2023年初中培优竞赛不等式与不等式组.docx

第8讲 不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元；又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每
条b元，后来他又以每条a+b2元的价格把鱼所有卖给了乙，结果发现赔了钱，因素是 ( )
A.a>b B.a<b C.a= b D.与a和b的大小无关
解析：由于甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到a+b2×5元，则由不等式3a+2b>5(a+b)2成立，可以解得a>b.
答案：A .
技巧：根据题意列出不等式，然后化简，是解这类题的一般思绪。
易错点：做这种题容易凭主观判断解答而致错。

2、（3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
已知|y|≤1，且2x+y=1，则2x2+16x+3y2的最小值是 ( )
A.197 B.3 C.277 D.13
解析：2x2+16x+3y2=2x2+16x+3(1-2x)2=14x2+4x+3，又由于|1-2x|≤1，所以0≤x≤1，故最小值为3.
答案：B .
技巧：根据题目条件消去一个未知数，将二元化为一元再来求最值是解这类问题常用的方法。
易错点：求最值的时候容易忽视未知数的限定范围而致错。

3、（3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
若方程组kx+2y=82x-y=20(k为整数）的解满足x>0,y>0，则k的值是 ( )
A. -3，-2，-1，0 B. -2, -1,0,1
C. 所有正整数 D. 所有负整数
解析：解方程组kx+2y=82x-y=20得x=48k+4y=4(4-5k)k+4，由x>0,y>0得 48k+4>04(4-5k)k+4>0,
解得-4<k<45. 故k的整数值为-3，-2，-1，0.
答案：A .
技巧：将x,y都用k表达出来，再根据x,y的范围列出关于k的不等式组，解出来就能求得结果。
易错点：在解不等式组的时候容易求错两个不等式的公共部分而致错。

二、填空题
4、（2、3）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若a>b>c，则M与P的大小关系是_____________。
解析：由于M=a+b+c3,N=a+b2,P=N+c2=a+b+2c4⋅所以M-P=a+b-2c12⋅又由于a>b>c，所以a+b>2c. 即M-P>0，M>P.
答案：M>P .
技巧：比较大小可以用作差法或者作商法——作差法是比较两式的差与0的大小，而作商法是比较两式的商与1的大小（分母的符号必须拟定）。
易错点：在应用作商法比较大小的时候容易忽视分母的符号问题而致错。

5、（4、5）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
已知x，y为实数，且12≤x2+4y2≤2，设 z=x2-2xy+4y2，则z的取值范围是_____________。
解析：由于2≥x2+4y2≥-4xy,故-2xy≤1，所以x2-2xy+4y2≤2+1=3.又2xy≤x2+4y22，故 x2+4y2-2xy≥x2+4y2-x2+4y22=12(x2+4y2)≥14，故14≤x2-2xy+4y2≤3.
答案：14≤z≤3 .
技巧：由于(a-b)2=a2-2ab+b2≥0，故有a2+b2≥2ab对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。
易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。

6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
若实数a满足a3<a<a2，则不等式x+a>1-ax的解为______________。
解析：由于a3<a<a2，所以a3-a<0a2-a>0⇒aa+1a-1<0aa-1>0⇒
a<-1a<0或a>1. 解这个不等式得a<-1，则a+1<0. 所以由x+a>1-ax得1+ax>1-a⇒ x<1-a1+a⋅
答案：x<1-a1+a .
技巧：先求参数范围，再解含参数的一元一次不等式。
易错点：解这类含参数的不等式问题时容易忽视参数的取值范围而致错。

三、解答题
7、（3、4）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
求不等式2x+33x+5>2|x|-33|x|-5的解.
分析：具有绝对值的不等式，可以通过度类讨论的办法去掉绝对值再来求解，最后综合。
详解：若x≥0，且x≠53，则不等式为2x+33x+5-2x-33x-5>0⇒-2x(3x+5)(3x-5)>0⇒3x-5<0且x>0⇒0<x<53；若x<0且x≠-53，则不等式为2x+33x+5-2x+33x+5>0⇒0>0，矛盾. 故不等式的解是0<x<53⋅
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法。
易错点：分类讨论之后容易忘掉综合而致错。

8、（4、5）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
设x1,x2,⋯,x7为自然数，且x1<x2<⋯<x6<x7,又x1+x2+⋯+x7=159，求x1+x2+x3的最大值.
分析：假如x1取得最大值，则x2,x3⋯,x7只能是x1后的连续自然数，依次可以求出x1的最大值。同理可以求得x2，x3的最大值。
详解：159=x1+x2+⋯+x7≥x1+x1+1+x1+2+⋯+x1+6=7x1+21. 解得x1≤1957，故自然数x1的最大值为19. 同理，x2，x3的最大值分别为20，22. 所以 x1+x2+x3的最大值为61.
答：x1+x2+x3的最大值为61.
技巧：求三个数的和的最大值，可以先分别求三个数的最大值，然后求和。
易错点：先分别求三个数的最大值再求它们的和的最大值时，容易忽视三个数能否同时取得最大值的问题而致错。

9、（3、4）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、应用题）
三人合办一公司，共同投资143万元，投资最多的人与最少的人的钱数比为5:3，问：第三个人投资最少要多少万元？最多要多少万元？
分析：根据题意可设出三个人投资的钱数，列出不等式解出第三个人投资的钱数的范围即可。
详解：设投资最多为5x万元，则最少为3x万元，第三个人投资了y万元，则,所以⇒39≤y≤55. 因此第三个人最多投资55万元，最少投资39万元.
答：第三个人最多投资55万元，最少投资39万元..
技巧：已知比例关系为a:b的时候，未知数可以设成ax和bx再来列方程或不等式，可以简化运算。
易错点：解不等式的时候，两边同时乘以一个负数或者移项过程中不等号的方向容易弄错。