矩阵求逆方法探究.pdf

收稿日期:2023-09-18作者简介:吕淑婷(1976)女,陕西宝鸡人,副教授,主要从事数量经济、偏微分方程数值解研究。基金项目:宁夏自然科学基金项目(2022AAC03265);宁夏哲学社会科学规划项目(20NXBYJ05);宁夏一流建设学科(数学)大学生思想政治教育研究课题(sxylxk-sz202110);宁夏一流课程建设项目矩阵求逆方法探究吕淑婷,马泽玲(北方民族大学 数学与信息科学学院,宁夏 银川 750021)摘 要:矩阵在高等代数中占有很重要的地位,是主要研究对象与研究工具,许多问题最终可化归为矩阵及其运算问题,而矩阵求逆是矩阵运算的核心问题.本文总结了矩阵求逆的常规方法:定义法、伴随矩阵法、初等变换法、待定元素法、公式法、借助计算机求逆之外,给出了几种其它的方法:矩阵分块法、利用 Hamilton-Cayley 定理、多项式法、利用 Sherman-Morrison 公式,并辅助例题加以阐述.拓宽了矩阵求逆的方法,为学习、教学提供更多参考.关键词:逆矩阵;Hamilton-Cayley 定理;多项式法;Sherman-Morrison 公式 中图分类号:O151.2 文献标志码:A 文章编号:1008-3871(2024)02-0084-07DOI:10.16752/ki.jylu.2024.02.017矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法是高等代数中的重点和难点问题,讨论矩阵的逆主要有两个问题:(1)矩阵是否可逆;(2)矩阵可逆时如何求逆。而如何求逆矩阵是非常重要的问题且有很多种方法,如利用多项式法求逆矩阵1,利用初等变换法求逆矩阵2,利用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵3,利用 Hamilton-Cayley 定理法、分块矩阵法几种求逆矩阵方法4。这些文献都针对某一种或几种方法进行了介绍,本文在上面文献的基础上比较全面的对求逆矩阵的方法进行了总结,探究了具体矩阵和抽象矩阵求逆的方法,并与计算机相结合辅助例题加以应用。1 定义法设 A 是 n 级矩阵,若存在 n 级矩阵 B 使得 AB=BA=E,则 A 可逆,且 A-1=B。(1)具体数字矩阵的求逆例 1 设 A=a1 a2 an (a1a2an0)因a1 a2 an 1a11a2 1an=1 1 1,则 A-1=1a11a2 1an。(2)抽象矩阵的求逆2024 年 3 月第 34 卷 第 2 期榆 林 学 院 学 报JOURNAL OF YULIN UNIVERSITYMar.2024Vol.34 No.2例 2 已知矩阵 A 满足 A2-A-2E=O,证明 A 可逆,并求 A-1。证明 因 A(A-E)=2E,|A|A-E|=2所以 A 可逆,且 A-1=12(A-E)。2 伴随矩阵法因为 AA=AA=|A|E(其中 A是 A 的伴随矩阵),若|A|0,则 A-1=A|A|。例 3 设 A=1 2 32 2 13 4 3(),求 A-1。解 因|A|=20,所以 A 可逆,A-1存在,A=A11 A21 A31A12 A22 A32A13 A23 A33()=2 6-4-3-6 52 2-2(),所以 A-1=A|A|=1 3-2-32-3521 1-1。3 初等变换法若 A 可逆,则 A 与 E 等价,即 A E。方法:(AE)初等行变换(EA-1);AE()初等列变换EA-1();A EE O()初等变换E PO O(),A-1=QP。因为若 A 可逆,则 A E,存在初等矩阵 P1P2Pn和 Q1Q2Qm使得 P1P2PnAQ1Q2Qm=E,即 PAQ=E,A=P-1Q-1,因此,A-1=QP。例 4 设 A=1 3 12 5 21 3 2(),求 A-1。解(AE)=1 3 1 1 0 02 5 2 0 1 01 3 2 0 0 1()初等行变换1 0 0-43-10 1 0 2-100 0 1-101(),所以 A-1-4 3-1 2-1 0-1 0 1()。同理,利用AE()初等列变换EA-1()也可求得 A-1。A EE O()=1 3 1 1 0 02 5 2 0 1 01 3 2 0 0 11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0初等行变换1 3 1 1 0 00-1 0-2 1 00 0 1-1 011 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0初等列变换1 0 0 1 0 00 1 0-2 1 00 0 1-1 0 11 3-1 0 0 00-1 0 0 0 00 0 1 0 0 0,58吕淑婷,马泽玲:矩阵求逆方法探究Q=1 3-10-1 0001(),P=1 0 0-2 1 0-1 0 1(),A-1=QP=1 3-10-1 000 1()1 0 0-2 1 0-1 0 1()=-4 3-12-1 0-1 01()。