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2023 年 6 月第 39 卷 第 2 期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsJun.2023Vol.39 No.2pq维顶点融合范畴的扩张周广强,董井成(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京210044)摘要：研究了pq(p,q为互不相同的素数)维顶点融合范畴的G-扩张,其中G是有限群,确定出它的所有可能的范畴型,并重点研究了G是n阶循环群a和3次对称群S3时各分支中单对象的分布情况.最后,在G-扩张具有辫子结构时给出了它的完全分类.关键词：融合范畴;Frobenius-Perron维数;扩张;辫子结构中图分类号：O153文献标识码：A文章编号：1008-5513(2023)02-0288-06DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2023.02.0081 引引引言言言融合范畴是一类半单的有限张量范畴,在量子群,共形场,量子计算等领域具有广泛的运用价值,详细介绍请参见文献 1-5.扩张是利用已知融合范畴构造新融合范畴的重要工具之一,已有许多文献对其进行了研究,如文献 6-7.但是,要研究融合范畴的任意扩张是一件很困难的事,因为这至少要包含有限群的分类.因此,目前看来一个可行的方案就是研究简单融合范畴在某一给定有限群下的扩张.本文以 pq 维顶点融合范畴为基础,考察它的任意一个扩张,给出了扩张的所有可能的范畴型,并重点研究了分次群是循环群和对称群 S3的情形.最后,在扩张具有辫子结构时给出了它的完全分类.本文中所涉及的有关融合范畴的基础理论和符号请参考文献 8,所讨论的融合范畴都定义在一个特征为零的代数闭域上.2 基基基础础础知知知识识识设 C 是一个融合范畴,Irr(C)=1=X1,Xn 是 C 中所有非同构的单对象集合,K(C)是 C 的 Grothendieck 环.任取 Irr(C)中元素 Xi,Xj,则有XiXj=nk=1NkijXk,收稿日期：2021-11-02.接收日期：2022-02-15.基金项目：江苏省自然科学基金(BK20201390).作者简介：董井成(1978-),博士,教授,研究方向：融合范畴与 Hopf 代数.第 2 期董井成 等:pq 维顶点融合范畴的扩张289其中 Nkij称为 Xk在 XiXj中的重数.令 Ni为矩阵(Nkij)jk,即 Xi左乘 Irr(C)中的每一个元素所得重数作为矩阵的每一列得到的 n 阶方阵.定义 Xi的 Frobenius-Perron(FP)维数 FPdim(X)为 Ni的最大特征值,融合范畴 C 的 FP 维数为其所有单对象的 FP 维数的平方和.由文献 9,定理 8.6 知,此维数可诱导出一个环同态 FPdim:K(C)R.如果单对象 X 与其对偶 X的张量积等于单位对象 1,则称 X 是可逆的.实际上,易证一个单对象是可逆的充分必要条件是它的 FP 维数是 1.如果融合范畴中每个单对象都是可逆的,则称其是顶点融合范畴.由文献 10 知顶点融合范畴已被完全分类.用 Cpt表示 C 中最大的顶点融合子范畴,它是 C 中全体可逆单对象生成的融合子范畴.设 G 为一有限群.称融合范畴 C 具有一个 G-分次,如果有一个满的 abelian 子范畴的直和分解 C=gGCg并有映射 :Cg Cg1,:CgCh Cgh,其中 是对偶函子,为张量函子.如果分次中的任意分支 Cg都不为零,则称 gGCg是 C 的一个忠实的 G-分次.此时,称 C 为 Ce的 G-扩张,其中 Ce是单位元 e G 所对应的平凡分支.定定定理理理2.19如果 C=gGCg是一个忠实的 G-分次,那么对于 g,h G,有FPdim(Cg)=FPdim(Ch),FPdim(C)=|G|FPdim(Ce).令 Cad是由所有出现在 X X中的单对象生成的子范畴,其中 X 取遍 C 中的所有单对象.由文献 8,推论 3.7,C 有一个范分次 C=gU(C)Cg,其中 Ce=Cad,U(C)称为 C 的泛分次群.令C0=C,C1=Cad,C2=(C1)ad,Ci=(Ci1)ad,如果存在某个正整数 n,使得 Cn=Vec 是一个平凡的融合范畴,则称 C 是幂零的融合范畴.定定定理理理2.211设 C 是幂零的融合范畴,则对于任意的单对象 X 都有 FPdim(X)2整除 FPdim(Cad).