中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案.doc

《高等数学》课程复习资料
一、填空题：
1.函数的定义域是______。
2.若函数，则______。
3.______。
4.已知，则______，______。
5.已知，则______，______。
6.函数的间断点是______。
7.设, 则______。
8.，则。
9.函数的定义域为______。
10.已知,则______。
11.设，则______，______。
12.设,则＝______。
13.______。
14.设是连续函数，且，则______。
15.若，则。
16.设函数f(x,y)连续，且满足，其中则f(x,y)=______。
17.求曲线所围成图形的面积为______。（a>0）
18.设，，，则有______。
A. B. C. D.
19.的满足初始条件的特解为______。
20.微分方程的通解为______。
21.微分方程的通解为______。
22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=||=______。
23.是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是______。
24.f(x)=是______次多项式，其一次项的系数是______。
25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为______。
26.事件A、B相互独立，且知则______。
27.A，B二个事件互不相容，则______。
28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为______。
29.已知事件 A、B的概率分别为P（A）＝0.7，P（B）＝0.6，且P（AB）＝0.4，
则P（）＝______；P（）＝______。
30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为______。

二、单项选择题：
1.函数 [ ]
A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
2.若函数，则 [ ]
A. B. C. D.
3.设 ，则= [ ]
A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3
4.已知，其中，是常数，则 [ ]
A. B. C. D.
5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 [ ]
A. B.
C. D.
6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 [ ]
A. B. C. D.
7.设，则在处 [ ]
A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导
8.曲线在点（1，0）处的切线是 [ ]
A. B. C. D.
9.已知，则= [ ]
A. B. C. D. 6
10.若，则 [ ]
A. B. C. D.
11.的定义域为 [ ]
A. B. C. D.
12.下列极限存在的是 [ ]
A. B. C. D.
13.若，在内 [ ]
A. B.
C. D.
14.设为奇函数，且时，则在上的最大值为 [ ]
A. B. C. D.
15.函数 [ ]
A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定
16.设 [ ]
A.依赖于 B.依赖于
C.依赖于，不依赖于 D.依赖于，不依赖于
17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 [ ]
A. B. C. D.
18.设，，，[ ]
A. B. C. D.
19.下列不定积分中，常用分部积分法的是 [ ]
A． B． C． D．
20.设，则必有 [ ]
A. I>0 B. I<0 C. I=0 D. I0的符号位不能确定
21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（） [ ]
A.等于0 B.等于 C.等于+ D.不存在且非
22.设函数项级数，下列结论中正确的是 [ ]
A.若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间
B.若为此级数的和函数，则余项，
C.若使收敛，则所有都使收敛
D.若为此级数的和函数，则必收敛于
23.设为常数，则级数 [ ]
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与有关
24.若级数在时发散，在处收敛，则常数 [ ]
A.1 B.-1 C.2 D.2
25.的特解可设为 [ ]
A. B.
C. D.
26.微分方程的阶数是指 [ ]
A.方程中未知函数的最高阶数 B.方程中未知函数导数或微分的最高阶数
C.方程中未知函数的最高次数 D.方程中函数的次数
27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解。 [ ]
A. B.
C. D.
28.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵= [ ]
A. B. C. D.
29.设A、B均为n阶方阵，则必有 [ ]
A. |A+B|=|A|+|B| B. AB=BA C. |AB|=|BA| D. (A+B)–1=A–1+B–1
30.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 [ ]
A. B.
C. D.
31.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为 [ ]
A. B. C. D.
32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 [ ]
A. B. C. D.
33.已知，且,则下列选项成立的是 [ ]
A.
B.
C.
D.

三、解答题：
1.设函数

问：（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？
2.已知，试确定和的值。
3.设，求的间断点，并说明间断点的所属类型
4.求方程中是的隐函数的导数。
（1），求。
（2）设，求，。
5.设由方程所确定，求。
6.设函数在[0,1]上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有，证明在（0,1）内有且只有一个数x使。
7.求函数的单调区间和极值。
8.在过点的所有平面中，求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
9.求下列积分
（1） （2）
（3），D由的围成。
10.判别级数（常数）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
11.判别级数的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
12.求幂级数在收敛区间上的和函数。
13.求解微分方程。
（1）的所有解。 （2） （3）

