2013年中考数学规律探索型问题.doc

2013年中考数学规律探索型问题12（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+22012的值，可令S=1+2+22+23+22012，则2S=2+22+23+24+22013，因此2SS=220131仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012的值为（）A520121B520131CD【解析】设S=1+5+52+53+52012，则5S=5+52+53+54+52013，因此，5SS=520131，S=【答案】选C【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力两式同时乘以底数，再相减可得的值（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：， ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数【答案】 【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小 18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，根据你发现的规律，第2012个数是_【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.【答案】-2012【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，第n个图案中共有1+3+5+（2n-1）=n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形故答案为：100点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键18(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数.例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出的展开式. .分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案解答：解：由题意，故填点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案17. （2012山东莱芜， 17，4分） 将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点.,按此规律，则点A2012在射线 上.【解析】射线名称点点点点点点点点点A1A3A10A12A17A19A26A28CDA2A4A9A11A18A20A25A27BCA5A7A14A16A21A23A30A32DAA6A8A13A15A22A24A29A31根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，2012=16125+12，所以点A2012所在的射线和点所在的直线一样。因为点所在的射线是射线AB，所以点点A2012在射线AB上.【答案】AB【点评】本题是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，本题难度适中.16、（2012，黔东南州，16）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，按此规律，那么第（）个图有 个相同的小正方形。（1） （2） （3） （4） 解析：因为，故第（）个图有个小正方形 .答案：或n（n+1）点评：本题是探索规律题，解题的关键是从已知图形中找规律，难度中等.15（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896190019042012届数123n表中n等于_【解析】有表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)4+1=30【答案】30【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可16. （2012湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_.【解析】B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A=3，B=8；D所在行的规律是关于数字20左右对称，即D=15，所以B+D=23.【答案】23【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律 此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，这样得到的20个数的积为_.【解析】化简各位同学的报数，可得第1一位同学报2，第2位同学报，第3位同学报，第20个同学报，根据观察得到的规律，便可求出它们的乘机。【答案】21【点评】本题是一道找规律的题型，在教学中，要让学生了解解题的过程，知道来龙去脉，才能增加自己的能力。难度中等。20. （2012珠海，20，9分）观察下列等式：12231=13221，13341=14331，23352=25332，34473=37443，62286=68226，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：52 25； 396693 .（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且29，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明.【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.【答案】（1）275,572; 63,36; （2）(10a+b)(10b+a)证明:左边(10a+b)11(10a+b)(10b+a)右边(10b+a)11(10a+b)(10b+a)左边右边,原等式成立.【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.14（2012云南省，14 ，3分）观察下列图形的排列规律（其中 分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称） 【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律，三个一组，而且五角星都在最后，前边两个相邻组之间它两的位置互换，三个一组，恰好18个是6组，第18个刚好是第6组最后一个，五角星。【答案】五角星【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度，要素简单，但要很快找出规律，也要细心揣摩。此题不难。16（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 【解析】解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个第二图案有阴影小三角形2+4=6个第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n1）=4n2个，故答案为：4n2（或2+4（n1）【答案】4n2（或2+4（n1）【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等17（2012山东东营，17，4分）在平面直角坐标系中，点，yxy=kx+bOB3B2B1A3A2A1（第17题图），和，分别在直线和轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点的纵坐标是_ _【解析】把A1（1，1），A2（）分别代入，可求得k=,b=,所以，与x轴交点代坐标为（-4，0），设A3的纵坐标为m,则，解得m=,同理可得A4的纵坐标为，的纵坐标是。【答案】【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。21(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：第1个等式：a1=（1）；第2个等式：a2=（）；第3个等式：a3=（）；第4个等式：a4=（）；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+a100的值分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1（3）运用变化规律计算解答：解：根据观察知答案分别为：（1）； ； （2）； ；（3）a1+a2+a3+a4+a100的=（1）+（）+（）+（）+=（1+）=（1）=点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系专项二 规律探索型问题（2011山东省潍坊市，题号17，分值3）17、右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式： = .考点：数学归纳法，规律探索题解答：当时：当时：当时：猜想：=点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。16（湖南株洲市3,16）一组数据为：观察其规律，推断第n个数据应为 .【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从1，2，3依次排列，所以【答案】【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.2010 B.2012 C.2014 D.2016【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=1684能被4整除.【答案】：D【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有2个五角星，第个图形一共有8个五角星，第个图形一共有18个五角星，则第个图形中五角星的个数为( )解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案：D点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_.