交换半环上半模的u-内积.pdf

书 书 书 年月第卷第期四川师范大学学报（自然科学版）（），收稿日期：接受日期：基金项目：国家自然科学基金（）通信作者简介：舒乾宇（），教授，主要从事半环理论的研究，：引用格式：游昌禄，舒乾宇交换半环上半模的内积四川师范大学学报（自然科学版），（）：交换半环上半模的内积游昌禄，舒乾宇（四川师范大学数学科学学院，四川成都）摘要：研究交换半环上半模的内积首先，介绍内积的定义和在内积情况下标准正交的定义；然后，讨论正交集和正交子半模在内积定义下的性质；最后研究在内积情况下标准正交集的扩张问题关键词：半模；标准正交集；内积；正交子半模；标准正交集的扩张中图分类号：文献标志码：文章编号：（）：对于半环上半模的研究已经有很长的历史年，介绍了半环上逆半模的概念和一些与模理论相对应的定理 年，系统介绍了半环结构及其一些应用；之后十余年，半环的研究被广泛地应用在计算机科学理论和密码学，研究者们也开始系统地研究半环上的线性代数理论 年，和等在有限生成半模上给出了每组基有相同基数的充要条件；同年，研究了半模上的内积，在半域上研究了标准正交集的扩张问题，并提出一个开问题：每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基的交换半环是什么半环？年，对半模上标准正交集的性质（即半模上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基）进行了研究，得出整的半环满足性质的一些刻画，但是这些刻画在一般的半环上不成立 年，等研究了子半模上正交集的性质并证明了子半模的正交补的正交补等于它本身的充要条件，随后给出了半模上的标准正交集可扩张成标准正交基的充要条件并用正交元和正交基来等价刻画正合半环，同时也提出在内积的定义下是否有类似的结论本文将就这个问题给出答案论文的主要工作如下：第一部分将给出交换半环上半模的一些基本定义和相关引理；第二部分研究带有内积的半模的正交集的性质；第三部分讨论带有内积的半模的正交子半模的性质；最后研究了带有内积的半模上的标准正交集的扩张问题预备知识为了下面讨论方便，本节先给出一些基本定义和相关引理定义 半环（，）是满足下述性质的代数结构：）（，）是交换幺半群；）（，）是幺半群；）对任意的，满足（）和（）；）对任意的，有 成立；）若对任意的，满足 ，则称是交换半环对任意的，若由 知 ，则称是半环定义 设（，）是半环，（，）为一个加法交换幺半群若外积：满足对任意的，和，都有：）（）（）；）（）；）（）；）；）；则称（，）为左半模第期游昌禄，等：交换半环上半模的内积 类似地，还可以定义右半模令，其中为任意正整数如无特别说明，下文中所指的半环均为交换半环，半模均为左半模例 设是半环，对每一个，令（）（，）：，其中（，）表示（，）的转置对任意的（，），（，）（）和，定义运算如下：（，），（，），则（）是左半模设为半模的非空集合，中所有包含的子半模的交集也是的子半模，称为由生成的子半模，记为（）易证（）：，其中称为，的线性组合如果（），称为的生成集称存在有限生成集的半模为有限生成半模，否则，称为无限生成半模称的生成集中的最小基数为的秩，记为（）事实上，任意有限生成半模的秩都存在定义 设为半模的一个非空集合若对任意的，有（），则称是线性无关的；否则，称是线性相关的若中任意元素最多用一种方法由中元素线性表出，则称是自由的定义 设为半模，称中线性无关的生成集为的基称中自由的生成集为的自由基例 设（）是例 中定义的有限生成的自由的半模，则，是（）的一组自由基，其中（，），（，），（，）给出了交换半环上半模的内积的概念和一些与内积相关的性质，接下来将给出内积的定义令（）：存在使得 定义 