2023年初中培优竞赛不等式与不等式组.docx

第8讲 不等式与不等式组一、选择题1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组） 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元；又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条a+b2元的价格把鱼所有卖给了乙，结果发现赔了钱，因素是 ( )A.ab B.a5(a+b)2成立，可以解得ab.答案：A .技巧：根据题意列出不等式，然后化简，是解这类题的一般思绪。易错点：做这种题容易凭主观判断解答而致错。2、（3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）已知|y|1，且2x+y=1，则2x2+16x+3y2的最小值是 ( ) A.197 B.3 C.277 D.13解析：2x2+16x+3y2=2x2+16x+3(1-2x)2=14x2+4x+3，又由于|1-2x|1，所以0x1，故最小值为3.答案：B .技巧：根据题目条件消去一个未知数，将二元化为一元再来求最值是解这类问题常用的方法。易错点：求最值的时候容易忽视未知数的限定范围而致错。3、（3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）若方程组kx+2y=82x-y=20(k为整数）的解满足x0,y0，则k的值是 ( ) A. -3，-2，-1，0 B. -2, -1,0,1C. 所有正整数 D. 所有负整数解析：解方程组kx+2y=82x-y=20得x=48k+4y=4(4-5k)k+4，由x0,y0得 48k+404(4-5k)k+40,解得-4kbc，则M与P的大小关系是_。解析：由于M=a+b+c3,N=a+b2,P=N+c2=a+b+2c4所以M-P=a+b-2c12又由于abc，所以a+b2c. 即M-P0，MP. 答案：MP .技巧：比较大小可以用作差法或者作商法作差法是比较两式的差与0的大小，而作商法是比较两式的商与1的大小（分母的符号必须拟定）。易错点：在应用作商法比较大小的时候容易忽视分母的符号问题而致错。5、（4、5）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）已知x，y为实数，且12x2+4y22，设 z=x2-2xy+4y2，则z的取值范围是_。解析：由于2x2+4y2-4xy,故-2xy1，所以x2-2xy+4y22+1=3.又2xyx2+4y22，故 x2+4y2-2xyx2+4y2-x2+4y22=12(x2+4y2)14，故14x2-2xy+4y23.答案：14z3 .技巧：由于(a-b)2=a2-2ab+b20，故有a2+b22ab对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）若实数a满足a3a1-ax的解为_。解析：由于a3aa2，所以a3-a0aa+1a-10a-1a1. 解这个不等式得a-1，则a+11-ax得1+ax1-a x1-a1+a答案：x2|x|-33|x|-5的解.分析：具有绝对值的不等式，可以通过度类讨论的办法去掉绝对值再来求解，最后综合。详解：若x0，且x53，则不等式为2x+33x+5-2x-33x-50-2x(3x+5)(3x-5)03x-500x53；若x000，矛盾. 故不等式的解是0x53 技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法。易错点：分类讨论之后容易忘掉综合而致错。8、（4、5）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）设x1,x2,x7为自然数，且x1x2x6x7,又x1+x2+x7=159，求x1+x2+x3的最大值.分析：假如x1取得最大值，则x2,x3,x7只能是x1后的连续自然数，依次可以求出x1的最大值。同理可以求得x2，x3的最大值。详解：159=x1+x2+x7x1+x1+1+x1+2+x1+6=7x1+21. 解得x11957，故自然数x1的最大值为19. 同理，x2，x3的最大值分别为20，22. 所以 x1+x2+x3的最大值为61. 答：x1+x2+x3的最大值为61.技巧：求三个数的和的最大值，可以先分别求三个数的最大值，然后求和。易错点：先分别求三个数的最大值再求它们的和的最大值时，容易忽视三个数能否同时取得最大值的问题而致错。9、（3、4）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、应用题）三人合办一公司，共同投资143万元，投资最多的人与最少的人的钱数比为5:3，问：第三个人投资最少要多少万元？最多要多少万元？分析：根据题意可设出三个人投资的钱数，列出不等式解出第三个人投资的钱数的范围即可。详解：设投资最多为5x万元，则最少为3x万元，第三个人投资了y万元，则,所以39y55. 因此第三个人最多投资55万元，最少投资39万元.答：第三个人最多投资55万元，最少投资39万元.技巧：已知比例关系为a:b的时候，未知数可以设成ax和bx再来列方程或不等式，可以简化运算。易错点：解不等式的时候，两边同时乘以一个负数或者移项过程中不等号的方向容易弄错。