非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式问题解的存在性.pdf

宝鸡文理学院学报(自然科学版第43卷，第 1期，第 14-18页,2023年3月Jo u r n a l o f Ba o ji Un iver sit y o f Ar t s a n d Sc ien c es(Na t u r a l Sc ien c e),Vo l.4 3,No.1,p p.14-18,Ma r.2023DOI:10.134 67/j.c n ki.jbu n s.2023.01.003非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式问题解的存在性 吴慧凌，林志，陈小龙(重庆交通大学数学与统计学院，重庆400074)摘要摘要：目的目的研究非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式解的存在性暎暎方法方法与之前的大部 分研究相比，放松了紧的条件，结合集值映射的上半一C连续性以及C凸或C似拟凸性，利用不动 点定理进行研究暎暎结果结果给出了非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式问题解的存在性定理，并根据 广义集值隐向量拟变分不等式问题与其他向量变分不等式问题的相关性，给出了相应的推论。结论结论非 紧条件下解的存在性结果推广了之前的相关定理。关键词关键词：不动点定理；开下截口；C一似拟凸；上半一C一连续中图分类号中图分类号：0224 文献标志码文献标志码:A 文章编号文章编号：1007-1261(2023)01-0014-05Existenc e of solutions for the generalized set-valued implic it vec tor quasi-variational inequalities under nonc ompac t c ond itions WU Hu i-l in g,LIN Zh f CHEN Xia o-l o n g(Co l l eg e o f Ma t h ema t ic s a n d St a t ist ic s,Ch o n g q in g Jia o t o n g Un iver sit y,Ch o n g q in g 4 00074,Ch in a)Abstrac t：PurposesTo st u d yt h e exis t e n c eo fso l u t io n sfo r g en e r a l ize d set-va l u ed imp l ic it vec t o r q u a si-va r ia t io n a l in e q u a l it iesu n d e r n o n c o mp a c t c o n d it io n s.Method sCo mp a r ed wit h mo st p r evio u s st u d ies,t h e c o mp a c t c o n d it io n is r el a xed h er ein,bu t t h e u p p er h a l f-C-c o n t in u it y a n d C-c o n vexit y o r C-q u a si c o n vexit y o f set-va l u ed ma p p in g s a r e c o mbin ed,a n d t h e fixed p o in t t h eo r em is u sed.Results Given a r et h ee xist en c et h eo r emso fso l u t io n sfo r g en er a l ized set-va l u e d imp l ic it vec t o r q u a si-va r ia t io n-a l in eq u a l it iesu n d e r n o n c o mp a c t c o n d it io n s,a n d so a r e t h ec o r r esp o n d in g c o r o l a r iesa c c o r d in g t o t h e c o r r el a t io n bet wee n g en er a l ized se t-va l u e d imp l ic it ve c t o r q u a si-va r ia t io n a l in e q u a l it ya n d o t h e r vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl ems.Conc lusion一Th e exist in g r esu l t s o f so l u t io n s u n d er n o n c o mp a c t c o nd it io n s g en er a l ize t h e p r evio u s r el a t ed t h eo r ems.Key word s:fixed p o in t t h eo r em；o p en l o wer sec t io n s；C-q u a sic o n vex；u p p er h a l f-c o n t in u it yMSC 2020：4 7J20；4 9J4 0；90C30广义集值隐向量拟变分不等式问题13与各 类向量变分不等式问题6有着紧密联系，其研 究内容可以推广到广义向量变分不等式、广义向 量拟变分不等式、广义隐向量拟变分不等式10 等问题上。但关于此类问题解的存在性研究大部 分都是在紧的条件下进行的1112，本文参考文献 口 3中对广义Nash均衡问题解的存在性研究,借助不动点定理，得到了非紧条件下广义集值隐 向量拟变分不等式问题解的存在性定理，并得到 了 3个新的关于变分不等式问题在非紧条件下解 的存在性的推论。1预备知识预备知识本节中主要介绍一些必要的概念和结论。假设X和Y是Ha u sd o r ff拓扑向量空间，K 收稿日期：20220530,修回日期,2022-06-19.基金项目：国家自然科学基金项目(11271067)作者简介：吴慧凌(1996-),男，安徽池州人，在读硕士研究生，研究方向：非线性均衡理论.Ema il：wu h u il in g ms163.c o m第1 期吴慧凌等非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式问题解的存在性15是X的非空子集，C是Y的闭凸尖锥且intC曎0,D是从X到Y的连续算子空间L(X,Y)中的非空 子集。设F：DXKXK曻2,G：K曻2K和T:D曻 2K是3个集值映射，其中2y(2k)表示Y(K)的非 空子集的集合。广义集值隐向量拟变分不等式为：寻找 工灣暿K,满足：灣暿GO,且Vy暿G(*),日暿 T(*),使 F(n,，灣，,)煠一intC,则称 JC*为广义集值隐向量拟变分不等式问题的解。一个 广义集值隐向量拟变分不等式问题的解通常被表 示为卩=K,D,G,F,T。在本文中，除非特别说明，否则用K表示 Hausd orff拓扑向量空间中的非空子集，C表示 Hausd orff拓扑向量空间中的闭凸尖锥。广义集值隐向量拟变分不等式问题是广义集 值隐向量拟变分不等式问题系统的特例，当指标集 I为单值时，广义集值隐向量拟变分不等式问题系 统就简化为广义集值隐向量拟变分不等式问题。定义定义1 设X,Y为Hausd orff拓扑向量空 间,K是X的非空凸子集，C是Y的闭凸尖锥且 intC曎0,S：K曻2丫为一集值映射。(1)若 V,2 和 t 暿(0,1),有S(ti+(1 t)2)U+(1 t)S(2)C,称S是C一凸的，如果一 S是C一凸的，则S是C 凹的。(2)若 V xi,2 暿 K 和 t 暿(0,1),有S(c1+(1 t)2)U S(i)C 或者S(毎 毎+(1 t)2)U S(c2)C,则称S是C 似拟凸的，如果一 S是C 似拟凸 的，则S是C 似拟凹的。定义定义2 设X,Y为拓扑向量空间，K是X的 非空凸子集，T：K曻2丫为一集值映射。(1)若T在如暿K点处是上半C 连续的,那么对于任意包含Y中零元素&的开邻域V,存在 x0的一个开邻域U,使得对于所有的a暿U有 TO U T()+V+C。如果T在K中每一点都 是上半C连续的，则TO 在K上是上半C 连 续的。(2)若T在如暿K点处是下半C 连续的,那么对于任意包含Y中零元素e的开邻域V,存在 工。的一个开邻域U,使得对于所有的工暿U有 TO 暽(T()+V+C)曎0。如果T在K中 每一点都是下半C 连续的，则T()在K上是下 半C连续的。(3)如果T在工。暿K点处既是上半C 连续 的又是下半C 连续的，那么T在X暿K处是C 连续的。如果丁在K中每一点都是C 连续的,则TO在K上是C 连续的。定义定义3 设X,Y为拓扑向量空间，一个集值 映射S：X-2y具有开下截口，如果对于每个，暿 Y,则集合珥()=暿 X I y 暿 S()在X中是开的。定义定义4(转移开性)设X和Y是2个拓扑空 间，令T：X-2y是集值映射，若对于任意的乂暿 X,G TO 都存在,暿X使得y暿intT()。则称T具有转移开值。引理引理1椲 设X和Y是2个Hausd orff线性 拓扑空间，集值映射S：X-2Y,T：X-2Y具有开 下截口，则集值映射H()=SO 暽TO对于 任意的工暿X具有开下截口。