在半模上定义了一个二元运算，当它满足下列性质时，则称之为的一个内积，其中（，），（），），；），其中，例 在半模（）中，对任意的向量（，），（，）（），定义和的二元运算如下：，由定义 知，此二元运算为（）上的一个内积特别地，若（，），则称该内积是标准内积定义 设为半模，若，则称，是正交的，记作设是的子集，若对任意的，则称是正交的若是正交的且对任意的，有，（），则称是标准正交的特别地，若是的一组基且是标准正交的，则称是的一组标准正交基例 设（）是例 中定义的有限生成的半模，则例 中定义的也是（）的一组标准正交基设为半模，是的子集，记：任意的都有下面将用（）来表示半环上所有的 阶矩阵构成的集合，当 时，记（）（）对任意的（），（）（），（）（）定义运算如下：（），（），（），正交集的性质文献刻画了标准内积下正交集的一些性质，文献提到了内积，由定义 和例 不难看出，标准内积实际上是一种特殊的内积自然而然地要问，标准内积的性质在一般内积下是否仍然成立，本节将在下面的讨论中给出答案为讨论方便，以下假设总是带有内积的半模由定义 易知下面的结论成立 四川师范大学学报（自然科学版）第卷定理 若是上的一组标准正交集且是的非空子集，则也是标准正交集定理 任意的，则），；），设，定义的矩阵为：，显然，（）是对称矩阵定理 设，是上个子集若（，）（，），其中（），则（）（）证明由（，）（，），可知，即（）（）由文献可知若，是自由的，则矩阵（，）是可逆的，自然地想到，若是标准正交的，则矩阵有什么性质？记（，）定义 设（）（），若（，），（），则称为广义正交矩阵引理 设（）为广义正交矩阵，则是可逆矩阵定理 设，（），若，是（）一组标准正交集，则矩阵（，）是广义正交矩阵并且是可逆矩阵证明因为，是一组标准正交集，所以，；，（），即 （，），（），则是广义正交矩阵由引理 可知，是可逆矩阵定理 设，是上的一组标准正交集，则）是自由的；）（）是对角矩阵并且是可逆矩阵；）若（，）满足（，）（，），（），则（）和是可逆的证明）任意的，存在，使得，取，因为，是上的一组标准正交集，所以，即，所以是自由的）因为，是上的一组标准正交集，任意的，（），其中，当，即（），因为任意的，（），所以（）第期游昌禄，等：交换半环上半模的内积 是对角矩阵并且是可逆矩阵）由定理 可知，（）（），又因为（）是可逆的对角矩阵，所以（）也是可逆的对角矩阵，即（）和是可逆的从定理 知道，上的一组标准正交集一定是自由的，又因为自由集一定是线性无关的，那么下面的推论成立推论标准正交的向量组是线性无关的记（）：存在使得 定理 设，是上的一组标准正交集，若，是线性相关的，则可由中向量唯一地线性表出证明设，是线性相关的，则，或者可由其余向量线性表出假设，有，（），则（）在中找一个，有，因为，（），所以，即（），所以 ，（），又因为，是自由的，所以可由中元素唯一地线性表出下面将举例说明定理 中的标准正交这个条件不能去掉例 取，显然，不是一组标准正交集，取（，），则，是线性相关的，但由，线性表出的方式不唯一引理 设和是半模上两组有限集且等价于，则）若是自由的，则；）若和是自由的，则 由定理 和引理 可以得到下面的推论推论 设，是上的两组标准正交集，若等价于，则 注 本节的定理 对应推广了文献中的定理，定理 对应推广了文献中的定理，定理 对应推广了文献中的定理，定理 对应推广了文献 中的定理 子半模的性质文献举例说明了在带有标准内积的半模上，是的子半模，有和成立，接着证明了成立的充要条件，但是没有讨论这些结论在带有内积的半模上是否成立，接下来本节将对此进行研究例 设模剩余类环，是交换半环取 （，），则是半模，对于任意的（，），（，），定义，（），则（，），（，）；取 （，），则是的子半模且，则 （，）由正交补的定义易知，但是从例 可知，在一般情况下，接下来将讨论在什么条件下定理 