交叉克尔非线性对二阶非线性诱导透明的影响.pdf

第41卷第6 期2024年12 月J.At.Mol.Phys.,2024,41:065002(6pp)交叉克尔非线性对二阶非线性诱导透明的影响原子与分子物理学报JOURNAL OF ATOMIC AND MOLECULAR PHYSICSVol.41 No.6Dec.2024孟楠（郑州商学院通识教育中心，郑州4512 0 0）摘要：考虑耦合介质存在交叉克尔非线性的情形下，研究了交叉克尔效应对耦合双谐振腔中二阶非线性诱导透明的影响：首先给出了描述体系理论模型的哈密顿量，再通过对海森堡一朗之万方程进行线性化，得到了探测场的透射率,进而得出系统的吸收和色散关系研究结果表明，在交叉克尔非线性强度较小时，可忽略其对诱导透明的影响；随着交叉克尔非线性强度的增大，诱导透明窗口宽度随之快速变窄：此外，吸收曲线中还出现了双吸收峰，进一步增强交叉克尔非线性，导致原本出现的诱导透明消失，并在新吸收峰处产生了新的诱导透明，新的诱导透明的吸收零点位置随着交叉克尔非线性增加而向左偏移：这些结果可能在不透明介质的窄窗口光传输和提高光学腔的性能方面提供一些参考.关键词：交叉克尔非线性；诱导透明；量子光学中图分类号：0 43 1.2Effect of cross-Kerr nonlinearity on second-ordernonlinearity induced transparency文献标识码：AD0I:10.19855/j.1000-0364.2024.065002MENG Nan(General Education Center,Zhengzhou Business University,Zhengzhou 451200,China)Abstract:Considering the presence of cross-Kerr nonlinearity in the coupling medium,the influence of thecross-Kerr effect on the second-order nonlinearity induced transparency in coupled dual optical cavities is stud-ied analytically.Firstly,the Hamiltonian that describes the theoretical model of the system is given,and then thetransmittance of the detection field is obtained by linearizing the Heisenberg-Langevin equation,and finally theabsorption and dispersion relations of the system are obtained.The numerical simulation results showed that whenthe strength of the cross-Kerr nonlinearity is small,its influence on the induced transparency can be ignored.Asthe strength of the cross-Kerr nonlinearity increases,the width of the induced transparency window narrows rapid-ly.In addition,double absorption peaks appear in the absorption curve.When the cross-Kerr nonlinearity is fur-ther enhanced,the original induced transparency disappears,and a new induced transparency is generated at thenew absorption peak.The zero-absorption position of the new induced transparency shifts to the left side as thecross-Kerr nonlinearity increases.These results may provide some useful assistance in the narrow-window lighttransmission of opaque media and the improvement of the performance of optical cavities.Key words:Cross-Kerr