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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知角的终边经过点，则的值为（）
A.11 B.10
C.12 D.13
2．已知向量，且，则
A. B.
C. D.
3．设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（）
A. B.
C. D.
5．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B.
C. D.
6．下列各组函数中，表示为同一个函数的是
A.与 B.与
C.与 D.与且
7．等于
A. B.
C. D.
8．已知直线与平行，则实数的取值是
A.－1或2 B.0或1
C.－1 D.2
9．已知，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．函数的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
11．下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）
A. B.
C. D.
12．已知命题：，，那么命题为（）
A.， B.，
C.， D.，
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.
14．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟
15．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
16．已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知直线与的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过交点且平行于直线的直线方程.
18．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s
参考数据：，
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
19．已知函数（，）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
20．在某单位的食堂中，食堂每天以元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以（单位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（单位：元）表示利润.
(Ⅰ)计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
(Ⅱ)将表示为的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率.
21．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值
22．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由角的终边经过点，根据三角函数定义，求出，带入即可求解.
【详解】∵角的终边经过点，
∴，
∴.
故选：B
【点睛】利用定义法求三角函数值要注意：
(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；
(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论
2、B
【解析】由已知得，
因为，
所以，即，
解得.选B
3、D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4、B
【解析】根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；
【详解】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，
∵，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5、D
【解析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
6、D
【解析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
7、A
【解析】分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式化简所给的式子，可得结果.
详解：
.
故选：A.
点睛：本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题.
8、C
【解析】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C.
9、B
【解析】根据对数函数的性质即可确定的范围.
【详解】由对数及不等式的性质知：，而，
所以.
故选：B
10、C
【解析】根据正弦型函数图象与性质，即可求解.
【详解】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得
故选：C.
11、B
【解析】根据函数的单调性确定正确选项
【详解】在上递增，不符合题意.
在上递减，符合题意.
在上有增有减，不符合题意.
故选：B
12、B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题：，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，，
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.
【详解】当时，恒有，此时无零点，则，
∴要使上有2个零点，只需即可，
故有2个零点有；
当时，存在，此时有1个零点，则，
∴要使上有1个零点，只需即可，
故有2个零点有；
综上，要使有2个零点，m的取值范围是.
故答案为：.
14、10
【解析】借助三角函数模型，设，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.
【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.
设时，南鸢同学位于点，以为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意，可得，，
令，，可得，
所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是分钟，
故答案为：10.
15、36
【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；
故答案为：
16、
【解析】根据幂函数定义，可求得a值，根据其单调性，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
又在其定义域上是增函数，
所以，所以.
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、 (1) 点的坐标是;(2) 直线方程为.
【解析】（1）联立两条直线的方程得到交点坐标；（2）根据条件可设所求直线方程为，将P点坐标代入得到参数值
解析：
（1）由解得
所以点的坐标是.
（2）因为所求直线与平行，
所以设所求直线方程为
把点坐标代入得，得
故所求的直线方程为.
18、（1） m/s
（2）45
【解析】（1）运用代入法直接求解即可；
（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.
【小问1详解】
当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
【小问2详解】
A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45
19、（1）
（2）
（3）当时，；当时，
【解析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【小问1详解】
根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
【小问2详解】
当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
【小问3详解】
由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
20、 (1) 平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(2).
(3) 该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【解析】由频率分布直方图的数值计算可得平均数，众数，中位数
由题意，当时，求出利润，当时，求出利润，由此能求出关于的函数解析式
设利润不少于元为事件，利润不少于元时，即，再根据直方图利用概率计算公式求出对应的概率
【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图知
,故中位数位于（70.，80）设为x,则（x-70）
所以平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(Ⅱ)一斤米粉的售价是元.
当时，
当时，
故
（Ⅲ）设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.
解得，即.由直方图可知，当时，
故该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【点睛】本题主要考查了样本估计总体和事件与概率，只要能读懂条形统计图，然后进行计算即可，较为基础
21、（1）， ；（2）.
【解析】（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值
试题解析：
(1)由条件得.
∴.
∴曲线段的解析式为.
当时，.
又，
∴,
∴.
(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.
设,,“矩形草坪”的面积为
.
∵，
∴,
故当，即时，取得最大值
22、（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.
【解析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时，时代入即可得解；
（2）首先求时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，解不等式即可得解.
【详解】（1）两个函数与在上都是增函数，
随着的增加，指数型函数的值增加速度越来越快，
而函数的值增加越来越慢，
由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求；
由时，由时，
可得，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得所以，
由，所以.
所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
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