当矩阵的级数较高时,初等变换法比较有效,而且无需先判断可逆,若 A E 则可逆,求出 A-1。4 待定元素法对例 4 中的 A,|A|=-10,则 A 可逆,设 A-1=x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33(),有1 3 12 5 21 3 2()x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33()1 0 00 1 00 0 1(),由矩阵的乘法及相等得 x11=-4,x12=3,x13=-1,x21=2,x22=-1,x23=0,x31=-1,x32=0,x33=1。此法适合矩阵的级数较低或矩阵中零比较多的情况下求 A-1,否则计算比较繁琐。5 矩阵分块法将矩阵进行分块,求出分块的逆,从而确定矩阵的逆。例 5 设 D=a11 a1k 0 0ak1 akk 0 0c11 c1k b11b1rcr1 crk br1brr,若a11 a1kak1 akk0,b11 b1rbr1 brr0,求 D-1。解 对 D 分块,设 D=A OC B(),因为|D|=|A|B|0,则 D 可逆,设 D-1=X11 X12X21 X22(),所以 DD-1=A OC B()X11 X12X21 X22()=Ek OO Er(),有AX11=EkAX12=OCX11+BX21=OCX12+BX22=Er则X11=A-1X12=OX21=-B-1CA-1X22=B-1,即 D-1=A-1 O-B-1CA-1 B-1()。6 利用 Hamilton-Cayley 定理定理 1:设 A 是数域 P 上的 n 级矩阵,f()=|E-A|=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|是矩阵 A 的特征多项式,f(A)=An-(a11+a22+ann)An-1+(-1)n|A|E=O,记 f(A)=An+an-1An-1+a1A+a0E=O,则有 A(An-1+an-1An-2+a1E)=-a0E,若时 a0 0时,A-1=-1a0(An-1+an-1An-2+a1E)。68榆林学院学报 2024 年第 2 期(总第 172 期)对例 4 中的 A,|E-A|=3-82+4+1,利用 Hamilton-Cayley 定理有 f(A)=A3-8A2+4A+E=O,则 A(A2-8A+4E)=-E,A-1=-(A2-8A+4E),将 A 代入即可求得 A-1。7 公式法(1)若 A 是正交矩阵,则 A-1=AT(2)若 A 是初等矩阵,则E(i,j)-1=E(i,j);E(i,j(k)-1=E(i,j(-k);E(i(c)-1=E(i(1c)-1(c 0)。(3)若 A=a bc d(),当 ad-bc 0,A-1=1ad-bcd-b-c a()(主对角互换,副对角加负号)。(4)A11 00A22()-1=A11-1 00 A22-1();=A11 A120A22()-1=A11-1-A11A12A22 0 A22-1()0 A12A21 0()-1=0 A12-1A21-1 0();A11 0A21 A22()-1=A11-1 0-A22A21A11-1 A22-1()(其中 A11,A22都可逆)。8 多项式法1利用多项式的带余除法和互素求矩阵的逆矩阵。例 6已知 A3=2E,B=A2-2A+2E,证明 B 可逆,并求 B-1。令 f(x)=x3-2,g(x)=x2-2x+2,由辗转相除法知(f(x),g(x)=1,则存在 u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,u(x)=-110(x+1),v(x)=110(x2+3x+4),则 u(A)f(A)+v(A)g(A)=E。因为 A3=2E,f(A)=A3-2E=O,所以110(A2+3A+4E)(A2-2A+2E)=E,则 B-1=(A2-2A+2E)-1=110(A2+3A+4E)。例 7已知 n 级矩阵 A 满足 2A(A-E)=A3,求(E-A)-1。解:由 2A(A-E)=A3有 A3-2A2+2A=O,设 f(x)=x3-2x2+2x,g(x)=-x+1,由带余除法,存在 q(x)及 r 使得 x3-2x2+2x=(-x2+x-1)(-x+1)+1,因此,A3-2A2+2A=(-A2+A-E)(-A+E)+E=O,则(A2-A+E)(-A+E)=E,所以(E-A)-1=A2-A+E。9利用 Sherman-Morrison 公式5定理 2设 A Pnn可逆,U,V Pnk,且已知 A+UVT可逆,那么(A+UVT)-1=A-1-A-1U(Ek+VTA-1U)-1VA-1,此公式称为 Sherman-Morrison 公式。