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探索规律的技巧
智慧锦囊
一般步骤为：①实践 要从简单的情形出发，先做三个具体的例子(如果看不出规律，就多做几个），然后认真观察、比较；②猜想 分析猜想可能的规律；③验证 用具体数值代入猜想，推出公式。具体来说：
一、标出序列号：每次探索一定写出序列号，把变量和序列号放在一起加以比较，就容易确定序列号与每一数据之间的关系；例如
序列号： 1，2，3， 4， 5，……n
已知变量: 0，3，8，15，24，……?
(2) 牢记求和公式：总和=（首项+末项）×项数；
▲二、统计的过程性：在统计数据时要用n个数据相＋（或-、×、÷等）的形式，把每一次增减数据都写出来，而不是一个单一和的形式；如统计三角形的面积要写成如下形式：
序列号 面积
1 a·b
2 c·d
3. e·f
… …
n ?
而不是写成如下形式：
序列号 面积
1. a
2 . b
3. c
……
n ?
三、注意化简：利用幂，即数的平方或立方等，或者把一组数写成乘积的形式，如5，7，11，19，35，67．．及把一组数据2、6、12写成1×2、2×3、3×4的形式；
四、竖排：如果题目中给出的式子较多，可把它们竖排，这样更容易找出规律。
五、如果规律所形成的图案向呈直线方向发展（宽度不增加），那么该函数一定就是一次函数；如果规律所形成的图案向四周延伸，那么该函数一定就是二次函数。若能判断出所求规律的式子是一次函数或二次函数，可以先设函数，然后用待定系数法解决问题。
六、注意循环型+函数型的分类思考
范例点睛
例1. 观察下图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第几个图形共有120 个★。

解：序列号 图形个数
1 1
2. 1+2
3. 1+2+3
……
n 1+1+2+3+..+n=(1+n)n
所以：(1+n)n=120 解得n=15
评价:此题强调了统计数据时的过程性.
例2..观察下列三角形数阵,第2002个数是第几行第几个数?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

解：∵每一行最后一个数字是前面所有行数（包括本行））之和，设2002在第n行则
(1+n)n≥2002
∵ 60×60=3600，65×65=4225,64×63=4032 ∴n=63
∵ 第63行最后一个数=(1+n)n=2016,第62行最后一个数是2016-63=1953，
∵,2002-1953=49，
∴第2002个数是第63行的第49个数
评价: 此题强调了求和公式的灵活运用.
例3.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013是第几组第几个数？
解：2013是第=1007个数，
设2013在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1007，即≥1007，
解得：n≥31.7，
当n=31时，这组数的总个数为:
1+3+5+7+…+61=961；
1007-961=46
故第1007个数在第32组的第46个数
故A2013=（32，46）．
注意：1+3+5+7+…+（2n-1）的项数为
（末项+1）÷2
王者闯关
1.观察下面数阵规律并完成各题解答.

（1）表中第8行最后一个数是___，它是自然数____的平方，第8行共有____个数；
（2）用含n代数式表示：第n行第一个数是____，最后一个数是___，第n行共有__ 个数；
（3）第n行各数之和是_____
2. 观察下列三角形数阵,第1972个数是第几行第几个数?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15

3．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2016，2016）表示的两个数的积是（　　）

4.（2014菏泽）下面是一个有规律的数阵：

根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是　　（含n的代数式）
5.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（  ）

6． 如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，第①个图案用火柴棍的个数为4根，第②个图案用火柴棍的个数为12根，第③个图案用火柴棍的个数为24根，若按这种方式摆下去，摆出第30个图案用火柴棍个数为（　　）

7. 如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5＋4）个圆点；…第n次操作后，这时直线l上有 个圆点．
8.（2013•威海）在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（0，1）、C（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016坐标为　　．

参考答案：
1.（1）64,8,15 （2）（2）n 2 -2n+2，n 2 ，（2n-1）；
（3）第n行各数之和：
2. 第62行第31个数。
3. 每三个数一循环，1、，,（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个，30÷3=10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是，
（2016，2016）在数列中是第（1+2016）×2016÷2=20311120个，
20311120÷3=677040，（2016，2016）表示的数正好是第677040轮最后一个数，
即（2016，2016）表示的数是，
答案为=3，
4. 前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数的被开方数是n（n-1）+n-2=n2-2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数是 
5. 由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为5+2；第3个图形中小圆的个数为5+2+4；第4个图形中小圆的个数为5+2+4+6；则知第n个图形中小圆的个数为5+2+4+6+…+2(n-1)=5+n（n﹣1）．据此可以再求得龟图中有245个○是n的值． 此题中计算2+4+6+……+2(n-1)要用求和公式，注意其和例3一样，和的项数为（末项+1）÷2
6. 设摆出第n个图案用火柴棍为Sn．
①图，S1=1×（1+1）+1×（1+1）；
②图，S2=2×（2+1）+2×（2+1）；
③图，S3=3×（3+1）+3×（3+1）；
…；
第n个图案，Sn=n（n+1）+n（n+1）=2n（n+1）．
则第⑨个图案为：2×9×（9+1）=180．
7. 解：第1次操作，有（2+1）个圆点，第2次操作，有（3+2）个圆点，第3次操作，有（5+4个圆点，根据这个规律，第n次操作后，这时直线l上有2n-1+1+2n-1=2n+1个圆点
8. 点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，
∵ =336，
∴点P2016的坐标为（0，0）．