最大公约数法与最小公倍数法解应用题.doc

最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：23=6，42和48的最大公约数是6。答：每个小组最多能有6名学生。例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。求出150和60的最大公约数：235=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。所以，这个长方形能分割成正方形：52=10（个）答：能分割成10个正方形。例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。55=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。可以截成棱长是25厘米的小木块：3713=273（块）答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。35=1545、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：3+4+5=12（段）答：每段最长15米，一共可以截成12段。例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：234-3=231（人）男146-3=143（人）女要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。 231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。21+13=34（组）答：每一组应是11人，能分成34组。例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。235=30330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。33030=11（盒）红球装11盒36030=12（盒）绿球装12盒11+12=23（盒）共装23盒答略。例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。27=14答：这个数最大是14。例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克？解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。把104、195、234分别分解质因数：104=2313195=3513234=23213104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。1.040.13=8（千克）第一筐1.950.13=15（千克）第二筐2.340.13=18（千克）第三筐答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克。例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。答略。例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。23=6它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：7+4+3+6=20（个）按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。20-4=16（个） 答略。最小公倍数法通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。22332=7236、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。7236=2 7224=3 23=6（块）答：最少需要6块瓷砖。*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。232=126、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。正方体模型的体积为：121212=1728（立方厘米）长方体木块的块数是：1728（643）=172872=24（块）答略。例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。2234=4812与16的最小公倍数是48。48+1=49（人）4950，正好符合题中全班不足50人的要求。答：这个班有49人。例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。22253=120答：至少经过120分钟又在同一时间发车。例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。2253=604、5、6的最小公倍数是60。 60-2=58（个）答：这筐鸡蛋最少有58个。*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。得一等奖的人数是：3（12015）=24（人）得二等奖的人数是：2（1208）=30（人）得三等奖的人数是：4（12012）=40（人） 答略。*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。60与9的最小公倍数是180。 18060=3（小时）由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。 答略。*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：964+1=25（个）后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。9612+1=9（个）96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。 答略。例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。7218=4（份）是甲一天做的份数7224=3（份）是乙一天做的份数（4+3）8=56份）两队8天合作的份数72-56=16（份）余下工程的份数164=4（天）甲还要做的天数 答略。*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。每一份是：234117=2（千米）静水中船的速度占总份数的：（13+9）2=11（份）船在静水中每小时行：211=22（千米）答略。*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。35=15（千米）上山用：153=5（小时） 下山用：155=3（小时）总距离总时间=平均速度 （152）（5+3）=3.75（千米）答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。第一道工序至少应分配：15050=3（人）第二道工序至少应分配：15030=5（人）第三道工序至少应分配：15025=6（人） 答略。 （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）