nonlinearity;Induced transparency;Quantum optics可以显著提高特定频率的光的透射率，使系统对1 引 言原本不透明的光变得几乎透明的现象这一现象诱导透明是利用外加相干光场来控制系统的最早由Harris和Imamoglu在理论上预言1，并且光学响应特性（Optical response），在一定条件下在19 9 1年首次在锶原子的三能级体系上观测到，收稿日期：2 0 2 3-0 4-11作者简介：孟楠（19 9 1一），女，山东滕州人，硕士，讲师，主要研究方向为应用数学E-mail：me n g n a n _f w n f 16 3.c o m065002-1第41卷并被称为电磁诱导透明（Electromagnetically in-duced transparency，EIT)后来，在其他类型的光学体系中也观测到诱导透明现象：如2 0 10 年，Weis等人2 利用微腔模式与光场的作用，模拟原子体系的三能级系统，同样可以产生诱导透明，这被称为光机械诱导透明（Optomechanicallyin-duced transparency，O M IT)之后，在更多光学系统中实现了诱导透明3 一方面，寻找合适的能够实现诱导透明的光学系统，是当前的研究热点之一，2 0 17 年，Zhou等人4 在理论上预言了两个通过二阶非线性介质耦合的光学腔也可以产生诱导透明，他们称之为二阶非线性诱导透明（Second-order nonlinearity in-duced transparency，SO NI T）另外一方面，在已有的诱导透明系统中，寻找和探究某些可控的物理量对诱导透明吸收和色散行为的影响，从而调控透明窗口宽度等诱导透明性属性，可能为将来的应用提供参考，也是研究热点之一，对于光学腔的耦合非线性介质，具有交叉克尔非线性当前，大量的研究重点关注了交叉克尔非线性在光学系统中的影响和应用5-12 在理论方面，Dalafi等13 研究发现，由于介质的交叉克尔非线性与原子间相互作用存在竞争，会影响系统的双稳态行为Wen等人14 通过引人交叉克尔非线性来打破两种退化光学机械模式的暗模式效应，最多可以实现四个稳态Dong等人15 给出了一种基于双模式光子数匹配过程的非局域方法，利用弱交叉克尔介质产生了成对相干态：在应用方面，可以利用交叉克尔非线性，实现了多种量子逻辑门16-18 ，这为量子信息处理提供了基础。Guo等人19 提出了利用交叉克尔非线性构造的一种用于光子量子比特的简化奇偶校验计，其具有更低的误码率和更广泛的应用Fukui等人2 0 1利用交叉克尔非线性，提出了用于容错量子计算的光学 Gottesman-Kitaev-Preskill（G K P）量子比特的方案，该方案可以满足高质量的容错量子计算Xia等展示了2 1 可以在室温下使用原子的手性交叉克尔非线性来实现光学隔离器和环行器，且可兼容光学片上系统。受上述研究成果启发，将交叉克尔非线性应用于二阶非线性诱导透明之中，研究交叉克尔非线性对诱导透明的影响本文，基于海森堡朗之万方程，解析的研究了交叉克尔非线性对耦合双谐振腔中二阶非线性诱导透明的影响，根据解原子与分子物理学报析结果，数值模拟了不同交叉克尔非线性系数下，系统的吸收和色散曲线，并对结果进行讨论：2王理论模型及解析结果2.1理论模型两个单模腔A和B，通过二阶非线性介质耦合，两个腔的频率分别为A和B，且有A=2B：二阶非线性介质具有交叉克尔非线性，设其系数为uck如图1所示，Ec,OcEp,OpboutFig.1 Schematic diagram of a dual resonant cavity system系统的哈密顿可以写为H=wata+wgb6+b+g(a*)*b+6+a2+ucratab*b+iEcae-ioc+Epb*eiorm+H.,(1)其中,a（a）表示腔A的产生（灭)算符,6+（6)表示腔B的产生（潼灭)算符：式（1）的最后一项表示外界光对腔的两个驱动，一个是强的控制光，强度为Ec，频率为c，另一个为弱的探测光，强度为Ep，频率为p.g表示二阶非线性相互作用系数，uck为介质的交叉克尔非线性系数.为了研究系统的演化，采用相对于控制场频率的旋转框架，我们对系统应用酉变换，定义一个新的算符H(t）=e x p i w c t(a+a +2 6+6),再通过这个算符定义有效哈密顿算符为He=Ha=4(a*a+26+b)+g(a*)b+a26*+ucka*ab*b+i(Eca+Epeng*+H.c.),(2)其中=WA-Wc,2=Wp-2Wc:由海森堡朗之万方程（HeisenbergLa n g e-方便起见，令h=1.可得：aat065002-2第6 期ucKB图1双谐振腔系统示意图a+ain第41卷tEpeiou2其中。