引理引理2 令X为Hausd orff拓扑向量空间 的非空凸子集，令T 是集值映射，使得(1)对于每个工暿X,T()都是X的非空凸 子集；(2)1具有转移开值；(3)存在X的非空凸子集如使得口包含于 X的一个紧凸子集中且集合暽c Z(厂二丄)是紧的，其中(厂1)是T1()的补集。那么，存在分 暿X使得工*暿丁(灣)。2 主要结果主要结果本节主要介绍非紧条件下广义集值隐向量拟 变分不等式问题解的存在性定理以及证明。定理定理1 对广义集值隐向量拟变分不等式问 题卩=K,D,G,F,T，如果：(1)集值映射G：K曻2K具有非空凸值且具 有开下截口；(2)不动点集=暿K I 暿GO是 闭且紧的；(3)T(.)在K上是上半连续且具有紧值；(4)集值映射F(,)：D XKXK曻2丫在 DXKXK上是上半一C连续的且具有非空紧 值；(5)V(“，d 暿 DXK,F(,)是(3 凸或 C似拟凸的；16宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年(6)Vh暿K,如果V尤暿G(s),m况暿 T(s)，使得 FSw)煠一in t C;(7)存在K的非空凸子集K0使得K。包含于 X的一个紧凸子集K中且集合暽T暿兔 次(ST1()棭)是紧的暎那么，广义集值隐向量拟变分不等式问题F K,D,G,F,T至少存在一个解，即存在分暿 GS*)满足对于V暿G(o f)Viz暿T(s*),使 F(1,灣,)煠一in t C。证明 证明 任取工暿K,定义集值映射P：Kf 2K U 0如下：P(s)楙暿 K：F(s,)Uin t C,V u 暿 T(1),Vj:暿 K。(1)V 比暿 X,i,2 暿 P(s),暿0,1,由于 K 是凸的，则有切十(1 t)棭2暿K,由于in t C十 CUin t C,根据定理1条件(5)，若FS,*)是C 凸的，则有F(1,了1 十(1 t)2)UF(1,)十(1 t)F(s,2)C U in t C C U in t C。若F(,*)是C 似拟凸的，则F(s,了1 十(1 t)棭2)U1(1,)C U int C C U int C 或者F(s,了1 十(1 t)棭2)UF(1,2)C U in t C C U in t C。综上所述,无论哪种情形都有纱十(1 t)暿 PS)即PS)是凸的，那么PS)具有凸值暎V，暿K,V工暿1(1)暿X：暿 P(1)=暿 K：F(1,)U in t C,V u 暿 丁(1),(1,)具有紧值，则存在零元0的邻域 V,使得尸(1,)十V Uin t C。根据条件(4)对于 任何的n暿T(s)，存在尤的开邻域0(1,)和况的 开邻域0(1)如果卅暿0(1,暿0(1)则U,)十 V C Uin t C C U in t C。因 u 0(1)n T(1)且T(1)是紧的，则存U暿 T(1)在有限个妁，盹，3,暿T(1)使得暼i=10()灲 T(1),记 0(1)暽 0(1,)易知 i=10(1)是工的开邻域，因此只要卅暿O(1)V”暿 T(1)都有 F(1,U in t C,得到 0(1)U1(1),则厂1(1)是开的，那么根据定义2,P(1)具有开下截口暎若要证有解,根据广义集值隐向量拟变分不 等式解的定义，即证烐工灣暿GC1-)使得GC1-)暽 P(1*)0,定义集值映射W：K-2k 暼 0如 下：WO=G(1)n P(s)Vh暿 X。(2)对于每个h暿K,由于G(1)和P(1)是凸的,则W(1)具有凸值,由条件(1),G(s)具有开下截 口，前面证得P(1)具有开下截口，由引理1可得 W(1)具有开下截口暎继续定义集值映射a:U 0如下：x 暿 KA,工暿,a(1)=J G(1),G(s),(3)显然Q(1)具有凸值暎下面证明a(s)具有开下截口，事实上,对于 每个工暿K,根据公式1)由于1)CG1),那 么对于每个y暿K有曾1()灹1()对于每 个y暿K,如果y暿W(1)灹G(1),那么乂()曑 WS)U(TS)暽(、)；如果，暿 G(1)w(s),那么 r r s)&1()暽 1曶)。根据条件1),由于是闭的,那么K在K中 是开的。根据条件(1),由于G(1)具有开下截口，且w(1)具有开下截口，这表明a(1)具有开下截 口。由于a(s)具有开下截口，那么对于任意的 y暿K,厅1()暿K丨y暿Q(1)在X中是 开的，那么必然存在 暿K使得a暿 in t c n-1!),这表明r r1!)是具有转移开值的暎注意到对于每个y暿K,(STS)(ys)暽(CTS)U)或者(STS)G1)u,这表明(STS)灹(ST1S)U。进一步可以 得到暽 d(e1(1)灹暽(s r s)u)=H暿 X暿0(暽(LS)U,X暿其中，(STS)表示 ES)的补集，,()表示(0T(1)的闭包。