推推推论论论2.1设 D 为 pq(p,q 为素数且 p q)维顶点融合范畴,C 为 D 的扩张,则 C 中单对象的维数只可能为 1,p,q 或pq.证证证明明明易知 Dad=Vec 是一个平凡融合范畴,故 C 为一个幂零融合范畴.由定理 2.2 知,FPdim(X)2整除 D 的维数,故得结论.由文献 12,有如下的定义.如果 FPdim(C)是整数,则称融合范畴 C 是弱整的;如果 C 中每个单对象的维数都是整数,则称融合范畴 C 是整的;如果 C 是弱整的,但 C中至少有一个单对象的维数不是整数,则称融合范畴 C 是严格弱整的.因此推论 2.1 中的融合范畴 C 是严格弱整的.3 范范范畴畴畴型型型在下文中,恒设 D 为 pq(p,q 为素数且 p q)维顶点融合范畴,C=gGCg为 D的任一扩张.290纯粹数学与应用数学第 39 卷引引引理理理3.1C=gGCg的任一分支 Cg中单对象的 FP 维数都相同.特别地,Cg中单对象个数和维数的可能性如下:pq 个 1 维单对象;p 个q 维单对象;q 个p 维单对象;1 个pq 维单对象.证证证明明明假设 Cg中存在维数不同的两个单对象 X 和 Y,则 Y 的对偶对象 Y在分支 Cg1中.于是,XY在分支 Ce中,从而 XY可以表示成 1 维单对象的直和,这意味着 FPdim(XY)是一个整数.另外一方面,由推论 2.1 和 FPdim(X)=FPdim(Y)知 FPdim(X Y)=FPdim(X)FPdim(Y)应该是个无理数,这就得出了矛盾.最后,由 FPdim(Cg)=FPdim(Ce)=pq 可得四种可能性.定定定义义义3.1如果一个融合范畴中任意两个非可逆单对象的张量积都是可逆单对象的直和,则称其为广义 Tambara-Yamagami 范畴.定定定义义义3.2设 1=t0 t1 ts是一组正实数,n0,n1,ns是一组正整数.如果对任意的 i,di维非同构单对象的个数是 ni,则称融合范畴 C 具有范畴型(t0,n0;t1,n1;ts,ns).定定定理理理3.1融合范畴 C=gGCg具有以下五种可能的范畴型.(1)(1,np;p,n),(2)(1,nq;q,n),(3)(1,pq;pq,1),(4)(1,npq;p,nq;q,pn;pq,n),(5)(1,|G|pq).特别地,如果 C 具有前三种范畴型,则 C 是广义 Tambara-Yamagami 范畴.证证证明明明由文献 11,定理 3.10 知,如果融合范畴 C 不具有最后一种范畴型,则其具有一个新的分次 C=hZ2Z2Ch,其中分支 Ch中单对象的 FP 维数具有统一形式 Znh,nh是一个固定的不含平方因子的自然数.特别地,ne=1,即 Ce中单对象的维数都是整数.于是,C 具有以下两种分次结构:(1)C=C0 C1,其中 C0只含有一维单对象,C1只含有p 维,q 维或pq 维单对象.(2)C=C1 Ca Cb Cab,其中 Z2 Z2=1,a,b,ab,C1只含有一维单对象,Ca只含有p 维单对象,Cb只含有q 维单对象,Cab只含有pq 维单对象.又由于每个分支的 FP 维数都相等,所以情形(1)时有范畴型(1,np;p,n),(1,nq;q,n)或(1,pq;pq,1);情形(2)时有范畴型(1,npq;p,nq;q,pn;pq,n).设 C 具有范畴型(1,np;p,n),X,Y 是两个p 维单对象,则 X 和 Y 都在 C1中,于是 X Y 在 C0中,从而是可逆单对象的直和.这就证明了 C 是广义 Tambara-Yamagami 范畴.当 C 具有另两种范畴型时的证明方法类似.注注注3.1(1)在上述定理中,当 C 具有第四种范畴型时,C 不再是广义 Tambara-Yamagami 范畴.这是因为一个p 维单对象和一个q 维单对象的张量积一定是一个pq 维的单对象.但是,此时的 C 可以表示为具有第一种范畴型的融合范畴和具有第二种范畴型的融合范畴的 Deligne 张量积.有关 Deligne 张量积的知识请参考文献 8,4.6 节.因此,上述定理中的四种可能性都是可以实现的.第 2 期董井成 等:pq 维顶点融合范畴的扩张291(2)如果群 G 的阶|G|是奇数,则 p=2 且 C 具有第二种范畴型.事实上,如果 C具有第一种范畴型,则由 FPdim(C)=|G|pq=2np 知|G|是偶数.当 C 具有第三,四种范畴型时类似可证.再考虑 C 具有第二种范畴型的情形.