直线的参数方程及其应用举例.doc

直线的参数方程及应用

yh
0h
P0h
P()
Q

问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程.
设点P()是直线上任意一点，（规定向上的
方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过
P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.
1)当与直线同方向或P0和P重合时，

yh
0h
P()
P0h
Q

P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin
2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号
P0P＝－|P0P| P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin 仍成立
设P0P＝t，t为参数，
又∵P0Q＝， ＝tcos
Q P＝ ∴ =t sin
即是所求的直线的参数方程
∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点
P()的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|
① 当t>0时，点P在点P0的上方；
② 当t＝0时，点P与点P0重合；

③ 当t<0时，点P在点P0的下方；

yh
0h
P0h
P()
特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为
④ 当t>0时，点P在点P0的右侧；
⑤ 当t＝0时，点P与点P0重合；

yh
0h
P
P0h

⑥ 当t<0时，点P在点P0的左侧；
问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一
对应关系？
我们把直线看作是实数轴，
以直线向上的方向为正方向，以定点P0
为原点，以原坐标系的单位长为单位长，
这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了
一一对应关系.
问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ，
则P1P2＝？，∣P1P2∣=？

P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣ t2－t1∣
问题
yh
0h
P1
P0h

P2
4：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的
参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？
根据直线参数方程t的几何意义，
P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线
上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|
P1P＝－P2P，即t1＝－t2, t1t2<0
一般地，若P1、P2、P3是直线上的点，
所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点
则t3＝ （∵P1P3＝－P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义，
∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ）

总结：

1、 直线参数方程的标准式
(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是
（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P()
P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点.
(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，
则P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3
则P1P2中点P3的参数为t3＝,∣P0P3∣=
(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0
2、 直线参数方程的一般式
过点P0()，斜率为的直线的参数方程是
（t为参数）
例题：
1、参数方程与普通方程的互化
例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意

义,说明∣t∣的几何意义.
解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=－
设倾斜角为，tg=－,= , cos =－, sin=
的参数方程为 （t为参数）
t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由 (1)、(2)两式平方相加,得
∣t∣＝∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长.
点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t∣的几何意义.
解：原方程组变形为 (1)代入(2)消去参数t，
得 (点斜式) 可见k=, tg=,倾斜角=
普通方程为
(1)、(2)两式平方相加,得∴∣t∣=
∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M()的有向线段的长的一半.
点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程
为即是直线方程的标准形式，(-)2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程为是非标准的形式，12＋()2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.
你会区分直线参数方程的标准形式吗？

例3：已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.
解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程
，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中
cos =, sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.
点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.
问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？
是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)
令t¢=
得到直线参数方程的标准形式 t¢的几何意义是有向线段
的数量.
2、直线非标准参数方程的标准化
一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为
(1) 当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量.
(2) 当≠1时，则t不具有上述的几何意义.
可化为 令t¢=

则可得到标准式 t¢的几何意义是有向线段的数量.
例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且
求出直线上与点M0相距为2的点的坐标.
解：直线的标准参数方程为 即（t为参数）（1）
设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,
则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式
当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（－2－，3＋）；
当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（－2＋，3－）.
点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，
而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较
容易.
例5：直线（t为参数）的倾斜角 .
解法1：消参数t,的＝－ctg20°=tg110°
解法2：化为标准形式： （－t为参数）
∴此直线的倾斜角为110°
基础知识测试1：
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线的标准参数方程.
2、 直线的方程：（t为参数），那么直线的倾斜角( )
A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线（t为参数）的斜率和倾斜角分别是( )
A) －2和arctg(－2) B) －和arctg(－)