设是有标准正交基的半模，则证明设上的标准正交基为，取任意的和任意的，则，由，（），所以，即定理 设是的子半模，则也是的子半模证明因为，所以是非空的取任意的，使得，则 四川师范大学学报（自然科学版）第卷，所以，即也是的子半模定理 设、是的子半模，则：）；）若，则；）（）；）（）证明）对任意的 ，有，所以，即）任意的，由，可知，所以）先证明（），由，可知，（），（），所以（）再证明（），取任意的，有且，取任意的，令 ，有，所以（），即（）；综上可得，（）由，可知（），（），所以（）从定理 和文献中的例 可知，在一般情况下（）不成立，从例 可知，一般而言不成立，接下来，将给出这个结论成立的条件定理 设是任意的半模，、是上的任意子半模）若 ，则（）；）当且仅当是上任意非零元素且，证明）由定理 的）可知（），即（）先证充分性，假设且，取任意的，即且，所以，矛盾，即再证必要性，假设存在使得，令 ，显然是的子半模且因为，所以，与 矛盾所以上任意非零元素满足，由文献中的例 易知，在一般情况下是不成立的，接下来将给出它成立的充要条件定理 设是半模，是上任意非零元素且，是上任意子半模，则 当且仅当 证明先证必要性，由定理可知，则 （）再证充分性，只需证，对于任意的，取，有，因为 ，所以存在，使得 因此，又因为，所以，即，所以 ，即由半环的定义，可以得到下面的推论推论 设是有标准正交基的半模，若是半环且任意的，则对于的每一个子半模，当且仅当 证明由定理，只需证明对任意的非零元素，设，是上一组标准正交基，令，假设，则，因为是半环，所以任意的，又因为，所以，即，所以引理 对于任意的交换半环，下列条件等价：）任意有限生成的自由半模的所有非零子半模是自由的；第期游昌禄，等：交换半环上半模的内积）半模（）的所有非零子半模是自由的；）是主理想整环由引理 和定理 的）易知下面的推论成立推论 设是任意的交换半环，如果任意的有限生成的半模的所有非零子半模是标准正交的，则是主理想整环注 本节的定理 对应推广了文献 的命题，定理 对应推广了文献的定理，定理 对应推广了文献的定理，定理 对应推广了文献的定理，定理 对应推广了文献 的定理 标准正交集的扩张文献 给出了带有标准内积的半模上的标准正交集可扩张成标准正交基的充要条件，并提出一个开问题：文献中的定理 在内积的定义下是否依然成立？本文将对这个开问题展开研究假设（，）先给出半模上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基的一些条件定理 设是半模，则上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基的充要条件是对于上任意子半模满足下列条件：）且有一组标准正交基；）是的子半模且有一组标准正交基证明先证必要性，设，和，分别是和的标准正交基，令（，），则 下证，先证，对任意的 ，有，所以，即；再证，取任意的 ，则，因为，（），所以，即 ，所以，综上可得，且和都有一组标准正交基再证充分性，设，和，分别是和的标准正交基，因为 ，取，存在，使得 ，所以，是上一组生成集，又因为，所以，是一组标准正交基，即，可扩张成的一组标准正交基注 本节定理 对应推广了文献中的定理 从定理 的证明易知下面的推论成立推论 设是半模，是上任意子半模，若上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基，则）；）证明）设，和，分别是和的标准正交基，由定理 可知只需证，对任意的 且，由定理 的证明可知，（，），则，所以，即，所以综上，）由定理 的证明可以得到 四川师范大学学报（自然科学版）第卷引理（）当且仅当由 ，可知（）或者（）注 由上面的引理易知：（）当且仅当由 （），可知（）或者（）设矩阵（），令表示集合，上的所有置换定义矩阵的行列式，记作（），引理 设、分别是交换环上的 矩阵和 矩阵，设()是 上的任意 阶子阵，其中，则()()()，其中 引理 设（），则是可逆矩阵当且仅当的列向量集是（）的一组基引理 设是环，（），则是可逆矩阵当且仅当（）（）引理 设是环，是一个 阶的分块矩阵()，则（）（）（）由文献的 可知，若是环，（）上的每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基是不成立的，然而，有下面的结论成立定理 设是带有内积的环且（），若上的元素满足：由（）或者（）可推出 （），则每一组标准正交集可扩张成（）上的一组自由基证明设（，），（，），（，）是（）上的一组标准正交集，令（，）（），其中，因为，（），由引理 可以知道，存在，使得（），则有（），根据题设条件有（），即（）由引理 和引理，存在是可逆的设 ，其中 取 且，下证，是（）上的一组自由基，设（，），利用引理 来证明是可逆矩阵选取矩阵的行向量重新组合，设 ()，其中由引理，（）（）（）（），所以是可逆的，即是可逆的，则的列向量是（）上的一组自由基注 本节定理 对应推广了文献的定理 引理 设是半域且 ，是有基数大于的有限标准正交基的半模，则下列条件等价：）上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基；第期游昌禄，等：交换半环上半模的内积）是域定理 设是带有非标准内积的域，（，），（）且是乘法幂等的，则对于任意的，每一组标准正交集可扩张成（）上的标准正交基的充要条件是的特征不是证明由引理 可知充分性成立下证必要性，假设的特征是设（，），（，）是一组标准正交集，则存在（，）使得，即，由是乘法幂等的，（）（），和题设条件矛盾，即的特征不是注 本节定理 对应推广了文献的定理 定义 如果交换环只有唯一的一个极大理想，则称为局部环事实上，由文献 可知：是局部环当且仅当（）定义 设是局部环，是上唯一的极大理想，如果内积中每一个，则称该内积为珔内积由珔内积的定义，有：定理 设是带有内积的局部环，是上唯一的极大理想，是带有珔内积的域，若（）上的标准正交集，可扩张成一组标准正交基，则（）上的，也是标准正交的进而，也可扩张成（）上的一组标准正交基证明设（，），（，），（，）是（）上的标准正交集，对于任意的，当时，有，；当 时，有，（），那么有，珔，珔，由于 是域，所以，珔是乘法可逆的，因此，在（）是标准正交集设，是（）上的一组标准正交基，同样地，是（）上的一组标准正交集，又因为（）在域 上是线性空间，所以（），即，是（）上的一组标准正交基定义 设是环，是的一个理想，设，是（）上的一组向量集，是（）上的一组标准正交集，存在使得，其中，如果，则称，为强标准正交集若（）的一组基是强标准正交集，则称为强标准正交基从强标准正交集的定义可以得到下面的结论定理 设是带有非标准内积的局部环，是上唯一的极大理想，是带有珔内积的域，则（）上的一组标准正交集，可扩张成一组标准正交基的充要条件是（）上的，可扩张成（）上的一组强标准正交基证明由定理 和强标准正交基的定义可知定理 成立注 本节定理 对应推广了文献中的定理，定理 对应推广了文献的定理 文献 中定理在非标准内积情况下是成立的那么本节就回答了文献 提出的注结论本文研究了交换半环上带有内积的半模，给 四川师范大学学报（自然科学版）第卷出了正交集和正交子半模在内积定义下的性质，给出了半模上标准正交集在内积情况下可扩张成标准正交基的一些结论，回答了文献中的注 参考文献 ，（）：，（）：，：，（）：，（），（）：，：，：，：，（）：，：刘丽娟，舒乾宇交换半环上的广义正交矩阵四川师范大学学报（自然科学版），（）：，（）：，（）：，（，）：，：；：（编辑陶志宁）