最大公约数法与最小公倍数法解应用题.doc

最大公约数法

通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？
解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=6，42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？
解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：2×3×5=30
150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）
答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？
解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。5×5=25
325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块：3×7×13=273（块）
答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。
例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）
解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。3×5=15
45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。
因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：
3+4+5=12（段）
答：每段最长15米，一共可以截成12段。
例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）
解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：
234-3=231（人）…………………男

146-3=143（人）…………………女
要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。 231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。
因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。21+13=34（组）
答：每一组应是11人，能分成34组。
例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）
解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。2×3×5=30330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。
330÷30=11（盒）……………红球装11盒
360÷30=12（盒）……………绿球装12盒
11+12=23（盒）……………共装23盒
答略。
例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）
解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。
看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。2×7=14
答：这个数最大是14。
例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克？
解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。
把104、195、234分别分解质因数：
104=23×13
195=3×5×13
234=2×32×13
104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。
1.04÷0.13=8（千克）………第一筐
1.95÷0.13=15（千克）………第二筐
2.34÷0.13=18（千克）………第三筐
答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克。
例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？
解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。
455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。
答略。

例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）

解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。2×3=6
它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：7+4+3+6=20（个）
按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。20-4=16（个） 答略。
最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？
解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。2×2×3×3×2=72
36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷36=2 72÷24=3 2×3=6（块）
答：最少需要6块瓷砖。
*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？
解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=12
6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：12×12×12=1728（立方厘米）
长方体木块的块数是：1728÷（6×4×3）=1728÷72=24（块）
答略。
例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？
解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。
答：这个班有49人。
例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）
解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
2×2×2×5×3=120
答：至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？

解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
2×2×5×3=604、5、6的最小公倍数是60。 60-2=58（个）
答：这筐鸡蛋最少有58个。
例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？
解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是：3×（120÷15）=24（人）
得二等奖的人数是：2×（120÷8）=30（人）
得三等奖的人数是：4×（120÷12）=40（人） 答略。
*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？
解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。 180÷60=3（小时）
由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。 答略。
*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？
解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。 答略。
例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？
解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。
72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数
72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数
（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数
72-56=16（份）…………余下工程的份数
16÷4=4（天）……………甲还要做的天数 答略。
*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？
解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是：234÷117=2（千米）
静水中船的速度占总份数的：（13+9）÷2=11（份）
船在静水中每小时行：2×11=22（千米）

答略。
*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）
解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。3×5=15（千米）
上山用：15÷3=5（小时） 下山用：15÷5=3（小时）
总距离÷总时间=平均速度 （15×2）÷（5+3）=3.75（千米）
答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？
解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配：150÷50=3（人）
第二道工序至少应分配：150÷30=5（人）
第三道工序至少应分配：150÷25=6（人） 答略。

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