根据条件(2)和,d(1S)U 是紧的。显然拓扑空间中紧集的闭子集也是紧集,由于暽d s fr s)是 工暿闭的,所以 暽/(OTS)是紧的。根据条件(6),V兀暿GS)都有龙烖PS)。现在,假设V兀暿K有Q S)曎0。利用反证法,第1 期吴慧凌等非紧条件下广义集值隐向量拟变分不等式问题解的存在性17那么根据引理2,存在乂灣e k使得工灣e a s*)。由于a s*)灹G(s*),那么有x*e 暽 w(s*),这与对于所有的乂 e g(s)都有工烖 p(s)相矛盾。因此，一定存在一些工e x使得 a s)曎熈。由于G(s)对于每一个工e x是非空 的，那么一定有 卅e 且w(s)=0。这表明 X.e G(s)且 r e烖 P(s),即 F(s,煠 in t C,得定理1中问题至少存在一个解暎注注：本文关于广义集值隐向量拟变分不等式 问题解的存在性定理推广了文献1中的推论 3.1。接下来介绍相关变分不等式问题解的存在性 推论。若广义集值隐向量拟变分不等式问题中的 集值映射F简化为单值映射八则该问题转变为 广义隐向量拟变分不等式问题,对于此问题解的 存在性有以下结果。推论推论1 考虑广义隐向量拟变分不等式问题 r=K,D,G,T,如果(1)集值映射G：K曻2K具有非空凸值且具 有开下截口；(2)不动点集=ye k i x e g(s)是 闭且紧的；(3)T()在K上是上半连续且具有紧值；(4)(.,)：D XKXK曻 2丫 在 D XKX K上是上半一C连续的且具有非空紧值；(5)V(s,h)e DX K,(s,)是 C凸或 C似拟凸的；(6)v a：e k,如果 v h e G(s),mu e T(s)，使得 f(,)烖一in t C;(7)存在K的非空凸子集K0使得K0包含于 X的一个紧凸子集K中且集合暽“(GS)是紧的暎那么，广义隐向量拟变分不等式问题F=K,D,G,T至少存在一个解。即存在h*e K,满足工*e g(s*),且$e g(s*),m%e T(s*),使 y(s,*,)烖一in t C。推论1的证明与定理1完全相似,因此省略暎 相较于之前有关广义隐向量拟变分不等式问题解 的存在性定理,推论1放松了紧性条件暎此外,若广义集值隐向量拟变分不等式问题中 的集值映射G(s)=K时,那么广义集值隐向量拟 变分不等式问题就转变为广义集值隐向量变分不 等式问题 对于该问题解的存在性有以下结果。推论推论2 考虑广义集值隐向量拟变分不等式 问题=(D,K,F,T,如果(1)T()在K上是上半连续且具有紧值；(2)集值映射F(,)：XKXK曻2丫在 DXKXK上是上半一C连续的且具有非空紧 值；(3)V(s,丄)e DX K,F(s,)是 C凸或 C似拟凸的；(4)V r e e K,3 u e T(s),使得 F(s,)煠一in t C;(5)存在K的非空凸子集K0使得K。包含于 X的一个紧凸子集K中暎那么,广义集值隐向量拟变分不等式问题=(D,K,F,T至少存在一个解。即存在x*e K,满足 F(s*,)煠一in t C,e G(s*)。由于推论2 是在非紧条件下得到的结果 相 较于之前有关广义集值隐向量变分不等式问题解 的存在性定理 推论2 放松了紧性条件 推广了之 前结果。更进一步,若推论2中的集值映射F退化为 单值映射于时,该问题就转变成广义隐向量变分 不等式 对于该问题解的存在性有下面的推论。推论推论3 考虑广义隐向量变分不等式r=K,D,T,如果(1)T()在K上是上半连续且具有紧值；(2)(,)：D XKXK 曻2丫 在 D X KX K上是上半一C连续的且具有非空紧值；(3)V(s,工)e DX K,(,)是 C 凸或 C似拟凸的；(4)v h e k,3 u e t(s),使得 f(s,)烖一in t C;(5)存在K的非空凸子集K0使得K。包含于 X的一个紧凸子集K中暎那么，广义隐向量变分不等式卩=K,D,T 至少存在一个解，即存在x*e k,满足y e G(s*),3 n e T(s*),使 y(s,*,)烖一in t C。同样地,推论3也推广了相关解的存在性定理。3 结束语结束语本文给出了关于广义集值隐向量拟变分不等 式问题在非紧条件下解的存在性定理 在证明过 程中所用到的不动点定理的推广定理来自于文献 3,利用类似的不动点定理得到了有关其他变 分不等式问题的解的存在性推论。本文得到的定 理和推论都在一定程度上推广了原来的解的存在 18宝鸡文理学院学报（自然科学版）2023 年性定理11,这些结果都具有重要的研究意义。参考文献参考文献：CHIANG Y,CHADLI O,YAO J C.Exist en c e o f so l u t io n s t o imp l ic it vec t o r 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