例 8 设矩阵 B=1 3 4 5 62 2 4 5 62 3 3 5 62 3 4 4 62 3 4 5 5,求 B-1。78吕淑婷,马泽玲:矩阵求逆方法探究 B=-1-1 -1 -1 -1+2 3 4 5 62 3 4 5 62 3 4 5 62 3 4 5 62 3 4 5 6=-1-1 -1 -1 -1+1 11 11 11 11 11 1 1 1 11 2 3 4 5()=A+UVT由公式求得 B-1=119-17 3 4 5 62-16 4 5 62 2-15 5 62 3 4-14 62 3 4 5-13。例 9 设 B=b a aa b aa a aa a b,当 ab,b+(n-1)a0 时,求 B-1。B=b-a b-a b-a b-a+a a aa a a a a a=b-a b-a b-a b-a+aaa(1 1 1)=A+UVT。由公式,求 B-1=1b-ab+(n-2)ab+(n-1)a-ab+(n-1)a -ab+(n-1)a-ab+(n-1)ab+(n-2)ab+(n-1)a -ab+(n-1)a -ab+(n-1)a-ab+(n-1)a b+(n-2)ab+(n-1)a 10 借助计算机求矩阵的逆在相应的软件下输入代码,既可求符号矩阵的逆矩阵,也可以求具体的数字矩阵的逆矩阵。设矩阵 A=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33(),当|A|0 时,A 可逆。比如此符号矩阵,在 Matlab 中输入如下代码就可以求得符号逆矩阵syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33;A=a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33 B=inv(A)此代码中只要把符号变成数字,就能得到数字矩阵的逆。11 矩阵分解求逆法思路是将矩阵分解为若干个矩阵的乘积,利用矩阵逆的性质,88榆林学院学报 2024 年第 2 期(总第 172 期)A=A1A2As(A1为可逆矩阵,i=1,2,s),则 A-1=A-1sA-1s-1A1-1。例 10 已知 A3=2E,B=A2-2A+2E,其中 E 是与 A 同级的单位矩阵,证明 B 可逆,并求 B-1。证明 因 B=A2-2A+2E=A2-2A+A3=A(A2+A-2E)=A(A+2E)(A-E)因为 A3=2E,则 A(12A2)=E,所以 A 可逆,且 A-1=12A2。由 A3=2E,有 A3+8E3=10E,则(A+2E)110(A2-2A+4E)=E所以 A+2E 可逆,且(A+2E)-1=110(A2-2A+4E)。同理,因为 A3=2E,(A-E)-1=A2+A+E,因而 B-1=120(A2+A+E)(A2-2A+4E)A2=110(A2+3A+4E)。例 11 设 A=1 0 22 1 43 2 0(),求 A-1。解 利用理论 LU 分解方法和软件都可以求其逆矩阵,理论上将矩阵 A 进行 LU 分解为左下单位三角方阵和可逆的右上三角方阵A=LU=1 0 02 1 01 0 1()1 3 10-1 00 0 1(),则 A-1=U-1L-1=-4 3-12-1 0-1 01()。在 Matlab 环境中输入如下 LU 分解代码,得到相同的结果。A=sym(1 0 2;2 1 4;3 2 0);if det(A)=0 disp(此矩阵不存在逆矩阵)else L,U=lu(A)C=inv(U)inv(L)%A 的逆矩阵end12 结 语本文比较全面的介绍了矩阵求逆的多种方法,并且通过具体的实例进行了应用和说明,从中可以看到尽管矩阵求逆的方法很多,同一个题目,如例 4,可用方法 2、3、4、10、11 等都可以求得逆矩阵,但是对于具体的题目,还需根据矩阵特点灵活运用简单适当的方法求逆。对于特殊的矩阵,比如元素中有若干个非零,通常用定义法、初等变换法、待定元素法更为方便。对于低阶矩阵也可选用伴随矩阵法,但若矩阵阶数较高,不是特殊矩阵,用伴随矩阵法则很繁琐。对于抽象矩阵求逆时可采用定义法、多项式法及利用 Hamilton-Cayley定理可求逆。另外,除了传统的方法外,在矩阵求逆中将方法 10 和方法 11 可以结合起来,一个可逆矩阵只要在 Matlab 或其它软件下输入代码直接求逆或 LU 分解求逆,也可借助计算机,利用迭代法快速准确求出矩阵的逆,更可为繁琐的人工计算结果提供验证。参考文献:98吕淑婷,马泽玲:矩阵求逆方法探究1官欢欢.多项式理论在矩阵求逆中的应用J.读与写(教育教学刊),2017,14(10):22-23.2张喜善.初等行变换与初等列变换并用求逆矩阵J.中央民族大学学报(自然科学版),2016,25(3):37-40.3张家宝.