C) －2和－arctg2 D) －和－arctg
4、 已知直线 （t为参数）上的点A、B 所对应的参数分别为t1,t2，点P分线段BA所成的比为（≠－1），则P所对应的参数是 .
5、直线的方程： （t为参数）A、B是直线上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣ B ∣t 1－t 2∣ C D ∣t 1∣+∣t 2∣
6、 已知直线： (t为参数)与直线m：交于P点，求点M(1,－5)到点P的距离.
A
B
M
P (2,0)

y
0
例6：已知直线过点P（2，0），斜率为，直线
和抛物线相交于A、B两点，
设线段AB的中点为M,求：
(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)M点的坐标；
(3)线段AB的长|AB|
解：(1)∵直线过点P（2，0），斜率为,设直线的倾斜角为，tg=
cos =, sin=∴直线的标准参数方程为（t为参数）*
∵直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，
整理得 8t2－15t－50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1＋t2＝, t1t2＝ ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM|＝ ＝
∵中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，
M点的坐标为 即 M（，）

(3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ ＝
点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.
例7：已知直线经过点P（1,－3）,倾斜角为，
(1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|；
(2)求直线和圆＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.
解：(1)∵直线经过点P（1,－3）,倾斜角为,∴直线的标准参数方
程为，即（t为参数）代入直线：
得 整理，解得t=4+2
t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几
何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+2.
(2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程
＝16，得,整理得：t2－8t+12=0，
Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12
根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆＝16的两个交点
A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,
所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.
例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与轴平行，开口向右，
直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程.
解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（，2）
方程为(y―2)2=2P(x－) (P>0) ①
∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－)
P=－8－P 代入① 得(y―2)2=2P＋2P+16 ②

将直线方程y=2+7化为标准的参数方程tg=2, 为锐角，
cos =, sin= 得（t为参数） ③
∵直线与抛物线相交于A，B, ∴将③代入②并化简得：
＝0 ，由Δ=>0,可设方程的两根为t1、t2，
又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ ＝4
=(4)2 化简，得(6－P)2=100
∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y―2)2=32＋48
点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）.
(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.
例9：已知椭圆，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，
求| F2A|·| F2B|的最大值.
解：由椭圆方程知＝2，b=,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的
参数方程为（t为参数） 代入椭圆方程整理得
（3＋sin2）t2－6 t cos－9=0 ，Δ=36cos2＋36（3＋sin2）>0
此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点
对应的参数，由韦达定理t1＋t2= t1 t2＝
根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点
A, B所对应的参数值，| F1A|＝|t1| |F1B|＝|t2|
|AB|=∣t 2－t 1∣＝ ＝
| F1A|·|F1B|＝|t1|·|t2|=|t1t2|
由椭圆的第一定义| F1A|＋| F2A|＝2＝4， | F1B|+| F2B|=2＝4
| F2A|·| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|·|F1B|
=16-4∣t 2－t 1∣+|t1t2|=16-4+

=16-
当sin2＝1时，| F2A|·| F2B|有最大值
点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解
题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1
的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|.
方法总结：利用直线的参数方程 （t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F()=0的位置关系提供了简便的方法.
一般地，把的参数方程代入圆锥曲线C：F()=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，=0,
1、(1)当Δ<0时，与C相离；(2) 当Δ＝0时，与C相切；(3) 当Δ>0时，
与C相交有两个交点；
2、 当Δ>0时，方程=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入的参数方程即可求的与C的两个交点A和B的坐标.
3、 定点P0()是弦AB中点 t1+t2=0
4、 被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；P0A·P0B= t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为；| P0M |=
基础知识测试2：
7、 直线(t为参数)与椭圆交于A、B两点，则|AB|等于( )
A 2 B C 2 D
8、直线 （t为参数）与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( )
A |t1+t2| B |t1|＋|t2| C |t1－t2| D
9、 直线(t为参数)与圆有两个交点A、B，若P点的坐
标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

10、过点P(6, )的直线(t为参数)与抛物线y2=2相交于A、B两点，
则点P到A,B距离之积为 .

基础知识测试答案
1、 2、D 3、C 4、 5、B 6、4 7、 B
8、 C 9、4 10、

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