【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.【答案】41【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留）【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n1。【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=（8）2：（8）2=4. 第n个半圆的面积为（2n1）2=22n5。【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。专项二 规律探索型问题8.（2012江苏盐城，8，3分）已知整数a1,，a2，a3，a4，满足下列条件：a1=0，a2=-,a3=-,a4=-,依次类推，则a2012的值为A-1005B-1006C-1007D -2012【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,，a2，a3，a4的值，再寻找规律【答案】由于a1=0，a2=-=-1，a3=-=-1，a4=-=-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ,所以a2012=-=-1006,故选B【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想10. （2012浙江省绍兴，10，3分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6的长为（ ）第10题图A. B. C. D. 【解析】解析：在RtABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中点，所以AD=，因为点A、D是一组对称点，所以AP1=，因为是D1是D P1的中点，所以A D1=，即AP2=，同理AP3=（）2，APn=（）n-1，所以AP6=（）5=，故应选A 【答案】A【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.2010 B.2012 C.2014 D.2016【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=1684能被4整除.【答案】：D【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.14（2012江苏泰州市，14,3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3， ，9x5，【解析】看系数是1,3,5,7，第四项应是7，看指数第第四项是x4第四项是7x4【答案】7x4【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次写下去10（2012贵州铜仁，10，4分如图，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是（ ）10题图 A.54 B.110 C.19 D.109【解析】仔细观察图形可得，图形中1=11+0，图形中5=22+1，图形中 11=33+2，依次类推，第个图形中平行四边形的个数是1010+9=109【解答】D.【点评】本题考查了图形的变化规律，较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性结论，然后验证其结论的正确性.15（2012湖北随州，15,4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线。若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为_。6解析：设有n个点时，解得n=6或n=-5（舍去）答案：6点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定条直线，再代入15可求出解xyO16(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形若的顶点坐标分别为 (2，0)， (1，-1)， (0，0)，则依图中所示规律，的坐标为 16【解析】画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2，纵坐标为2n,则的坐标为（2，1006）【答案】（2，1006）【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律24（2012四川内江，24，6分）设ai0（i1，2，2012），且满足 1968，则直线yaixi（i1，2，2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为.【解析】因为可能等于1，也可能等于1，类似的，都具有这种现象，而 1968，从到又有2012个比值，2012196844，所以，中一定有22个1和22个1之间相加产生22个0，那么，这些比值中会有22个1，所以ai（i1，2，2012）中会有22个负数，则直线yaixi（i1，2，2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为【答案】【点评】直线yaixi（i1，2，2012）经过第一、二、四象限要求ai0，i0，只要判断出ai（i1，2，2012）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P（A），求解即可另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有2个五角星，第个图形一共有8个五角星，第个图形一共有18个五角星，则第个图形中五角星的个数为( )解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案：D点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。23（2012四川内江，23，6分）如图12，已知A1，A2，A3，An，是x轴上的点，且OA1A1A2A2A3An-1An1，分别过点A1，A2，A3，An，作x轴的垂线交反比例函数y(x0)的图象于点B1，B2，B3，Bn，过点B2作B2P1A1B1于点P1，过点B3作B3P2A2B2于点P2，记B1P1B2的面积为S1，B2P2B3的面积为S2，BnPnBn+1的面积为Sn，则S1S2S3Sn.yxOA1A2A3B1B2B3P1P2图12【解析】由OA1A1A2A2A3An-1An1，可得P1B2P2B3P3B4PnBn+11，以及B1（1，1），B2（2，），B3（3，），Bn（n，），Bn+1（n1，），所以S1S2S3SnB1P1P1B2B2P2P2B3BnPnPnBn+1( B1P1B2P2BnPn)( 1)( 1)【答案】【点评】各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B1，B2，B3，Bn的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_.【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.【答案】41【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留）【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n1。【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=（8）2：（8）2=4. 第n个半圆的面积为（2n1）2=22n5。【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。20. ( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第4个第3个第2个第1个第5个图形有多少颗黑色棋子？第几个图形有2013颗棋子？说明理由。【解析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案：（1）第一个图需棋子6，第二个图需棋子9，第三个图需棋子12，第四个图需棋子15，第五个图需棋子18，第n个图需棋子3（n+1）枚答：第5个图形有18颗黑色棋子 （2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，根据（1）得3（n+1）=2013 解得n=670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子【答案】(1)18；(2)第670个图形【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律19（2012湖南益阳，19，10分）观察图形，解答问题：yx（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图图图三个角上三个数的积1(1)2=2(3)(4)(5)=60三个角上三个数的和1(1)2=2(3)(4)(5)=12积与和的商22=1,（2）请用你发现的规律求出图中的数y和图中的数x 【解析】模仿图中的第三格（三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商）图的第三格：(60)(12)=5图的第三格17010=17，模仿前面的得到图的第一格（三个角上三个数的积）(2)(5)17=170第二格（三个角上三个数的和）(2)(5)17=10；（2）发现的规律是：中间的数 所以图图中： 解之得：【答案】解: 图：(60)(12)=5 1分图：(2)(5)17=170，2分(2)(5)17=10， 3分17010=17 . 4分图：5(8)(9)=3605分5(8)(9)=176分 y=360(12)=30.7分图：， 9分解得 10分【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力，同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等。