浅谈求逆矩阵的几种方法J.数学学习与研究,2020(10):4-5.4俞美华.求逆矩阵的几种方法J.科技视界,2015(31):177-178.5王萼芳,石生明.高等代数(第五版)M.北京:高等教育出版社,2020.(责任编辑:李赵兴)Method of Matrix InversionLV Shu-ting,MA Ze-ling(School of Mathematics and Information Science,North Minzu University,Yinchuan 750021,China)Abstract:Matrix plays an important role in advanced algebra and is the main research object and research tool.Many problems can be reduced to matrix and its operation,and matrix inversion is the core of matrix operation.The conventional methods of matrix inversion are summarized in this paper,including definition method,adjoint matrix method,elementary transformation method,undetermined element method,formula method and computer-aided inversion method.In addition,some other methods were given,such as matrix partition method,Hamilton-Cayley theorem,polynomial method and Sherman-Morrison formula,decomposition matrix inverse method,and auxiliary examples are elaborated.The study expandes the method of matrix inversion and provides more reference for learn-ing and teaching.Key words:inverse matrix;Hamilton-Cayley theorem;Polynomial method;Sherman-Morrison formula(上接第 83 页)Importance of Analysis to Human SocietyZHANG YU-zhuo,LI Zi-yu(China School of Banking and Finance,University of International Business and Economics,Beijing 100029,China)Abstract:Analysis is an important branch of modern mathematics.In advanced mathematics,the problems we dis-cuss,such as limit,derivative,differential and integral of function,infinite series,etc.,are all derived from Anal-ysis.The analytical science not only enjoys a high reputation in the mathematics circle,but also has many thinking modes and theoretical achievements,which greatly promote the development of the mathematics system and even the whole human civilization.This paper expounds the origin and development,the importance to human society and the research value of analysis.All these explanations can provide advice for conducting researches on it.Key words:Analysis;function;calculus;human society;significance;research value09榆林学院学报 2024 年第 2 期(总第 172 期)