和分别是模A和模B的衰减率，an和6，是相应的输人场需要注意到的是，输人场的平均值为0，即ain=0，b m=0 应用平均场近似，对式(3)取平均值，并做记号a）=，a*）=*，6）=b，其中上标“”表示复共轭则方程(3)变为a=-ia-igab-iucrab*b+Ec-Yaat2b.-i24b-iga-iucraab+Epe-inu_ t2(4)2.2解析结果由于方程中存在非线性项，方程组（4）很难直接求解：下面，对方程组（4)进行线性化处理：假定每个算符的平均值都可以表示成一个稳态值和一个小的涨落之和的形式，即为=o+,b=bo+8b，其中o，b。为常数将其代人到方程组(4)中，考虑到EcEp，故将E看成一个小量，并忽略高阶小量对稳态，可得=024b。+g a o +u c a o a o b。-i b。=0.(5)2对涨落，可得(Sa)=-iXSa-2ig(ao*Sb+b.oa*)-(8b)=-2iAsb-2igaooa-iuck(ao*aob+ta boa aoboa)-b+Epe-m(6)对稳态的方程组（5），设其解形式为=Al+iA2bo=B,+iB2，其中的Ai,A2,Bi,B,均为实数，代人到方程组(5)中，有A +2 g(A,B,+A,B,)+uc(A,B,+A,B,)+YA,=0A 2 +2 g(A,B2 -A,B,)+ucx(A,BP+A,B,)+Ec-A,=0孟楠：交叉克尔非线性对二阶非线性诱导透明的影响-i246-iga?-iuckat ab+_6+bin,2第6 期2AB,+g(Af?-A,2)+ucx(A,B+A,B,)+兰B=0(3)24B,+2gA,A,+uc(A,B,+A,B,)-兰B,=0.(7)对涨落的方程组（6），设其解形式为a=A*Epe-in+AE,enGa=A*E,e+A*Epe-0b=B*Epe-0+B E;,eiaSb*=B*Epei0pe-in代人到方程组（6），可得(-i0+i4+iucxb.bo+)2(i2gao*+iuckaobo)B*+i2gboA-*+iuckaoboB-*=0(io+i4+iucbobo+)2(i2gao+iuckaobo*)B+i2gboA+*+iuckaoboB+*=0(-i0+i24+iuckaoao+(ig2ao+iuckaobo)A*+iuckaoboA*-1=0(i0+i24+iucraoao+(ig2ao+iuckao*bo)A+iuckaoboA*=0.我们关注的是探测场的透射率，其仅依赖于B*，求解上述方程，得到：Ff+fafa(ff-f)+Fafsf。+Fa f f其中,-i0+i+iab.-=0+i22iuckaobo*fo=ig2ao+iuckaobo f,=i2gbo fs=iuckaobo,Ff=f?-f?-f?-ff-fs,Fz=f.-fifs-fafa,Fs=fafs+ff。+f f s +f a f o.3丝结果与讨论应用腔的输入输出关系，可以得到探测场的065002-32+B-EPA+A+B+2B+2(9)(10)2(8)第41卷输出为bou=bin-Vyb=Epe-ion(bo+BEpen+BEpei),(11)探测场的透射系数由下式给出Ep-VB*Ep=1-/B*,(12)Tp=Ep它可以通过homodyne技术来测量相应的正交场定义为=B，正交场的实部Rer为吸收系数，虚部Im8 为色散系数.根据当前试验文献中的实验数据2-2 5，我们(a)uck=03.0-a u pue ao2.01.00-1.0-2.0-2-1(d)ucK=0.15%a3.0La u pue ao2.01.00-1.0-2.0-2Fig.2 The absorption coefficient Re er and dispersion coefficient Im er of the probe field as a function of Q/underdifferent cross-Kerr nonlinearities.首先，考虑介质不存在交叉克尔非线性时，即交叉克尔非线性系数uck=O时，系统的色散与吸收关系，如图2(a)所示从图2(a)中可以看到，在Q/=1这一点，吸收系数Rer和色散系数Im8 都等于零，也就是腔对探测场的吸收为零而折射率接近于1，此时，介质在强的相干作用下对探测光就完全透明了，这就是典型的诱导透明现象由于这种诱导透明是在介质的二阶非线性作用的影响下产生的，因此被称为二阶非线性诱导透明。接着，我们考察交叉克尔非线性对二阶非线性诱导透明的影响我们从设置交叉克尔非线性系数uck=0.05。开始，此时，探测场的吸收系数和色散系数随Q/的变化情况如图2(b）所示.原子与分子物理学报选取适当的参数，讨论交叉克尔非线性对诱导透明的影响为了计算方便起见，本文中的各种物理量，单位都统一以为参考单位计算参数选取为：/%=0.2 5,%/%=0.0 0 2 5,g/%=0.003,Ec/%，=5.5.考虑到交叉克尔非线性是材料的二阶非线性效应，其数值较小，我们取ucK的范围为0-0.2 5。