在 S 上的定义，易知，因此 u 是S 上的最大幂等元.证毕.参考文献：GuoYQ,ShumKP,GongCM.On(*,)-GreensrelationsandOrtho-lc-monoidsJ.CommunicationinAlgebra,2011,39(1):5-31.DOI:10.1080/00927870903428247.1郑娇,任学明.弱适当半群的研究J.江南大学学报(自然科学版),2013,12(1):97-100.DOI:10.3969/j.is-sn.1671-7147.2013.01.019.ZhengJ,RenXM.StudiesonweaklyadequatesemigroupsJ.JournalofJiangnanUniversity(NaturalScienceEdition),2013,12(1):97-100.2BlythTS.ThestructureofcertainorderedregularsemigroupsJ.ProceedingsoftheRoyalSocietyofEdinburghSectionA:Mathematics,1976,75(3):235-257.DOI:10.1017/S0308210500017960.3BlythTS,McFaddenR.NaturallyorderedregularsemigroupswithagreatestidempotentJ.ProceedingsoftheRoyalSoci-etyofEdinburghSectionA:Mathematics,1981,91(1/2):107-122.DOI:10.1017/S0308210500012671.4BlythTS,McFaddenR.OntheconstructionofaclassofregularsemigroupsJ.JournalofAlgebra,1983,81(1):1-22.DOI:10.1016/0021-8693(83)90205-3.5McAlisterDB,McFaddenR.MaximumidempotentsinnaturallyorderedregularsemigroupsJ.ProceedingsoftheEdin-burghMathematicalSociety,1983,26(2):213-220.DOI:10.1017/S0013091500016916.6郭小江.可控自然序富足半群J.数学进展,2001,30(2):156-164.DOI:10.3969/j.issn.1000-0917.2001.02.009.GuoXJ.AmenablynaturalorderabundantsemigroupsJ.AdvancesinMathematics,2001,30(2):156-164.7El-QallaliA.AbundantsemigroupswithmedialidempotentsJ.CategoriesandGeneralAlgebraicStructureswithApplica-tions,2021,15(1):1-34.DOI:10.52547/cgasa.15.1.1.8彭娇,宫春梅.幂等元集为正规带的 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