资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
2．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．点M(1,4)关于直线l:x-y+1=0对称的点的坐标是（ ）
A.(4,1) B.(3,2)
C.(2,3) D.(-1,6)
4．设集合，则（ ）
A.{1，3} B.{3，5}
C.{5，7} D.{1，7}
5．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）
A. B.
C. D.
6．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7．函数在的图象大致为
A. B.
C. D.
8．设若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）
A.① B.②
C.③ D.④
10．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________
12．求值：__________.
13．已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________
14．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
15．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________
16．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则的值是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数是定义域为上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：在上增函数.
19．已知函数
（）用五点法作出在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）
（）求在时的值域
20．已知函数，
（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；
（2）若方程在上的解为，，求的值
21．已知集合，.
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.
【详解】函数的定义域为，
，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；
x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.
故选：C
2、D
【解析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D
3、B
【解析】设出关于直线对称点的坐标，利用中点和斜率的关系列方程组，解方程组求得对称点的坐标.
【详解】设关于直线对称点的坐标为，线段的中点坐标为，且在直线上，即①.由于直线的斜率为，所以线段的斜率为②.解由①②组成的方程组得，即关于直线对称点的坐标为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查点关于直线的对称点的坐标的求法，考查方程的思想，属于基础题.
4、B
【解析】先求出集合B，再求两集合的交集
【详解】由，得，解得，
所以，
因为
所以
故选：B
5、C
【解析】利用弧长公式求解.
【详解】因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：，
故选：C
6、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D
【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
7、C
【解析】当时, ,去掉D; 当时, ,去掉B;因为 ，所以去A，选C.
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
8、A
【解析】将分别与比较大小，即可判断得三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以可得的大小关系为.
故选：A
9、B
【解析】根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.
【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不已知函数图象.
故选：B.
10、D
【解析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，的定义域为，
而，但，
故在定义域上不是增函数，故A错误.
对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，
故B错误.
对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.
对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，
而，故为奇函数，符合.
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.
【详解】由于满足，即，可得，
所以，，
所以，方程的两根分别为、，
而可化为，即，
所以，方程的两根分别为、，
，且不等式解集为，
所以，，解得，则，因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.
12、
【解析】利用诱导公式一化简，再求特殊角正弦值即可.
【详解】.
故答案为：.
13、
【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.
【详解】因为为R上偶函数，则，
所以，
所以，即，
因为为上的减函数，，所以，
解得，所以，的范围为.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；
（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
偶函数的性质：；奇函数性质：；
若在D上为增函数，对于任意，都有；
若在D上为减函数，对于任意，都有.
14、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为
15、
【解析】，，中点坐标为，圆的半径以为直径的圆的标准方程为，故答案为.
16、
【解析】，把代入，得
，，
，故答案为
考点：1、已知三角函数的图象求解析式；2、三角函数的周期性
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点） 时；“第二点”（即图象的“峰点”） 时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点） 时；“第四点”（即图象的“谷点”） 时；“第五点”时
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.
(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.
【小问1详解】
因函数的图象恒在直线上方，即，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是：.
【小问2详解】
依题意，，，
令，，
令函数，，，
，而，即，，
则有，即，于是得在上单调递增，
因此，，，即，从而有，则，
所以实数的取值范围是.
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用奇函数可求，然后利用可求，从而可得解析式；
（2）先设量，作差，变形，然后判定符号，可得单调性.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，即；
因为，所以，即；
所以.
为奇函数
综上，
（2）证明：任取，设，
；
因为，，
所以，，所以，
故在上是增函数.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解和单调性的证明，明确函数单调性的证明步骤是求解的关键，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
19、 (1)见解析；（2）值域为.
【解析】分析：(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用，，，，描点作图即可；（）当时，，可得， ，从而可得结果.
详解：（），
，
，
，
五点作图法的五点：
，，，，
（）当时，，
∴，此时，，即，
，此时，，即，
∴在时的值域为
点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
20、（1）当时，函数取得最大值为；（2）.
【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简，再利用换元法即可求最值以及取得最值时的值；
（2）求出函数的对称轴，得到和的关系，利用诱导公式化简可得答案.
【详解】（1），
令，
可得，对称轴为 ，开口向下，
所以在上单调递增，
所以当，
即，时，，
所以当时，函数取得最大值为；
（2）令，可得，
当时，是的对称轴，
因为方程在上的解为，，
，，
且，所以，所以，
所以
，
所以的值为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；
（2）依题意可得集合Ü，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；
【小问1详解】
解：由得解，所以，又
若，分类讨论：
当，即解得，满足题意；
当，即，解得时，
若满足，则必有或；
解得.
综上，若，则实数t的取值范围为.
【小问2详解】
解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合Ü，
若，即，解得，
若，即，即，则必有，解得，
综上可得,，
综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求
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