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2014年初中数学乘法公式提高练习

一．解答题（共14小题）
1．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．

2．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

3．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．

4．根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

5．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有　_________　项，系数分别为　_________　；
（2）（a+b）n展开式共有　_________　项，系数和为　_________　．

6．老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．

7．（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．

8．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．

9．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．

10．已知，求的值．

11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．

12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．

13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　_________　
方法2：　_________　
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．　_________　
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=　_________　．

14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×　_________　，752﹣732=4×　_________　．
（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．

2014年初中数学乘法公式提高练习
参考答案与试题解析

一．解答题（共14小题）
1．（2011•大连一模）计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．

考点：
平方差公式；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
根据完全平方公式和平方差公式展开，然后再合并同类项即可．
解答：
解：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1），
=2（m2+2m+1）﹣（4m2﹣1），
=2m2+4m+2﹣4m2+1，
=﹣2m2+4m+3．
点评：
本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键，要注意运算符号的处理．
完全平方公式为：（a±b）2=a2±2ab+b2，平方差公式为（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2．

2．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

考点：
完全平方公式．菁优网版权所有
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
解答：
解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：
x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，
x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；

（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，
a2+ab+b2=（a+b）2+b2；

（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），
=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，
从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
即a=1，b=2，c=1，
∴a+b+c=4．
点评：
本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．

3．（2009•临夏州）若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．

考点：
平方差公式；有理数大小比较．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先通分，化为同分母的分数，再运用平方差公式将分子写成平方的形式，再做比较．
解答：
解：∵a==（3分）
b=（4分）
20082﹣12＜20082（5分）
∴a＜b（6分）
说明：求差通分，参考此标准给分．若只写结论a＜b，给（1分）．
点评：
本题考查了平方差公式，通分后利用平方差公式化简即可判断．

4．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．
解答：
解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；
14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；
17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；
20×20=202﹣02．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，
因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；
所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（5分）
（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）

（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）

（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）
②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）
③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤．（9分）
④若a+b=m，则ab≤．（9分）
⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且
|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且
|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．
点评：
此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．

5．（2006•龙岩）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有　5　项，系数分别为　1，4，6，4，1　；
（2）（a+b）n展开式共有　n+1　项，系数和为　2n　．

考点：
完全平方公式．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．
解答：
解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）当a=b=1时，（a+b）n=2n．
故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．
点评：
本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

6．（2006•安徽）老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．

考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
解答：
解：（1）112﹣92=8×5，132﹣112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，
则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，（m﹣n）一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．
当m，n一奇一偶时，则（m+n+1）一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数
所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．
点评：
本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．

7．（2006•肇庆）（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．

考点：
平方差公式．菁优网版权所有
分析：
（1）用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即解得结果；
（2）用立方和公式直接计算．
解答：
解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2），
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3，
=a3+b3；

（2）x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），
=（x+y）[（x+y）2﹣3xy]，
∵x+y=1，xy=﹣1，
∴x3+y3=1×[12﹣3×（﹣1）]=4．
点评：
本题考查了平方差公式，在计算（2）时，用整体思想比较简单，也可先将x+y=1，xy=﹣1组成方程组来解答．

8．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．

考点：
完全平方式．菁优网版权所有
分析：
先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．
解答：
解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，
∵原式为完全平方式，
∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），
解得a=±10．
点评：
本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．

9．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．

考点：
完全平方公式；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
解答：
解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4
=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4
=（x﹣y）2+（y+2）2
=0，
∴x﹣y=0，y+2=0，
解得x=﹣2，y=﹣2，
∴xy=（﹣2）﹣2=；

（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，
a﹣5=0，b﹣4=0，
解得a=5，b=4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
点评：
本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．

10．已知，求的值．

考点：
完全平方公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
把a+=两边平方得到（a+）2=10，然后根据（a±b）2=a2±2ab+b2变形得到（a﹣）2+4=10，最后利用平方根的定义计算即可．
解答：
解：∵a+=，
∴（a+）2=10，
∴（a﹣）2+4=10，
∴a﹣=±．
点评：
本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力以及平方根的定义．

11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．

考点：
完全平方公式．菁优网版权所有
专题：
计算题；整体思想．
分析：
本题可根据题中条件计算出x+y和x﹣y的值，然后代入，即可求出答案．
解答：
解：
①∵（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，
∴得（x+y）2﹣（x﹣y）2=1﹣49，
即4xy=﹣48，
故得xy=﹣12，
②∵（x+y）2=1，
∴即x2+y2+2xy=1，
由上问xy=﹣12，
进一步可得x2+y2=25，
故得x2+y2=25．
点评：
本题考查完全平方公式的应用，找出式子间的关系即可．

12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．

考点：
完全平方公式；完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
分析：
（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
（3）由（2）得，将m﹣n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．
解答：
解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn．
方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（4分）

（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn）．（6分）

（3）由（2）得（m+n）2﹣4×12=42，即（m+n）2=64，
∴m+n=±8．又m、n非负，∴m+n=8．（8分）
点评：
本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．

13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　（m+n）2﹣4mn　
方法2：　（m﹣n）2　
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．　（m+n）2=（m﹣n）2+4mn　
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=　29　．

考点：
完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
专题：
图表型．
分析：
（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（m﹣n）；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（4）将a+b=7，ab=5，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（a﹣b）2的值．
解答：
解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（m﹣n）；

（2）方法一、阴影部分的面积=（m+n）2﹣2m•2n；
方法二、阴影部分的边长=m﹣n；故阴影部分的面积=（m﹣n）2．

（3）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；

（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=29．
故答案为：（m+n）2﹣4mn、（m﹣n）2； （m+n）2=（m﹣n）2+4mn；29．
点评：
本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．

14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×　50　，752﹣732=4×　74　．
（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．

考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
（1）由62﹣42=4×5，5界于4和6之间的正整数，112﹣92=4×10，10界于11和9之间的正整数，172﹣152=4×16，16界于17和15之间的正整数，可得出512﹣492=4×50，752﹣732=4×65，
（2）由（1）推出该规律为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）．
解答：
解：（1）由62﹣42=4×5，5界于4和6之间的正整数，
112﹣92=4×10，10界于11和9之间的正整数，
172﹣152=4×16，16界于17和15之间的正整数，
∴试着推出：512﹣492=4×50，50界于49和51之间的正整数，且左边=右边成立，
752﹣73=2=4×74，74界于75和73之间的正整数，且左边=右边成立，
故答案为50，74；

（2）可以得出规律：（n+2）2﹣n2=4（n+1），
左边=（n+2）2﹣n2=（n+2+n）（n+2﹣n）=4（n+1）=右边．
点评：
本题主要考查了由给出的各式推出一个规律：（n+2）2﹣n2=4（n+1），考查了学生的观察能力及由题意推出规律的能力，难度适中．