二次函数的图像与字母a、b、c的关系.doc

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数学
北师大
初三

课题
二次函数y=a+bx+c系数符号的确定方法

课次

教学目标
掌握二次函数中字母 a、b、c三者与图象之间的关系。
教学策略
教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a、b、c三者之间的关系。

教学过程：
一、知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；
没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．

二、基础练习
1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　D　）
A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0

2、 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；
②abc＞0；③2a+b=0； ④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（　D）
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤

3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（　C　）1\2\3
A、1 B、2 C、3 D、4

4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B）
A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C、2a-b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小

5、 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0，②-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（A4　）
A、1 B、2 C、3 D、4

6、 （如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（D2）
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个

7、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C　）
A、b2-4ac＜0 B、abc＜0 C、 -＜-1 D、a-b+c＜0

8、 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0
②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（B）1/2/5
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

9、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D　）
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限

10、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（D）
A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0
C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0 D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0

11、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B）
A、ac＜0 B、a-b+c＞0
C、b=-4a D、关于x的方程a+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5

12、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（A）
A、a＜0，b＜0，c＞0，-4ac＞0 B、a＜0，b＜0，c＜0，-4ac＞0
C、a＜0，b＞0，c＞0，-4ac＜0 D、a＞0，b＜0，c＞0，-4ac＞0
13、已知二次函数y=+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B）
A、abc＞0 B、b＞a+c C、2a-b=0 D、-4ac＜0

14、已知二次函数y=+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；
④方程+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C）
A、②③ B、②④ C、①③ D、①④

15、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C）
A、ac＜0 B、x＞1时，y随x的增大而增大
C、a+b+c＞0 D、方程ax2+bx+c=0的根是=-1，=3

16、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（B）
A、ab＜0 B、ac＜0
C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小
D、二次函数y=+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程+bx+c=0的根

17、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（D　）
A、a＞0 B、c＜0 C、b2-4ac＜0 D、a+b+c＞0

18、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（　C）个．1/2/3
A、1 B、2 C、3 D、4

三、能力练习

1.已知二次函数的图象如图 l－2－2所示，则a、b、c满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0

2.已知二次函数 (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定有（ ）
A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0

3.二次函数的图象如图1－2－10，则点（b，）在（ ）
A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．若二次函数的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）

第4题图

5．二次函数的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）
A．ab＜0 B、bc＜0 C．a+b＋c＞0 D．a－b十c＜0

四、知识小结：

函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

例题．已知抛物线过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l）．
（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？

五、中考真题回顾：
（09佛山）
19．（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；
（2）在同一个坐标系中画出的图象向上平移两个单位后的图象；
x
y
O
第19题图
（3）直接写出平移后的图象的解析式.
注：图中小正方形网格的边长为1.

（1）画图（略）
注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，
满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；
（2）画图、写解析式（略）
注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．

（11·佛山）

21.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，－1）、B（0，2）、C（1，3）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图像；
【答案】解：（1）根据题意，得 ………………2分
解得a＝－1，b＝2，c＝2………………4分
所以二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋2………………5分
（2）二次函数的图象如图………………8分
给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）

（12佛山）
22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0

②有序数对、、满足；
③已知函数的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出二次函数的三个性质．

解析：（1）
方法一：由可得：C=3，，，所以，，C=3，
所以二次函数解析式为：
方法二：由②可得：，，，
解之得：，，C=3，
所以二次函数解析式为：
方法三：由③可得：C=3，，，解之得：，，C=3，
所以二次函数解析式为：
（三种选其一即可）

（2）1、对称轴为，
2、开口向下
3、与轴有2个交点
4、交 轴正半轴
考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像

（2013•佛山）
24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即
可得解．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，解得，
所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；
（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．