此时有|G|p=2n,于是 p=2.4 特特特殊殊殊分分分次次次群群群:循循循环环环群群群和和和对对对称称称群群群 S3在本节中,考虑分次群是循环群 a 和 3 次对称群 S3的情形下,C 的各个分支中单对象的维数.命命命题题题4.1如果 G=a 是一个阶为 n 的循环群,则 C 或者是顶点融合范畴,或者具有定理 3.1 中的前三种范畴型.如果是后一种情况,则所有可逆单对象在 Ca2i中,所有非可逆单对象在 Ca2i1中,1 i n2.特别地,如果 C 具有定理 3.1 中的前三种范畴型,则 n 是偶数.证证证明明明分两种情况讨论.首先,假设分支 Ca含有 pq 个一维单对象,则由Ca Ca|zi Cai知 Cai中含有一维单对象.再由引理 3.1 知,Cai中所有单对象都是一维的.这就证明了 C 是顶点融合范畴.其次,假设分支 Ca含有t 维单对象,其中 t=p,q 或 pq.任取 Ca中两个单对象 X 和 Y,则 X Y 在 Ca2中,并且 FPdim(X Y)=t 是整数,因此 X Y 是一维单对象的直和,从而 Ca2中都是一维单对象.再由 Ca Ca2 Ca3和t 维单对象与一维单对象的张量积依然是t 维单对象这一事实可知 Ca3只含有t 维单对象.依此类推,可得 Ca2i1只含有t 维单对象,Ca2i只含有 1 维单对象.于是 C 具有定理 3.1 中的前三种范畴型.最后,由 Can=Ce含有 1 维单对象知 n 是偶数.对称群 S3可以抽象地表示为S3=a,b|a3=e,b2=e,(ab)2=e=e,a,a2,b,ab,a2b.由于 Ce,Ca,Ca2中单对象在张量积与直和运算下封闭,故 E=Ce Ca Ca2是 C 的一个融合子范畴.特别地,E 是 D 的扩张.由命题 4.1,E 是顶点融合范畴.命命命题题题4.2如果 G=S3是一个 3 次对称群,则 C 或者是顶点融合范畴,或者具有定理 3.1 中的前三种范畴型.如果是后一种情况,则所有可逆单对象在 Ce,Ca,Ca2中,所有非可逆单对象在 Cb,Cab,Ca2b中.证证证明明明由上面的讨论知,Ce,Ca,Ca2中只含有可逆单对象.由 Ca Cb Cab,Ca2 Cb Ca2b知,如果 Cb中含有可逆单对象,则 Cab,Ca2b中也含有可逆单对象;如果 Cb中含有非可逆单对象,则 Cab,Ca2b中也含有非逆单对象.再由引理 3.1 可得结论.5 辫辫辫子子子融融融合合合范范范畴畴畴下面考虑 C 为辫子融合范畴的情形.如果融合范畴 C 有一簇满足六边形公理的自292纯粹数学与应用数学第 39 卷然同构 cX,Y:X Y Y X,则称其是辫子融合范畴.有关辫子融合范畴的详细定义请参考文献 8,8.1 节.设 N 1 是一个自然数,是一个 2N次单位根.在文献 13 中,本文第二作者及其合作者构造了一类辫子融合范畴 TN,并证明了任何一个 2 维融合范畴的辫子扩张都是某个 TN,.定定定理理理5.1如果 C 是辫子融合范畴,则存在某个自然数 N 1 和一个 2N次单位根,使得 C 等价于一个 Deligne 张量积 TN,?B,其中 B 是一个辫子顶点融合范畴.证证证明明明设 FPdim(C)=pt11pt22ptss,其中 2=p1 p2 2 时,Cpi是奇数维融合范畴,故由文献 9,推论 3.11 知 Cpi是整的融合范畴,即 Cpi中每个单对象的维数都是整数.又因为 C 的整融合子范畴只能是顶点融合范畴,所以 Cp2,Cps都是顶点融合子范畴.令 B=Cp2?Cps,则 C=Cp1?B.由于 Cp1是辫子幂零的且它的维数是 2 的方幂,由推论 2.1 知 Cp1中非可逆单对象的维数只能是2.再由文献 14,推论 3.3 知 Cp1是一个 2 维融合范畴的扩张.于是,存在某个自然数 N 1 和一个 2N次单位根,使得 Cp1=TN,从而 C=TN,B.由上面的证明过程可得如下推论.推推推论论论5.1如果 C 是辫子融合范畴,则 p=2.参参参考考考文文文献献献1 TURAEV V G.Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds M.Berlin:Walter de Gruyter&Co.,1994.2 WANG Zhenghan.Quantum Computing:a Quantum Group Approach M.Singapore:World Sci.Publ.,2013.3 BAKALOV B,KIRILLOV Jr A.Lectures on Tensor Categories and Modular Functors M.Provi-dence,RI:Amer.Math.Soc.,2001.4 HUANG Yizhi.Vertex operator algebras,the Verlinde conjecture and modular tensor categoriesJ.Proc.Natl.Acad.Sci.,2005,102(15):5352-5356.5 WANG Zhenghan.Topological Quantum Computation M.Providence,RI:Amer.Math.Society,2010.6 ETINGOF P,NIKSHYCH D,OSTRIK V.Fusion categories and homotopy theory J.QuantumTopol.,2010,1(1):209-273.7DONG Jingcheng,SUN Hua.Structure,examples and classification for generalized near-groupfusion categories J.J.Algebra,2021,568(1):386-407.8ETINGOF P,GELAKI S,NIKSHYCH D,et al.Tensor Categories M.Providence,RI:Amer.Math.Soc.,2015.9 ETINGOF P,NIKSHYCH D,OSTRIK V.On fusion categories J.Ann.Math.,2005,162(2):581-642.第 2 期董井成 等:pq 维顶点融合范畴的扩张29310 DIJKGRAAF R,PASQUIER V,ROCHE P.Quasi-quantum Groups Related to Orbifold ModelsM.Bombay:World Sci.Publ.,1990.11 GELAKI S,NIKSHYCH D.Nilpotent fusion categories J.Adv.Math.,2008,217(3):1053-1071.12 ETINGOF P,NIKSHYCH D,OSTRIK V.Weakly group-theoretical and solvable fusion categoriesJ.Adv.Math.,2011,226(1):176-205.13DONG Jingcheng,NATALE S,SUN Hua.A class of prime fusion categories of dimension J.New York J.Math.,2021,27(1):141-163.14DONG Jingcheng.Braided extensions of a pointed fusion category with prime dimension J.Algebra Colloq.,2020,27(2):281-286.Extensions of a pq-dimensional pointed fusion categoryZHOU Guangqiang,DONG Jingcheng(School of Mathematics and Statistics,Nanjing University of InformationScience and Technology,Nanjing210044,China)Abstract:This paper studies the G-extensions of a pq-dimensional pointed fusion category,where Gis a finite group,determines all possible category types,and focuses on the cases when G is the cyclicgroup a of order n and the symmetric group S3on 3 letters.Finally,it gives a complete classificationwhen the G-extension admits a braided structure.Key words:fusion category,Frobenius-Perron dimension,extension,braided strucure2010 MSC:18D10