资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若幂函数的图象经过点，则＝
A. B.
C.3 D.9
2．在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为
A. B.
C. D.
5．已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
A. B.
C. D.
6．下列关系中，正确的是
A. B.
C. D.
7．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（ ）
A.5℃ B.10℃
C.15℃ D.20℃
8．已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）
A. B.
C. D.
10．若，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________
12．已知，且，则__
13．已知,则的值为________
14．已知，则__________.
15．若，则的取值范围为___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数.
（1）当时，求在上的值域；
（2）当时，已知，若有，求的取值范围.
17．已知直线的方程为
（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程
18．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间
19．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）若在上的最小值为，求的值.
20．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中a值；
（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；
（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.
21．已知函数，
（1）求证：为奇函数；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值
【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，
其图象经过点，
∴2α，
解得α，
∴f（x），
∴f（3）
故选B
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题
2、D
【解析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]
故选D
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题
3、A
【解析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4、D
【解析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.
详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，
当时，m＝9.
【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.
5、A
【解析】，故选A.
6、C
【解析】利用元素与集合的关系依次对选项进行判断即可
【详解】选项A：，错误；
选项B，，错误；
选项C，，正确；
选项D， 与是元素与集合的关系，应该满足，故错误；
故选C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
7、B
【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；
【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；
故选：B
8、B
【解析】
应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．
【详解】因，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．
9、C
【解析】如图，取中点，
则平面，
故，因此与平面所成角即为，
设，则，，
即，
故，故选:C.
10、A
【解析】利用作为分段点进行比较，从而确定正确答案.
【详解】，
所以.
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、（3，0）
【解析】若函数是幂函数，则，
则函数（其中，），
令，计算得出：，，
其图象过定点的坐标为
12、
【解析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】解：因为，
整理可得，
解得，或2（舍去），
由于，
可得，，
所以，
故答案为：
13、
【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.
【详解】
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.
14、3
【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：3
15、
【解析】一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.
【详解】由，得.由题意可得，，即.因为，所以，故.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）.
【解析】（1）将方程整理为关于的二次函数，令，利用二次函数的图象与性质求函数的值域；
（2）利用换元法及二次函数的性质求出函数在上的值域A，根据对数函数的单调性求出函数在区间上的值域B，根据题意有，根据集合的包含关系列出不等式进行求解.
【详解】（1）当，
令，设，，
函数在上单调递增，，
的值域为.
（2）设的值域为集合的值域为集合根据题意可得，
，
令，，，
函数在上单调递增，且，
，
又，所以在上单调递增，
，，
由得，
的取值范围是.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集
17、（1）
（2）或
【解析】直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
设所求直线方程为，由于点到该直线的距离为，可得，解出或，即可得出答案；
解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，
又∵过点，∴所求直线方程为，
即
（2）依题意设所求直线方程为，
∵点到该直线的距离为，
∴，解得或，
所以，所求直线方程为或
18、（1）
（2）单调递增区间是
【解析】（1）根据公式可求函数的最小正周期；
（2）利用整体法可求函数的增区间.
【小问1详解】
∵，
∴最小正周期
【小问2详解】
令，解得，
∴的单调递增区间是
19、（1） ； （2） .
【解析】（1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；
（2）由题意，化简得，设，根据复合函数性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解
【详解】（1）由题意，函数，
满足 ，解得，即函数的定义域为
（2）由，
设，则表示开口向下，对称轴的方程为，
所以在上为单调递增函数，在单调递减，
根据复合函数的单调性，可得
因为，函数在为单调递增函数，在单调递减，
所以，解得；
故实数的值为
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题
20、（1）
（2）众数为，平均数为
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
可得，
（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；
（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
【小问2详解】
解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，
平均数为.
【小问3详解】
解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，
所以75%分位数为.
21、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；
（2）原不等式等价为对恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；
（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.
【小问1详解】
函数，
由解得或，可得定义域，关于原点对称，
因为，
所以是奇函数；
【小问2详解】
由或，解得，
所以恒成立，即，
则，即对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围为；
【小问3详解】
不等式即为，
设，即，可得在上递减，
所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
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