四、求解题：
1.计算下列行列式：
（1） （2）

2.设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中，，求X 。
3.设矩阵 试计算A-1B．

4.设，（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求。

5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。

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参考答案
一、填空题：
1.解： 2.解：
3.解：
4.解：由所给极限存在知，，得,
又由： 知
5.解：，即，
6.解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。
因为 所以函数在处是间断的
又在和都是连续的，故函数的间断点是。
7.解：
8.解：或
9.解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。

的定义域为：且}
10.解：令，，则

11.解：∵

12.解：
13.解：由导数与积分互为逆运算得：
14.解：两边对求导得，令，得，所以
15.解：∵ ∴
16.解：
记，则，两端在D上积分有：，
其中（由对称性），
即 ，所以，
17.解：
18.解：令，则原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，则，故.
当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.
19.解： 20.解： 21.解：
22.解： 23.解：2 24.解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。
25.解：AB+BC+AC
26.解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
27.解： A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8
28.解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有
P()=P(A)=0.36
29.解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9 P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3
30.解：P(A+B)=1–P

二、单项选择题：
1.解：利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
2.解：因为，所以
则，故选项B正确。
3.解：由于，得＝
将代入，得= 正确答案：D
4.解：
答案：C
5.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
而A、C、D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
6.解：，故不选A；取，则，故不选B；取，则，故不选D。 答案：C
7.解：，，，因此在处连续。
，此极限不存在，从而不存在，故不存在 答案：B
8.解：由导数的定义和它的几何意义可知：，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是，即 答案：A
9.解：直接利用导数的公式计算：, 答案：B
10.解：先求出，再求其导数。 答案：D
11.解：z的定义域为}个。 答案：D
12.解：A.当P沿时，，当P沿直线时，，故不存在；
B.，不存在； C.如判断题中1 题可知不存在；
D.因为，所以。 答案：D
13.解：。
14.解：因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，则，从而，所以在[-10，-1]上单调增加，故最大值为 答案：B
15.解：，，
，为极大值 答案：A
16.解：根据周期函数定积分的性质有 。

17.解：所求旋转体的体积为

答案：B
18.解：利用定积分的奇偶性质知，，，所以 答案：D
19.解：答案：B
20.解：D：
21.解：由极坐标，原极限
22.解：答案：B
23.解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛。故答案：A
24.解：由于收敛，由此知。当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此。 答案：B
25.解：答案：C 26.解：答案：B 27.解：答案：C 28.解：答案：D 29.解：答案：C
30.解：答案：B 31.解：答案：A
32.解：基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，
故P(A)=。 答案：D
33.解：由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，
所以 P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 答案：C

三、解答题：
1.解：（1）要在处有极限存在，即要成立，。
因为，所以当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是
于是有，即时函数在处连续。
2.解： ，即

故
3.解：在内连续，，，，因此是的第二类无穷间断点；，，因此是的第一类跳跃间断点。
4.解：（1）方程两边对自变量求导，视为中间变量，即
整理得
（2）

5.解:设

6.解：

7.解：函数的定义域是

令 ，得驻点

-2

0

+
0
-
0
+

极大值

极小值

故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值。
8.解:设平面方程为，其中均为正，则它与三坐标平面围成四面体的体积为，且，令，则由
， 求得，由于问题存在最小值，因此所求平面方程为
，且。
9.解（1）： 极限不存在，则积分发散。
（2）：是D上的半球面，由的几何意义知 I=V半球=。
（3）：关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。
10.解：由，而，
由正项级数的比较判别法知，与同时敛散。而收敛，故 收敛，从而原级数绝对收敛。
11.解：记，则。
显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散。又显见是Leibniz型级数，它收敛。即收敛，从而原级数条件收敛。
12.解：，所以。
又当时，级数成为，都收敛，故级数的收敛域为。
设级数的和函数为，即。
再令，
逐项微分得 ，

故 ，又显然有，
故
13.解：（1）原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。
（2）当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；
当时，原方程可化为，类似地可解得。
综合上述，有
（3）由公式得

四、求解题：
1.解：（1）

（2）

2.解：
解法一：先求矩阵A的逆矩阵。
因为
所以 且
解法二：因为
所以
3.解：因为

所以 且
4.解：（1）P(B)=P(B)–P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=，∴ P(B)=P(B)=
（2）∵ P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)=，∴ P(B)=P(B)–P(AB)=–=
（3）P(AB)= ∴P(B)=P(B)–P(AB)=–=
5.解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)==0.467
P()==0.220