：图2 给出了不同交叉克尔非线性强度情况下，探测场的吸收系数和色散系数随Q/的变化情况图像。(b)ucK=0.05%a3.0raal pure rao2.01.00-1.0ReleT.-Imjerl012342/a ul pue aoReler.-Imer-1012342/图2 不同交叉克尔非线性强度时，探测场的吸收和色散随Q/A的变化关系曲线图像.第6 期(c)ucK=0.10%a3.0auI pue 2.01.030ReeT-1.0.-Imjer-2.0-2-1(e)ucK=0.20a3.02.01.00-1.0-2.0-2Relerl-Imjer-2.0012342/4a u pue aoReler-Imerl-1012342/比较图2(a)和图2（b），吸收和色散曲线的变化比较小，仅吸收曲线左侧的吸收峰变窄，这说明在交叉克尔非线性效应较小时，其对诱导透明的影响基本可以忽略不计接下来，增加交叉克尔非线性系数至uck=0.10%。，从图2(c)中可以看到，吸收曲线发生了显著变化，诱导透明窗口的宽度变窄，并且，在Q/=1点，出现了一个低矮的吸收峰当进一步增加交叉克尔非线性系数至uck=0.15。时，出现了双吸收峰，见图2（d)在Q/=1点处的诱导透明窗口的宽度变的非常小，同时在左侧的吸收峰的峰值显著增加，吸收零点位置移动到了Q/=-1.16 处，与之对应的色散曲线出现了低谷，但由于色散不为0，因此在这一点还没有产生诱导透明这说明，交065002-4-2-1(f)ucK=0.25%a3.02.01.00-1.0-2.0-2012342/Reler-.-Imje-1012342/第41卷叉克尔效应对诱导透明窗口宽度有显著影响，而压缩透明窗口宽度可以应用于光学腔中不透明介质的窄窗口光传输，提高器件的Q值.最后，我们增加交叉克尔非线性系数至ucK=0.20%。，此时探测场的吸收与色散曲线如图2（e)所示从图中可以发现，在Q/=-1.2 8 处，吸收系数Re8 和色散系数Im8 都等于零,也就是在此处新产生了诱导透明。在右侧原来产生诱导透明的吸收零点位置移动到Q/=1.25点处，并且色散系数不再为零，可以认为，此处的诱导透明消失：更进一步的增加交叉克尔非线性系数至uck=0.25%。时，新产生的诱导透明吸收零点位置向左移动至Q/=1.48 处，右侧吸收零点位置移动到Q/=1.3 8 点处由此可以看出，随着交叉科尔非线性的增强，导致原来的诱导透明消失，而在新位置又产生了新的诱导透明，而且使新产生的诱导透明的吸收零点位置向左侧发生了偏移这些结果表明，利用交叉克尔非线性可以调节诱导透明窗口位置，即选择性的让某一频率的光通过介质，这可能在信息传输和处理等实际应用中有一定的价值.4结论总之，基于海森堡朗之万方程，解析的研究了交叉克尔非线性对耦合双谐振腔中二阶非线性诱导透明的影响，首先，给出了描述体系理论模型的哈密顿量，接着，应用平均场近似，得到了腔变量满足的海森堡一朗之万方程，最后，通过对海森堡朗之万方程进行线性化，得到了探测场的透射率，以及系统的吸收和色散关系，选取适当的参数，通过数值计算，讨论了交叉克尔非线性对诱导透明的影响结果发现，在交叉克尔非线性较小时，对诱导透明的影响很小，可忽略其对诱导透明的影响；增加交叉克尔非线性强度，诱导透明窗口宽度变窄，且吸收曲线中出现了双吸收峰，进一步增强交叉克尔非线性，导致原来出现的诱导透明消失，并在新吸收峰处产生了新的诱导透明，且新的诱导透明的吸收零点位置随着交叉克尔非线性增加而向左偏移这些结果表明，交叉克尔效应可以压缩透明窗口宽度，还可以调节感应透明的位置，在实际应用中可以应用于不透明介质的窄窗口光传输，提高光学腔系统的光学性能。孟楠：交叉克尔非线性对二阶非线性诱导透明的影响Lett.,2022,47:5529.065002-5第6 期参考文献：1Harris S E,Field J E,Imamoglu A.Nonlinear opticalprocesses using electromagnetically induced transparen-cy J.Phys.Rev.Lett.,1990,64:1107.2Weis S,Riviere R,Deleglise S,et al.Optomechani-cally induced transparency J.Science,2010,330:1520.3Qin H Y,Ding M,Yin Y H.Induced transparencywith optical cavitiesJ.Adv.Photon.Res.,2020,1:2000009.4Zhou Y H,Zhang S S,Shen H Z,et al.Second-or-der 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