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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是
A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.的角的直观图会变为的角
C.与轴平行的线段长度变为原来的一半 D.原来平行的线段仍然平行
2．
A. B.
C. D.
3．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A. B.
C. D.
4．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
5．已知角α的终边过点，则的值是（ ）
A. B.
C.0 D.或
6．已知函数，则（ ）
A. B.3
C. D.
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8．若集合，则集合的所有子集个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
9．若函数（，且）在区间上单调递增，则
A.， B.，
C.， D.，
10．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．计算___________.
12．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为__________
13．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________
14．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______
答案】
15．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知向量，，函数，且的图像过点.
（1）求的值；
（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各点最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间.
17．已知定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式
18．已知集合，
（1）求集合，；
（2）若关于的不等式的解集为，求的值
19．某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.7元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为.试问当地电价最低为多少元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
20．已知集合且
（1）若，求的值;
（2）若，求实数组成的集合
21．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形,故 正确；的角的直观图不一定的角，例如也可以为，所以不正确；由斜二测画法可知，与轴平行的线段长度变为原来的一半,故正确；根据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍然平行,故正确,故选B.
2、A
【解析】，选A.
3、B
【解析】根据并集的定义进行求解即可.
【详解】由题意得，，显然中元素的个数是5.
故选：B
4、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
5、B
【解析】根据三角函数的定义进行求解即可.
【详解】因为角α的终边过点，
所以，
，
，
故选：B
6、D
【解析】根据分段函数的解析式，令代入先求出，进而可求出的结果.
【详解】解：，
则令，得，
所以.
故选：D.
7、B
【解析】根据图像得到，，计算排除得到答案.
【详解】根据图像知
选项：，排除；
D选项： ，排除；
根据图像知
选项：，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
8、D
【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选
9、B
【解析】函数在区间上单调递增，
在区间内不等于，故
当时，函数才能递增
故选
10、D
【解析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为；
向左平移个单位得，
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：，k∈Z，
k＝1时，.
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、2
【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.
【详解】.
故答案：2
12、
【解析】联立方程组求得交点的坐标为，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式可得所求直线的方程.
【详解】联立方程组，得交点，
因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，即.
故答案为：.
13、
【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
14、
【解析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离
【详解】设该点的坐标是（x，y，z），
∵该点到三个坐标轴的距离都是1，
∴x2+y2＝1，
x2+z2＝1，
y2+z2＝1，
∴x2+y2+z2，
∴该点到原点的距离是
故答案为
【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题
15、3
【解析】由
将对数转化为指数
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）.
【解析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数的解析式，再把点代入，求得的值
（2）根据函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间
【详解】（1）已知，
过点
解得: ；
（2）
左移后得到
设的图象上符合题意的最高点为，
解得，解得，
，
，
的单调增区间为.
【点睛】本题主要考查了三角函数与向量的简单运算知识点，以及函数的图象变换，属于中档题.
17、（1）1；（2）.
【解析】（1）由奇函数的性质有，可求出的值，注意验证是否为奇函数.
（2）根据函数的奇偶性、单调性可得，再结合对数函数的性质求解集.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
经检验是奇函数，即
【小问2详解】
由，得，又是定义在上的奇函数，
所以，易知在上递增，
所以，则，解得，
所以原不等式的解集为
18、（1），
（2）
【解析】（1）根据集合的并集、补集概念即可求解；（2）根据交集的概念和一元二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以
因为，
所以，
【小问2详解】
因为
所以的解集为
所以解为
所以
解得，
19、电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.
【解析】 根据题意列新增用电量，再乘以单价利润得收益，列不等式，解一元二次不等式，根据限制条件取交集得电价取值范围，即得最低电价
试题解析：设新电价为元/千瓦时，则新增用电量为千瓦时.依题意，有，
即，整理，得，
解此不等式，得或，又，
所以，，
因此，，即电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.
20、（1），
（2）
【解析】（1）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值；
（2）求得集合，由分类讨论可得值
【小问1详解】
因，，
且，，所以，，所以，
解得，所以．所以，所以，解得
【小问2详解】
若，可得，因为，
所以．当，则；当，则；当，
综上，可得实数a组成的集合为
21、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【解析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；
（2）结合正弦函数的性质求得最大值
【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin－R2，θ∈.
（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值
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